5.2.2 导数的四则运算法则-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦“导数的四则运算法则”核心知识点，前承基本函数导数公式，后续为复合函数求导等内容，通过“微点助解”（公式推广、结构特征）、基础落实训练、题型分类（求导、切线问题、实际应用）及思维建模构建学习支架，帮助学生系统掌握和差积商求导法则。 该资料采用梯度进阶式教学，以“数学思维”为核心，通过切线问题（如函数图象切线方程求解）、实际应用（如净化费用瞬时变化率计算）培养逻辑推理与问题解决能力，结合“数学语言”将抽象法则转化为具体解题策略。课中助力教师分层教学，课后通过基础与针对训练帮助学生查漏补缺，深化对导数几何意义与实际应用的理解。

　　5.2.2　导数的四则运算法则[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　 　[课时目标] 理解和、差、积、商的求导法则,能利用导数的四则运算法则,求简单函数的导数.进一步理解导数的运算与几何意义. 　　设两个函数f(x),g(x)可导,则 (1)和(或差)的导数 符号表示:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x). (2)积的导数 符号表示:[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). 特别地,当g(x)=c(c为常数)时,[cf(x)]'=cf'(x). (3)商的导数 符号表示:'=(g(x)≠0). |微|点|助|解| 1.公式推广 函数和、差的导数可以推广到n个函数.设f1(x),f2(x),…,fn(x)在x处可导,则[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x). 2.结构特征 积的导数公式,中间用“加号”,前导后不导+前不导后导;商的导数公式,分母平方,分子用“减号”. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)'=ex. (　　) (2)函数f(x)=xex的导数f'(x)=ex(x+1). (　　) (3)当g(x)≠0时,'=. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√ 2.设y=-2exsin x,则y'等于 (　　) A.-2excos x B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x) 解析:选D　∵y=-2exsin x,∴y'=-2exsin x-2excos x=-2ex(sin x+cos x). 3.函数y=的导数是 (　　) A.- B.-sin x C.- D.- 解析:选C　y'='===-. 4.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则实数a=　　　　.  解析:∵f'(x)=3ax2+6x,∴f'(-1)=3a-6=4,∴a=. 答案: 题型(一)　利用导数四则运算法则求导数 [例1]　求下列函数的导数: (1)y=+;(2)y=x3·10x; (3)y=cos x·ln x;(4)y=. 解:(1)y=+=2x-2+3x-3,y'=-4x-3-9x-4. (2)y'=(x3)'·10x+x3·(10x)'=3x2·10x+x3·10xln 10. (3)y'=(cos x)'·ln x+cos x·(ln x)'=-sin xln x+. (4)y'= = == =. |思|维|建|模| 求函数导数的策略 (1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再根据导数运算法则求导数. (2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算. 　　[针对训练] 1.若函数f(x)=在x=a处的导数值与函数值互为相反数,则a的值为　　　　.  解析: ∵f(x)=,∴f(a)=,又∵f'(x)='=,∴f'(a)=.由题意知f(a)+f'(a)=0,∴+=0,∴2a-1=0,∴a=. 答案: 2.求下列函数的导数: (1)y=3x+lg x;(2)y=3x2+xcos x; (3)y=;(4)y=xtan x. 解:(1)y'=(3x+lg x)'=(3x)'+(lg x)'=3xln 3+. (2)y'=(3x2+xcos x)'=(3x2)'+(xcos x)'=6x+cos x-xsin x. (3)y'='===. (4)因为y=xtan x=,所以y'=' ===. 题型(二)　导数四则运算法则在切线问题中的应用 [例2]　已知函数f(x)=ax3-x2-x+b(a,b∈R,a≠0),g(x)=ex,f(x)的图象在x=-处的切线方程为y=x+. (1)求a,b的值; (2)直线y=x+是否与函数g(x)的图象相切?若相切,求出切点的坐标;若不相切,请说明理由. 解:(1)f'(x)=3ax2-2x-1. ∵f(x)的图象在x=-处的切线方程为y=x+, ∴f'=,即3a·+1-1=, 解得a=1,又f(x)的图象过点, ∴--+b=,解得b=.综上,a=1,b=. (2)设直线y=x+与函数g(x)的图象相切于点A(x0,y0). ∵g'(x)=ex,∴g'(x0)==,解得x0=-, 将x0=-代入g(x)=ex, 得点A的坐标是, ∴切线方程为y-=,化简得y=x+, 故直线y=x+与函数g(x)的图象相切,切点坐标是. |思|维|建|模| 解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确. (3)分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上,则要设出切点,这是解题时的易错点. 　　[针对训练] 3.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在(0,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　f'(x)=,则f'(0)==3,即该切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.令x=0,则y=1,令y=0,则x=-,故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=×1×=. 4.点P是曲线f(x)=2x2-3ln x上任意一点,则点P到直线y=x-4的最短距离为　　　　.  解析:f'(x)=4x-(x>0),令f'(x)=4x-=1,解得x=1,又f(1)=2,可得与直线y=x-4平行且与曲线y=f(x)相切的直线的切点为(1,2),所以点P到直线y=x-4的最短距离为=. 答案: 题型(三)　导数四则运算法则在实际问题中的应用 [例3]　日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水的纯净度的提高,所需净化费用不断增加,已知将1 t水净化到纯净度为x%所需费用(单位:元)为c(x)=(80<x<100). 求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1)90%;(2)98%. 解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数c'(x)=' ===. (1)因为c'(90)==52.84, 所以净化到纯净度为90%时,净化费用的瞬时变化率是52.84元/t. (2)因为c'(98)==1 321, 所以净化到纯净度为98%时,净化费用的瞬时变化率是1 321元/t. |思|维|建|模| 　　明确自变量及相应函数值的实际意义,是解释导数实际意义的前提,审题时要先在这方面下功夫. 　　[针对训练] 5.已知某产品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为p=25-q. (1)求q从1变到3时,利润L关于产量q的平均变化率; (2)求L'(2)并解释它的实际意义. 解:(1)收入R=qp=q=25q-q2, 利润L=R-C=-(100+4q)=-q2+21q-100(0<q<200). ===20.5. 所以q从1变到3时,利润L关于产量q的平均变化率为20.5. (2)L'=-q+21,L'(2)=21-=20.5. L'(2)表示产量为2时,产量每增加一个单位,利润增加20.5元. 学科网（北京）股份有限公司 $