第4章 拓展提升课2 数列求和的方法-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

跟踪训练3：【解析】(1)由题意得，小李在乙公司工作第n年 的年薪为bn=4.8·(1+8%)"-1. 令n=5,得bs=4.8·(1+8%)4≈6.72（万元） (2)由题意，小李在甲公司连续工作年的工资总收入为 4.2n+nn-x0.6, 2 小李在乙公司工作10年的总收入为 48x1=(1+8%)☐+0.72×10， 1-(1+8%) 则4.2n+n(n,-×0.6≥4.8×[1-1+86)1+7.2， 2 1-(1+8%) 整理得(n+24)(n-11)≥0，解得n≥11， 所以小李在甲公司至少要连续工作11年，工资总收入才不低 于在乙公司工作10年的总收入. 随堂检测重反馈 1.D由=9，可知g=2. S奇 2.B由a1a2a3=1得a2=1,又a4=4,故g2=4,a2+a4+a6+ 1-4m4“-1 +a=1-4=3 32设数列a,的公比为9，若g=1,则受=2，与题中条件才 a1(1-92m) 盾，故9≠1. =9=g+1=9…g=8 Sm a(1-q") 1-g 8192-1 419-=q”=8=5m+1 7m-1心m=3,92=8,q=2. 4.3设顶层的灯数是a1,则每一层灯数形成以a1为首项，以2 为公比的等比数列，设为a,,由题可得S,=1-2) 1-2 381,解得a1=3,故塔的顶层的灯数是3. 拓展提升课二数列求和的方法 例1：【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d, 则d=50=2. 2 由a1+a2=10,得a1+a1+2=10,解得a1=4. 所以an=4+2(n-1)=2n+2. (2)设等比数列{b.}的公比为q, 则b2=a3=8,b3=a,=16, b3216=2, 所以q=b2=8 所以名号=4， 所以bn=4×2-1=2"+1 则cn=an+bn=2n+2+2+l, 则S.=[4+6+…+(2n+2)]+41-22 1-2 =n(4+2n+22+4(2”-1) 2 =2+2+n2+3n-4. 15 跟踪训练1：【解析】(1)设等差数列{a}的公差为d,正项等 比数列{b}的公比为q(g>0), 2+2d=2+2g, 依题意得 3×2+3d=2g2+4, 解得d=9=2, 所以数列{an}的通项公式为an=2n,数列{bn}的通项公式为 bn=2". (2)由(1)知，a-1=4k-2,数列{aw-1}是等差数列，首项为 2,公差为4，b24=22=4,数列{b24}是等比数列，首项为4，公 比为4， 而c,=n=2k-1, (keN*), (bn=2k 则数列{cn}的前21项的和T21=(a1+a3+…+a2)+(b2+ 6+…+b）=11×2+Ⅱ10×4+4×(1-49_4"+722 2 1-4 3 所以数列{c,}的前21项的和为4"+722 3 例2：【解析】当n为奇数时，Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9 +11)+…+[(-2n+5)+(2n-3)]+（-2n+1)=2· "号2+(-2n+1)=-n 当n为偶数时，Sn=(-1+3)+(-5+7)+…+[(-2n+3) +(2m-1]=2之=n 所以Sm=(-1)"·n(neN*). 跟踪训练2：-505012-22+32-42+…+992-1002 =(12-22)+(32-42)+…+(992-1002) =(1-2)×(1+2)+(3-4)×(3+4)+…+(99-100)× (99+100) =-(1+2+3+4+·+99+100) =-5050. 例3：【解析】(1)因为S。=2an-2, 当n=1时，S1=2a1-2,解得a1=2, 当n≥2时，S.-1=2a-1-2, 所以an=S。-Sm-1=(2an-2)-(2am-1-2)=2am-2an-1, 即an=2a4-1(n≥2). 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列， 故an=2×2"-1=2” (2)由(1)知an=2", 则6.=1+lga_1+lg,2-n+1 2" 2 所以=号+++…+ 。2,34 ① 21 23 ② =1+ n+1 1 1-2 2* =1+号-1-n+1=3-n+3 2-2-2+1=2-2+1 所以数列6，}的前n项和T=3-n+3 2 跟踪训练3：DS。=n+(n-1)×2+（n-2)×22+…+2× 2-2+2-1, ① 2Sn=n×2+(n-1)×22+(n-2)×23+…+2×2m-1+2",② ②-①得，S,=-n+2+2+…+2-1+2°=-n+21-?2 1-2 =-n+21-2=2"+1-n-2. 例4：【解析】步骤一：求数列{an}的通项公式 已为公我们利用聚爽法来求数列的道项公式 an-1 an-2 a 片…子日1 n+l n n-1 2 =n(n+1) 2 当n=1时，4=×着+=1，满足通项公式， 2 所以am=n(n+1) 步骤二：求数列{an}的前6项和 对a72行裂项，可释a.=2(片中)} 设数列{an}的前n项和为S.,则： s。=2[(1-)+(3)+(号4)+(4)+ (56)+(名)川 =21-7） 号 跟踪训练4：n+3-5a,=n+2+n+3 n+3-n+2 (n+2+n+3)(n+3-n+2) =n+3-n+2, ∴.Sn=a1+a2+a3+…+am-1+am =(4-5)+(5-4)+(6-5)+…+(n+2- √n+I)+(n+3-n+2) =√n+3-5. 随堂检测重反馈 1.D由题意a2=2,a=1,a4=2,…,故奇数项为1，偶数项为 2,则S2s=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(am4+a2ms）= 1+3×1012=3037. 2Da.=1+2+22+…+2=1x1,22=2”-1S.= 1-2 (2-1）+(2-1）+…+(2-1）=2x1,22-n=21 1-2 n-2. 15 3.44.5设S=sin1o+sin2°+sin3°+…+sin88°+ sim289°，①.将①式右边反序得，S=sin289°+sin288°+…+ sim23°+sin22°+sim21°，②.①+②得，2S=(sin21°+ sim289°）+(sinm22°+sin288）+…+(sim289°+sin21o）= (sin21°+cos21°）+(sin22°+cos22°)+…+(sin289°+ cos289°)=89，.S=44.5. ,n(n+1) ,x=1, 2 当x=1时，Sn=1+2+3 x(1-x)nx"+I 【(1-)2-1-元x≠1且x0 ++n=;当≠1时.S=42+3++, x5n=x2+2x3+3x4+…+(n-1)x"+nx+1,.(1-x)Sn=x+ +++g-nx1=--x,S.=0=2 1-x (1-x)2 n(n+1) 2 ,x=1, na"+ 1-综上，可得S= 是-2*1且0 4.4*数学归纳法 教材梳理明要点 新知初探 知识点 (1)n=no(noEN")(2)n=k n=k+1 no 预习自测 1.C边数最少的凸n边形是三角形，故选C. 2.1+a+a2当n=1时，左侧第一个数是1，最后一个数是a2, 故左边式子应为1+a+a2. 题型探究提技能 例1：(1)B(2)2(2k+1)(3)未用归纳假设 【解析】(1)由数学归纳法的证明步骤可知，假设n=k(k≥ 2,k为偶数)时命题为真，还需要再证明下一个偶数，即n= k+2时等式成立 (2)当n=k时，左边=(k+1)(k+2)…(k+k),当n=k+1 时，左边=(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k)(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)…(2k+1)(2k+2),所以左边应添加的因式 为2k+)(2k+22=2(2k+1). k+1 (3)本题在由n=k成立证明n=k+1成立时，应用了等比数 列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求 不符. 跟踪训练1：D在n=k+1时，没有应用n=k时的归纳假设，不 是数学归纳法 隙：l证明】（①当n1时，左道=1宁=分右道=分命 题成立 (2)假设当n=k(keN*)时，命题成立，即 1-分+号4+…+2=中*中2++2 111040 随堂检测重反馈 1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公 比为 ( A.8 B.-2 C.4 D.2 2.在等比数列{an}中，a1a2a3=1,a4=4,则a2+a4+a6+…+a2n= A.2”-1 C.1-(-4) D.1-(-2) 3 3 知S,是等比数列Q,的前n项和，若存在meN,满足2=9，=+则效列a的2 比为 4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八 十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上 一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[11] 拓展提升课二 数列求和的方法 题型一分组转化法求和 例1已知等差数列a满足a+a,=10,a-a,=4 (1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a,设cn=an+bn,求数列{cn}的 [方法总结1] 可以使用分组转化法 前n项和Sn ●[方法总结1] 的常见数列类型： (1)若an=bn±cn, 且{bn},{cn}分别为 等差数列和等比数 列，则可采用分组转 化法求a。}的前n 项和； (2)通项公式为an= bn,n为奇数， 的数 ca,n为偶数 列，其中数列{bn, {cn}是等比数列或等 差数列，可采用分组 转化法求和. 041 〉跟踪训练1 设等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项都为正数，且满足[方法总结2] a1=b1=2,a3=b1+b2,S3=b3+4. 并项求和法的应用 (1)求{an},{bn}的通项公式； (1)适用条件 an=2-山(keN"),求数列c.的前21项的和 通项中含有(-1)”的 (2)记c.-b,n=2k 数列求前几项和时可 以考虑使用奇偶并 项法； (2)注意事项 ①奇偶项正负相间型 求和，可以两项结合 构成具有某种特殊性 质的特殊数列； ②如果需要讨论奇 题型二并项相消求和法 偶，一般情况下，先求 例2求和：S=-1+3-5+7-…+(-1)(2n-1. 偶，再求奇.求奇时， P[方法总结2] 直接代入偶数项公 式，再加上最后的奇 数项即可. [方法总结3] 1.一般地，如果数列 an是等差数列， bn}是等比数列，求 数列{an·bn}的前n 项和时，可采用错位 相减法。 )》跟踪训练2 2.用错位相减法求和 计算：12-22+32-42+…+992-1002= 时，应注意： 题型三错位相减法求和 (1)要善于识别题目 例3已知数列a.的前n项和为S,且S=2a,-2(n∈N) 类型，特别是等比数 列公比为负数的 (1)求数列{an}的通项公式； 情形； (2)若6。=1+lg,求数列6.}的前n项和T. ●[方法总结3] (2)在写出“Sn”与 a “gSn”的表达式时应 特别注意将两式“错 项对齐”，以便于下 一步准确地写出“S -gSn”的表达式； (3)结果的化简整 理，要合并同类项 042 》跟踪训练3 [方法总结4] 化简Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×2+…+2×2”-2+2”-的结果是 常见的裂项的形式： 1 1 ( (1)nn+1)=元 A.2”+1+n-2 B.2m+1-n+2 1 1 n+1'n(n+k) C.2"-n-2 D.2+1-n-2 1〔1-1） 题型四裂项相消法求和 h(n ntki 例4已知数列a满足a,=1,。-n+2求a的前6项和 (2) 1 n+1+/n n +I-/n 卜[方法总结4] 1 √n+k+n 太(a+k-: (3)h1+=ln(n +1)-lnn, i1-h(n- 1)-lnn(n≥2)； (4)若an}是等差数 列，公差为d,则 AnOn+1 1 如(2n-1)(2n+1)） 1 1） 2n+1 (5) 'n(n+1)(n+2)9 1 n(n+1) 1 (n+1)(n+2)」 2 (6)2+1)2+1) 11 2”+12m+1+1 》跟踪训练4 (7) n+1 1 n2(n+2)2 数列{an}的通项公式a.= ，则该数列的前n项和Sn= √n+2+√n+3 1「11 4n2(n+2)2] 043 随堂检测重反馈 1.已知数列{an}中，a1=1,an+an+1=3,Sn为其前n项和，则S22s= A.3034 B.3035 C.3036 D.3037 2.设Sn为数列{an}的前n项和，an=1+2+22+…+2”-1,则Sn= A.2"-1 B.2n-1-1 C.2"-n-1 D.2+1-n-2 3.sinm21°+sin220+sin23°+…+sin288°+sin289°=， 4.化简：Sn=x+2x2+3x3+…+x"(x≠0)= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[12] 4.4数学归纳法 新课程标准解读 学科核心素养 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题 数学抽象、逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 多米诺骨牌是一种木制、骨制或塑料制成 [提示] 的长方体骨牌，按一定间距排列成行，轻轻碰倒 需要第一块骨牌倒下 且每一块骨牌都可以 第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依 推倒下一块骨牌 次倒下.多米诺骨牌发生连锁反应的前提条件 是什么呢？ >[提示] [知识点反思] 曰新知初探 (1)初始值no选择不 一定是1，要结合题 知识点数学归纳法 意恰当的选择； (2)数学归纳法的实质 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： 在于递推，所以从 (1)(归纳奠基)证明当 时命题成立； “k”到“k+1”的过 程中，要正确分析式子 (2)(归纳递推)以“当 (k∈N·,k≥no)时命题成立”为条件，推出项数的变化.关键是弄 “当 时命题也成立” 清等式两边的构成规 律，弄清由n=k到n= 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数nk+1时，等式的两边 会增加多少项，增加怎 都成立，这种证明方法称为数学归纳法 [知识点反思] 样的项