第四章 数列 章末总结-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教A版）

数学　选择性必修 第二册 RJ 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、等差、等比数列的判定 等差、等比数列的判定方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)⇔{an}是等差数列；＝q(n∈N*，q为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列． (2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；a＝anan＋2(n∈N*，an≠0)⇔{an}是等比数列． (3)通项公式法：an＝kn＋b(n∈N*，k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝cqn(n∈N*，c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是公比不等于1的等比数列． 在数列{an}，{bn}中，已知a1＝，且2an＋1＝an＋，bn＝2nan，求证：数列{bn}是等差数列． [证明]　由2an＋1＝an＋，得an＋1＝an＋，所以bn＋1－bn＝2n＋1an＋1－2nan＝2n＋1－2nan＝1，即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列． 若数列{an}满足an＋1＝(n≥2)，求证：{an－1}为等比数列． [证明]　∵an＋1＝(n≥2)， ∴an＋1－1＝－1＝＝， 即(an＋1－1)(an－1－1)＝(an－1)2， 又由an＋1＝(n≥2)，得an－1－1≠0(n≥2)，即an－1≠0(n∈N*)， ∴{an－1}为等比数列． 二、数列通项公式的求法 数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n项和．常见的数列通项公式的求法有以下几种： 1．观察归纳法求数列的通项公式 就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式． 2．利用公式法求数列的通项公式 数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a1与d或a1与q，再代入公式an＝a1＋(n－1)d或＝a1qn－1中即可． 3．利用an与Sn的关系求数列的通项公式 如果给出的条件是an与Sn的关系式，可利用an＝先求出a1＝S1，再通过计算求出an(n≥2)的关系式，检验当n＝1时，a1是否满足该式，若不满足该式，则an要分段表示． 4．利用累加法、累乘法求数列的通项公式 形如：已知a1，且an＋1－an＝f(n)(f(n)是可求和数列)的形式均可用累加法； 形如：已知a1，且＝f(n)(f(n)是可求积数列)的形式均可用累乘法． 5．构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式) 若由已知条件直接求an较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式． 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋，则an＝(　　) A．4＋ B．4－ C．2＋ D．2－ [解析]　由题意可得an＋1－an＝＝2，所以a2－a1＝2×，a3－a2＝2×，…，an－an－1＝2，上式累加可得an－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2×＝2－，又a1＝2，所以an＝4－(n≥2)，又a1＝2符合上式，所以an＝4－.故选B. [答案]　B 已知数列{an}中，a1＝1，an＝·an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式． [解]　因为a1＝1，an＝an－1(n≥2)， 所以＝，所以an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝. 又因为a1＝1符合上式，所以an＝. 已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝2，求数列{an}的通项公式． [解]　两边同除以5n＋1，得＝×＋， 可得－1＝. 由于－1＝－≠0，所以数列是以－为首项，为公比的等比数列，从而－1＝－×，故数列{an}的通项公式为an＝5n－3×2n－1. 三、数列求和 数列求和一直是考试的热点，在命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现．一般数列的求和，可以通过构造将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，对于非等差数列、非等比数列的求和，常用的方法有：分组求和、并项求和、裂项相消、倒序相加、错位相减等．题型多以解答题的形式出现，难度较大． 已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝30，且a1，a2，a4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，d≠0， 由S5＝30，得5a1＋10d＝30，① ∵a1，a2，a4成等比数列，∴a＝a1a4， ∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，② 由①②解得 ∴数列{an}的通项公式为an＝2n. (2)由bn＝，an＝2n，得 bn＝＝. 则数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝×＝＝. 已知等比数列{an}的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足a4＝4a，数列{bn}的前n项和Sn＝bn，n∈N*，且b1＝1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn＝求数列{cn}的前n项和Pn. [解]　(1)设数列{an}的公比为q， 因为an>0，所以q>0. 由题意，得得 解得所以an＝. 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝bn－， 即＝，又b1＝1，＝1， 所以数列是首项为1的常数列，＝1，所以bn＝n. (2)由(1)可得cn＝ 当n为偶数时， Pn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(a2＋a4＋…＋an) ＝[1＋3＋…＋(n－1)]＋＝＋ ＝＋－×； 当n为奇数时，n＋1为偶数， Pn＝Pn＋1－an＋1＝＋－×－＝＋－×. 综上， Pn＝ 设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝can＋1－c，n∈N*，其中a，c为实数，且c≠0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设a＝，c＝，bn＝n(1－an)，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn. [解]　(1)∵an＋1－1＝c(an－1)，∴当a≠1时，{an－1}是首项为a－1，公比为c的等比数列． ∴an－1＝(a－1)cn－1，即an＝(a－1)cn－1＋1. 当a＝1时，an＝1，仍满足上式， ∴数列{an}的通项公式为an＝(a－1)cn－1＋1(n∈N*)． (2)由(1)，得bn＝n(1－a)cn－1＝n， ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1×＋2×＋…＋n×，① Sn＝＋2×＋…＋(n－1)×＋n×，② ∴①－②，得Sn＝＋＋…＋－n×＝－n×＝1－－n×＝1－(2＋n)×， ∴Sn＝2－(2＋n)×. 四、数列的综合应用与创新问题 数列的综合应用与创新问题通常涉及到数列与函数、不等式、解析几何等多个知识点的结合，解决数列的综合应用与创新问题，需要熟练掌握数列的基本概念、公式和性质，灵活运用各种数学方法和技巧，同时要具备较强的逻辑思维能力和创新意识．以下是一些常见问题的解决方法： (1)数列与函数的综合问题 利用函数的性质来研究数列问题，如函数的单调性、最值等．对于以函数形式给出的数列通项公式，可通过分析函数的特点来确定数列的性质． (2)数列与不等式的综合问题 证明与数列相关的不等式时，常用的方法有比较法(作差或作商)、放缩法、数学归纳法等．放缩法是一种较为灵活且常用的方法，需要根据数列的特点进行适当的放缩． (3)数列与解析几何的综合问题 将数列的项与点的坐标联系起来，利用解析几何的知识，如直线斜率、两点间距离公式、曲线方程等，来解决数列问题． (4)数列中的创新问题 对于新定义的数列问题，首先要仔细理解新定义的概念和规则，然后将其转化为熟悉的数列问题进行求解．通过分析数列的前几项，尝试找出规律，再利用归纳、类比等方法进行推理和证明． 若数列{An}满足An＋1＝A，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}满足a1＝8，an＋1＝a＋4an＋2. (1)证明：数列{an＋2}是“平方递推数列”； (2)设数列{an＋2}的前n项积为Tn，即Tn＝(a1＋2)(a2＋2)…(an＋2)． ①求lg Tn； ②若bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求使得Sn>4048的n的最小值． [解]　(1)证明：由题意，知an＋1＋2＝a＋4an＋4＝(an＋2)2， 所以数列{an＋2}是“平方递推数列”． (2)①由(1)知an＋1＋2＝(an＋2)2， 又a1＋2＝10，所以an＋2>0，且lg (an＋2)≠0， 所以lg (an＋1＋2)＝lg (an＋2)2＝2lg (an＋2)， 又lg (a1＋2)＝1≠0， 所以数列{lg (an＋2)}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以lg (an＋2)＝2n－1， 所以lg Tn＝lg [(a1＋2)(a2＋2)…(an＋2)] ＝lg (a1＋2)＋lg (a2＋2)＋…＋lg (an＋2)＝20＋21＋…＋2n－1＝＝2n－1. ②由①，知bn＝＝＝2－， Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2－＋2－＋…＋2－＝2n－＝2n－＝2n－＝2n＋－2. 由Sn>4048，即2n＋－2>4048，得2n＋>4050， 因为对任意的n∈N*，2(n＋1)＋－＝2－>0，所以数列是递增数列， 又当n＝2024时，2×2024＋<4050， 当n＝2025时，2×2025＋>4050， 所以使得Sn>4048的n的最小值为2025. 1 学科网（北京）股份有限公司 $