第四章 专题微课 数列的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

专题微课　数列的综合问题 [建构知识体系] 数列的综合问题 [融通学科素养] 1.浸润的学科素养 (1)通过对数列的概念与表示的理解,以及对数列与函数的关系、数列通项公式的认识,渗透数学抽象、逻辑推理等核心素养. (2)通过对等差、等比数列概念、通项公式、前n项和公式学习运用,强调基本量之间的等量关系,聚焦逻辑推理和数学运算的核心素养. 2.渗透的数学思想 (1)在求等差数列和等比数列的通项公式时,分别用到了累加法和累乘法. (2)在求等差数列和等比数列的前n项和时,分别用到了倒序相加法和错位相减法. (3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量,已知其中任意三个求其余两个,用到了方程思想. (4)在研究等差数列和等比数列单调性,等差数列前n项和最值问题时,都用到了函数思想. 题型(一)　数列与不等式的交汇问题 [例1]　(2025年1月·八省高考适应性演练)已知数列{an}中,a1=3,an+1=. (1)证明:数列为等比数列; (2)求{an}的通项公式; (3)令bn=,证明:bn<bn+1<1. 解:(1)证明:由an+1=得==·+,则1-=-·=, 所以数列是首项为1-=, 公比为的等比数列. (2)由(1)得1-=×=, 所以an==. (3)证明:由(2)得bn==·====1-.令f(n)=3·-2,n∈[1,+∞), 由f(n)=3·-2在[1,+∞)上单调递增,则f(n)≥f(1)=3×-2=>0, 所以数列在n∈N*上递减,从而数列{bn}在n∈N*上递增,且bn<1,故得bn<bn+1<1. |思|维|建|模| 数列与不等式的交汇问题一般有两种: (1)以一元一次、一元二次不等式或基本不等式为工具考查数列中项的问题. (2)对于数列中的恒(能)成立问题、不等式证明问题常转化为最值问题求解. 　　[针对训练] 1.已知数列{an}的前n项积Mn=,数列{bn}的前n项和为Sn,b1=1,满足2Sn=nbn+1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,若∃n∈N*,使t2+t-1<2Tn成立,求实数t的取值范围. 解:(1)当n≥2时,an===2n, 当n=1时,a1=M1=2满足上式,所以an=2n,n∈N*. 因为2Sn=nbn+1,当n≥2时,2Sn-1=(n-1)bn, 两式作差得2bn=nbn+1-(n-1)bn, 即(n+1)bn=nbn+1,所以=, 所以当n≥2时,=2,=,=,…,=, 上述等式全部相乘得=n,所以bn=nb1=n, b1=1也满足bn=n,所以对任意的n∈N*,bn=n. (2)由(1)得cn===-. 所以Tn=-+-+…+-=-<. 由已知t2+t-1<1,即t2+t-2<0,解得-2<t<1, 因此,实数t的取值范围是(-2,1). 题型(二)　数列的新定义问题 [例2]　(2024·新课标Ⅰ卷,节选)设m为正整数,数列a1,a2,…,a4m+2是公差不为0的等差数列,若从中删去两项ai和aj(i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)—可分数列. (1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6,使数列a1,a2,…,a6是(i,j)—可分数列; (2)当m≥3时,证明:数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)—可分数列. 解:(1)首先,我们设数列a1,a2,…,a4m+2的公差为d,则d≠0. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列,当且仅当该数列是等差数列, 故我们可以对该数列进行适当的变形a'k=+1(k=1,2,…,4m+2), 得到新数列a'k=k(k=1,2,…,4m+2),然后对a'1,a'2,…,a'4m+2进行相应的讨论即可. 换言之,我们可以不妨设ak=k(k=1,2,…,4m+2),此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题,第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i和j(i<j),使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是1,2,3,4或2,3,4,5或3,4,5,6. 所以所有可能的(i,j)就是(1,2),(1,6),(5,6). (2)证明:由于从数列1,2,…,4m+2中取出2和13后,剩余的4m个数可以分为以下两个部分,共m组,使得每组成等差数列: ①{1,4,7,10},{3,6,9,12},{5,8,11,14},共3组; ②{15,16,17,18},{19,20,21,22},…,{4m-1,4m,4m+1,4m+2},共m-3组(如果m-3=0,则忽略②). 故数列1,2,…,4m+2是(2,13)—可分数列. 　　[针对训练] 2.设数列{an}是等差数列,且公差为d,若数列{an}中任意不同的两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”. (1)若数列{an}中,a1=4,d=2,求证:数列{an}是“封闭数列”; (2)若an=2n-7,试判断数列{an}是否为“封闭数列”,并说明理由. 解:(1)证明:∵a1=4,d=2,∴an=4+2(n-1)=2n+2,∴对任意的s,t∈N*,s≠t,有as+at=(2s+2)+(2t+2)=2(s+t+1)+2. ∵s+t+1∈N*,令p=s+t+1,则有ap=2p+2, ∴as+at是数列{an}中的项. ∴数列{an}是“封闭数列”. (2)数列{an}不是“封闭数列”.理由如下:∵an=2n-7, ∴对任意的s,t∈N*,s≠t,as+at=2(s+t)-14, 若数列{an}是“封闭数列”,则必存在正整数p,使得ap=as+at=2(s+t)-14=2p-7, 即s+t=p+,从而“=”左端为正整数,右端不是正整数,从而矛盾. 故数列{an}不是“封闭数列”. 题型(三)　数列与其他知识综合 [例3]　(1)已知等差数列{an}满足3a7=5a13,cos2a4-cos2a4sin2a7+sin2a4cos2a7-sin2a4=-cos(a5+a6),公差d∈(-2,0),则数列{an}的前n项和Sn的最大值为 (　　) A.100π B.54π C.77π D.300π (2)已知数列{bn}是公比为q(q≠1)的正项等比数列,且2ln b1 012=0,若f(x)=,则f(b1)+f(b2)+…+f(b2 023)= (　　) A.4 069 B.2 023 C.2 024 D.4 046 解析:(1)由3a7=5a13,得3(a1+6d)=5(a1+12d),解得a1=-21d.∵cos2a4-cos2a4sin2a7+sin2a4cos2a7-sin2a4=cos2a4cos2a7-sin2a4sin2a7=(cos a4cos a7-sin a4sin a7)(cos a4cos a7+sin a4sin a7) =cos(a4+a7)cos(a4-a7)=-cos(a5+a6), 又a4+a7=a5+a6,∴cos(a4-a7)=-1,故a4-a7=-3d=π+2kπ(k∈Z),d=-(k∈Z). 又公差d∈(-2,0),∴d=-,a1=7π.由an=7π+(n-1)≥0,得n≤22,故S22或S21最大,最大值为S22=22×7π+×=77π,故选C. (2)由数列{bn}是公比为q(q≠1)的正项等比数列,故bn>0, 2ln b1 012=ln =ln(b1b2 023)=0,故b1b2 023=1, 即有b1b2 023=b2b2 022=…=b2 023b1=1, 由f(x)=,则当x>0时,有f(x)+f=+=+=4, 故f(b1)+f(b2 023)=f(b2)+f(b2 022)=…=f(b2 023)+f(b1)=4,故2[f(b1)+f(b2)+…+f(b2 023)]=[f(b1)+f(b2 023)]+[f(b2)+f(b2 022)]+…+[f(b2 023)+f(b1)]=2 023[f(b2 023)+f(b1)]=8 092,故f(b1)+f(b2)+…+f(b2 023)=4 046. 答案:(1)C　(2)D 　　[针对训练] 3.已知等比数列{an}中所有项均为正数,a2 023-a2 022=2a2 021,若aman=(m,n∈N*),则+的最小值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　设{an}的公比为q(q>0),则a1q2 022=2a1q2 020+a1q2 021,因为a1>0,所以q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去).aman=a1·2m-1·a1·2n-1=·2m+n-2=16,故m+n-2=4,即m+n=6.因为m,n∈N*,所以+=(m+n)=≥=,当且仅当即m=4,n=2时,等号成立,故+的最小值等于. 4.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=an+sin2,则该数列的前18项和为 (　　) A.1 012 B.1 067 C.2 012 D.2 101 解析:选B　∵数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=an+sin2,∴a3=2,a4=(1+cos2π)a2+sin2π=2a2=4.一般地,当n=2k-1(k∈N*)时,a2k+1=a2k-1+sin2=a2k-1+1,即a2k+1-a2k-1=1.∴数列{a2k-1}是首项为1,公差为1的等差数列,∴a2k-1=k.当n=2k(k∈N*)时,a2k+2=a2k+sin2=2a2k,∴数列{a2k}是首项为2,公比为2的等比数列,∴a2k=2k.∴数列的前18项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32+6+64+7+128+8+256+9+512 =1 067.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $