4.3.2 第2课时 等比数列的前n项和的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

第2课时　等比数列的前n项和的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 题型(一)　等比数列前n项和的实际应用 [例1]　某家用电器一件现价2 000元,实行分期付款,每期付款数相同,每期为一月,购买后一个月开始付款,每月付款一次,共付12次,购买后一年还清,月利率为0.8%,按复利计算,那么每期应付款多少?(1.00812≈1.1) 解:设每期应付款x元,则第1期付款到最后一次付款时的本息和为x(1+0.008)11,第2期付款到最后一次付款时的本息和为x(1+0.008)10,…,第12期付款没有利息,所以各期付款连同利息之和为x(1+0.008)11+x(1+0.008)10+…+x=x. 又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812, 于是有x=2 000×1.00812. 解得x=≈176(元). 所以每期应付款176元. |思|维|建|模| 应用等比数列解决实际问题的一般思路 (1)实际生活中的增长率问题,分期付款问题等都是等比数列问题; (2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型,利用知识求解. 　　[针对训练] 1.某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2025年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则: (1)该市在2031年应该投入电力型公交车多少辆? (2)到哪一年年底,电力型公交车的数量开始超过公交车总量的? 解:(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an},其中a1=128,q=. ∴2031年应投入的数量为a7=a1q6=128×=1 458(辆). (2)设{an}的前n项和为Sn,则Sn==256×,由Sn>(10 000+Sn)×,即Sn>5 000,解得n≥8. ∴到2032年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的. 题型(二)　递推公式的实际应用 [例2]　某企业投资1 000万元用于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业间竞争激烈,每年底需要从利润中取出200万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率,问至少经过多少年,该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标?(lg 2≈0.3) 解:设经过n年后,该项目的资金为an万元. 由题意得,an=an-1(1+25%)-200(n≥2), 整理可得an-800=(an-1-800), 即{an-800}成一个等比数列,a1=1 000(1+25%)-200=1 050,a1-800=250, ∴an-800=250,即an=250+800, 令an≥4 000,得≥16,解得n≥12, 即至少经过12年,该项目的资金可以达到或超过翻两番的目标. |思|维|建|模| 　　理解题意,建立数列中an与an+1或an与an-1之间的关系,构造数列,确定数列的通项公式求解. 　　[针对训练] 2.“绿水青山就是金山银山.”我国某西部地区进行沙漠治理,已知该地区有土地1万平方千米,其中70%是沙漠,从今年起,该地区进行绿化改造,每年把原有沙漠的16%改造为绿洲,同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠,设从今年起第n年绿洲面积为an万平方千米. (1)求an与an-1(n≥2)的关系; (2)判断是不是等比数列,并说明理由; (3)至少经过几年,绿洲面积可超过60%?(lg 2≈0.301) 解:(1)由题意知当n≥2时,an=(1-0.04)an-1+(1-an-1)×0.16=0.8an-1+0.16=an-1+,所以an=an-1+(n≥2). (2)数列是等比数列.理由如下: 由(1)得an=an-1+(n≥2), 设an+x=(an-1+x),可得an=an-1-,所以-=,可得x=-, 所以an-=(n≥2),且a1-=-=-. 因此,数列是首项为-,公比为的等比数列. (3)由(2)可知,数列是首项为-,公比为的等比数列, 所以an-=-×,即an=-×+. 令an=-×+>,得<, 两边取常用对数,得(n-1)lg<lg, 所以n-1>===≈=≈4.1,所以n>5.1, 所以至少经过6年,绿洲面积可超过60%. 题型(三)　分组转化法求和 [例3]　已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,且2a2+a4=13,S7=49. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=an+,求数列{bn}的前n项和Tn. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 又2a2+a4=13,S7=49, 所以解得a1=1,d=2, 所以{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1. (2)由(1)知bn=an+=2n-1+22n-1,所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=(1+2)+(3+23)+(5+25)+…+(2n-1+22n-1)=(1+3+5+…+2n-1)+(2+23+25+…+22n-1)=+=+n2. |思|维|建|模| 分组法求数列的前n项和的方法技巧 　　如果一个数列是等差数列与等比数列的代数和,求其前n项和需要先分组再利用公式求和. 　　[针对训练] 3.设Sn为数列{an}的前n项和,满足Sn=1-an(n∈N*). (1)求证:an=; (2)记Tn=++…+,求Tn. 解:(1)证明:因为数列{an}的前n项和满足Sn=1-an, 当n≥2时,可得Sn-1=1-an-1, 两式相减得an=an-1-an,即2an=an-1,所以=. 当n=1时,S1=1-a1,解得a1=. 所以数列{an}构成首项为,公比为的等比数列,所以数列{an}的通项公式为an=·=. (2)由(1)知an=,可得Sn=1-, 所以==1-2·+=1-+, 则Tn=++…+=n-2+=n-2×+=n+--. 学科网（北京）股份有限公司 $