5.1.1 变化率问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦“导数的概念及其意义”核心知识点，通过平均速度实例引入平均变化率，再过渡到瞬时速度理解瞬时变化率，最后结合抛物线割线与切线斜率建立几何意义，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以实例分析驱动概念形成，如质点运动、汽车行驶等情境助学生用数学眼光观察现实世界，通过极限思想渗透培养数学思维，分层练习设计兼顾课中教学与课后查漏，助力学生理解概念本质与应用。

　一元函数的导数及其应用 　　　　　　　　　5.1　导数的概念及其意义 　　5.1.1　变化率问题[教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,体会平均变化率与瞬时变化率的物理意义. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系,初步体会极限思想. 逐点清(一)　平均速度 [多维理解] 定义 我们把位移s看成关于时间t的函数s=s(t),则物体在时间段[t1,t2]上的平均速度= 物理 意义 物体在某一时段内的平均速度的大小反映了物体运动的快慢 |微|点|助|解| 　　把速度v看成关于时间t的函数v=v(t),则物体在时间段[t1,t2]上的平均加速度=. [微点练明] 1.一质点按运动方程s(t)=作直线运动,则其从t1=1到t2=2的平均速度为 (　　) A.-1 B.- C.- D.- 解析:选D　从t1=1到t2=2的平均速度为=-=-. 2.某汽车在平直的公路上向前行驶,其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段[t1,t2],[t2,t3],[t3,t4],[t1,t4]上的平均速度的大小分别为,,,,则平均速度最小的是 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　设路程y与时间t的函数关系为y=f(t),则=,即为经过点(t1,f(t1)),(t2,f(t2))的直线的斜率k1,同理为经过点(t2,f(t2)),(t3,f(t3))的直线的斜率k2,为经过点(t3,f(t3)),(t4,f(t4))的直线的斜率k3,为经过点(t1,f(t1)),(t4,f(t4))的直线的斜率k4,如图,由图可知,k3最小,即最小. 3.某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=sin t,t∈. (1)分别求s(t)在区间和上的平均速度; (2)比较(1)中两个平均速度的大小,说明其几何意义. 解:(1)物体在区间上的平均速度为===,物体在区间上的平均速度为===. (2)由(1)可知-=>0,所以<.作出函数s(t)=sin t在上的图象,如图所示,可以发现,s(t)=sin t在上随着t的增大,函数值s(t)变化得越来越慢. 逐点清(二)　瞬时速度 [多维理解] (1)把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. (2)从物理角度看,当时间间隔|Δt|无限趋近于0时,平均速度就无限趋近于t=t0时的瞬时速度. (3)设物体运动的位移与时间的函数关系为s=s(t),则物体在t0时刻的瞬时速度为v=. |微|点|助|解| (1)“Δt→0”读作“Δt无限趋近于0”,是指时间间隔越来越短,能越过任意小的时间间隔,即|Δt|要多小就有多小,其含义是可以小于任何预先给定的正数,但Δt始终不能为零. (2)当Δt→0,比值趋近于一个确定的常数时,此常数才称为物体在t=t0时的瞬时速度. (3)“lim”意为极限,=l表示当Δt→0时,以常数l为极限. [微点练明] 1.如果某质点运动的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=,那么该质点在t=3秒时的瞬时速度为 (　　) A.m/s B.-m/s C.m/s D.-m/s 解析:选D　===-,所以==-.故选D. 2.一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s=t2+2t,设其在t∈[2,3]内的平均速度为v1,在t=3时的瞬时速度为v2,则= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　根据平均速度定义可知,在t∈[2,3]内的平均速度为v1===7. 在t=3时的瞬时速度为v2==(8+Δt)=8.所以=. 3.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动,如果它的加速度是a=5×105 m/s2,枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10-3 s,求枪弹射出枪口时的瞬时速度. 解:枪弹在枪筒中的运动方程为s=at2,因为Δs=a(t0+Δt)2-a=at0Δt+a(Δt)2,所以=at0+aΔt,所以=at0.由题意知,a=5×105 m/s2,t0=1.6×10-3 s,所以at0=8×102=800(m/s),即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 逐点清(三)　抛物线在某点处的割线、切线斜率　　　 1.曲线的切线 设P0是曲线上的一定点,P是曲线上的动点,当点P无限趋近于点P0时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线. 2.曲线切线的斜率 设P0(x0,y0)是曲线y=f(x)上一点,则曲线y=f(x)在点P0(x0,y0)处的切线的斜率k0=. 3.切线的斜率与割线的斜率的关系 从几何图形上看,当横坐标间隔|Δx|无限变小时,点P无限趋近于点P0,于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T,这时,割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0. [典例]　求抛物线f(x)=x2-x在点(2,2)处的切线方程. 解:因为==3+Δx. 所以切线的斜率k==(3+Δx)=3.则切线方程为y-2=3(x-2), 即3x-y-4=0. 　　[变式拓展] 　求抛物线f(x)=x2-x在(1,0)处切线的倾斜角. 解:因为==Δx+1,所以切线斜率k=(Δx+1)=1. 故抛物线在(1,0)处切线的倾斜角为45°. |思|维|建|模| 　　解答此类问题,一般是根据曲线的割线与切线的关系,先求出割线的斜率,再令Δx→0,求得曲线在该点处的切线的斜率. 　　[针对训练] 1.已知曲线f(x)=2x2+1在点M(x0,y0)处的切线斜率为-8,则点M的坐标为　　　　.  解析:由题意知=(4x0+2Δx)=4x0=-8,则x0=-2,故点M的坐标为(-2,9). 答案:(-2,9) 2.求曲线y=在点A处的切线的斜率,并写出切线方程. 解:设y=f(x)=,∵Δy=f-f=-2=,∴=,∴切线的斜率k==-4,∴切线方程为y-2=-4,即4x+y-4=0. 学科网（北京）股份有限公司 $