5.2.2导数的四则运算导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2.2导数的四则运算法则 【学习目标】 1.掌握导数的四则运算法则，并能进行简单的应用． 2.能灵活运用导数的运算法则解决函数求导． 【学习重难点】 重点：导数的四则运算法则. 难点：运用导数的运算法则解决函数求导. 【知识梳理】 求导法则 1.=_________________ ； 2.=_________________； 3.=______________ (为常数)； 4.=_________________； 5.=_________________. 【概念辨析】 1.设,则等于 (　 ) A. B. C. D. 2.函数的导数是 (　 ) A. B. C. D. 3.已知,若,则实数=　　　　.  【典例分析】 例1、求下列函数的导数: (1) ; (2) ; (3) .，(4) . 变式、若函数在处的导数值与函数值互为相反数,则的值为　　　　.  例2、已知. (1)求曲线在处的切线方程; (2)设为曲线上的点,求曲线在点处切线的斜率的最小值及倾斜角的取值范围. 例3、已知函数的导数为，且满足，则=_________，=__________. *拓展、已知函数，.若曲线与曲线在它们的交点处有公切线，求的值． 【当堂训练】 1.（多选题）下列函数在处的导数值为的有（ ） A. B. C. D. 2.(2024·全国甲卷)设函数,则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 (　 ) A. B. C. D. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.2导数的四则运算法则 【学习目标】 1.掌握导数的四则运算法则，并能进行简单的应用． 2.能灵活运用导数的运算法则解决函数求导． 【学习重难点】 重点：导数的四则运算法则 难点：运用导数的运算法则解决函数求导 【知识梳理】 求导法则 1.=_________________ ； 2.=_________________； 3.=______________ (C为常数)； 4. =_________________； 5.=_________________. 1.2. 3.4.5. 【概念辨析】 1.设y=-2exsin x,则y'等于 (　 ) A.-2excos x B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x) 解析:选D　∵y=-2exsin x,∴y'=-2exsin x-2excos x=-2ex(sin x+cos x). 2.函数y=的导数是 (　 ) A.- B.-sin x C.- D.- 解析:选C　y'='===-. 3.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则实数a=　　　　.  解析:∵f'(x)=3ax2+6x,∴f'(-1)=3a-6=4,∴a=. 答案: 【典例分析】 例1、求下列函数的导数: (1)y=+; (2)y=x3·10x; (3)y=cos x·ln x.，(4)y=3x2+xcos x. 解:(1)y=+=2x-2+3x-3, y'=-4x-3-9x-4. (2)y'=(x3)'·10x+x3·(10x)'=3x2·10x+x3·10xln 10. (3)y'=(cos x)'·ln x+cos x·(ln x)'=-sin xln x+. (4)y'=(3x2+xcos x)'=(3x2)'+(xcos x)'=6x+cos x-xsin x. 变式、若函数f(x)=在x=a处的导数值与函数值互为相反数,则a的值为　　　　.  解析: ∵f(x)=,∴f(a)=,又∵f'(x)='=,∴f'(a)=.由题意知f(a)+f'(a)=0,∴+=0,∴2a-1=0,∴a=. 例2、已知f(x)=ln x+x2. (1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程; (2)设P为曲线f(x)上的点,求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α的取值范围. 解:(1)∵f(x)=ln x+x2,∴f'(x)=+x,当x=1时,f'(1)=,f(1)=, ∴曲线f(x)在x=1处的切线方程为y-=(x-1),即10x-8y-9=0. (2)由题意x>0,f(x)=ln x+x2, ∴f'(x)=+x≥2=1,当且仅当=x,即x=2时,等号成立, ∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1, ∴tan α≥1,又0≤α<π, ∴≤α<,即倾斜角α的取值范围为. 例3、已知函数的导数为，且满足，则=_________，=__________. -1,-2 【解析】 因为，所以.所以当时，，故.所以 ，所以. *拓展、已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有公切线，求a，b的值． 【解】 因为f′(x)＝2ax，所以f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a. 因为g′(x)＝3x2＋b， 所以g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b. 因为两曲线在交点(1，c)处有公切线， 所以2a＝3＋b.又因为a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得 【当堂训练】 1.（多选题）下列函数在处的导数值为0的有 （ ） A. B. C. D. ABD 【解析】 因为，所以，所以，故A正确； 因为，所以，所以，故B正确； 因为，所以，所以无意义，故C错误； 因为，所以，所以，故D正确.故选ABD. 2.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在(0,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 (　 ) A. B. C. D. 解析:选A　f'(x)= ,则f'(0)==3,即该切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.令x=0,则y=1,令y=0,则x=-,故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=×1×=. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $