4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教A版）

数学　选择性必修 第二册 RJ 4.3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和 (教师独具内容) 课程标准：1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.体会等比数列前n项和公式与指数型函数的关系． 教学重点：等比数列的前n项和公式的推导及应用． 教学难点：利用等比数列的前n项和公式解决问题． 核心素养：通过学习等比数列的前n项和公式及其应用，提升数学运算素养和逻辑推理素养． 知识点　　等比数列的前n项和公式及推导方法 知识点 基本内容 等比数列的前n项和公式 Sn＝ 推导等比数列前n项和公式的方法 错位相减法：解决由等比数列与等差数列对应项的积组成的数列求和问题 [想一想]　你能发现等比数列前n项和公式的函数特征吗？ 提示：(1)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数； (2)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，且指数式的系数与常数项互为相反数． 1．(等比数列的前n项和公式)等比数列，－，，－，…的前7项和为(　　) A. B. C. D. 答案：B 2．(利用等比数列前n项和的特点求参数)若等比数列{an}的前n项和Sn＝3n－c，则c＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：C 3．(利用等比数列的前n项和公式求n)已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 答案：D 4．(由等比数列中的项求前n项和)等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是________． 答案：211 题型一　等比数列前n项和公式的基本计算　 　在等比数列{an}中， (1)若Sn＝189，公比q＝2，an＝96，求a1和n； (2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5； (3)若a3＝，S3＝，求a1和公比q. [解]　(1)由an＝a1qn－1，Sn＝以及已知条件，得∴a1＝3，n＝6. (2)设等比数列{an}的公比为q，由通项公式及已知条件， 得即 ∵a1≠0，1＋q2≠0， ∴②÷①，得q3＝，即q＝，∴a1＝8. ∴a4＝a1q3＝8×＝1， S5＝＝＝. (3)当q＝1时，S3＝3a1，a3＝a1＝. ∴3×＝S3＝，∴a1＝，q＝1； 当q≠1时，S3＝＝，a3＝a1q2＝， ∴(1＋q＋q2)＝， ∴q＝－或q＝1(舍去)，∴a1＝6. 综上所述，或 【感悟提升】等比数列前n项和公式基本计算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法．通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体． 注意：等比数列前n项和的计算，要优先讨论公比q＝1的情况． 【跟踪训练】 1．在等比数列{an}中， (1)若a2＝3，a5＝81，求S5； (2)若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和公比q； (3)已知S4＝1，S8＝17，求an. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q. 由q3＝＝＝27，得q＝3， ∴a1＝＝1，∴S5＝＝＝121. (2)由Sn＝，得11＝， ∴q＝－2， 又由an＝a1qn－1，得16＝×(－2)n－1， ∴n＝5. (3)设等比数列{an}的公比为q. 若q＝1，则S8＝2S4，与已知矛盾，∴q≠1， ∴S4＝＝1，S8＝＝17， 两式相除，得＝17＝1＋q4，解得q＝±2. 当q＝2时，a1＝； 当q＝－2时，a1＝－， ∴an＝·2n－1或an＝－·(－2)n－1. 题型二　利用Sn判断等比数列　 　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列． [解]　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1，不适合上式． 所以an＝ 解法一：由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，故{an}不是等比数列． 解法二：等比数列{an}的公比q≠1时的前n项和Sn＝Aqn＋B满足的条件为A＝－B，对于Sn＝3n－2，1≠2，故{an}不是等比数列． 【感悟提升】 (1)已知Sn，通过an＝求通项公式，应特别注意验证a1是否符合an＝Sn－Sn－1(n≥2)． (2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列． 【跟踪训练】 2．(1)下列表达式中，可以作为某个等比数列的前n项和的是(　　) A．Sn＝5n－1 B．Sn＝5n C．Sn＝5n＋1 D．Sn＝5n＋2 答案：A 解析：设公比为q(q≠1)的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－qn，则Sn中qn的系数与常数项互为相反数，题中四个选项中q＝5，且5n的系数为1，则Sn中常数项应为－1，因此Sn＝5n－1可以作为某个等比数列的前n项和．故选A. (2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝3n＋1＋m，则m＝________． 答案：－3 解析：设等比数列{an}的公比为q.因为3Sn＝3n＋1＋m，所以Sn＝3n＋.当q≠1时，Sn＝＝－·qn，所以qn的系数与常数项互为相反数，所以＋1＝0，所以m＝－3. 1．在等比数列{an}中，a2＝2，4a1＋a3＝8，Sn是{an}的前n项和，则S5＝(　　) A．15 B．31 C．48 D．63 答案：B 解析：设等比数列{an}的公比为q，则a2＝a1q＝2，4a1＋a3＝a1(4＋q2)＝8，所以a1＝1，q＝2，故S5＝＝31.故选B. 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D 解析：设等比数列{an}的公比为q，则＝＝3，解得q3＝3，则＝＝＝＝4.故选D. 3．已知数列{an}是等比数列，a2＝1，a5＝－，若Sk＝－，则k＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：B 解析：设等比数列的公比为q，由a2＝1，a5＝－，得解得所以Sk＝＝－，解得k＝5.故选B. 4．已知数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝a·＋5，则实数a＝________． 答案：－ 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为Sn＝a·＋5，所以Sn＝3a·＋5.因为当q≠1时，Sn＝＝－·qn，所以qn的系数与常数项互为相反数，所以3a＋5＝0，所以a＝－. 5．(2025·新课标卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于________． 答案：2 解析：设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0，又S4＝4，S8＝68，所以q≠1.由S4＝4，得＝4　①，由S8＝68，得＝68　②，②÷①，得＝，即＝1＋q4＝17，所以q4＝16，又q>0，所以q＝2. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 求等比数列的前n项和 利用等比数列的前n项和公式求公比 利用等比数列前n项和公式的特点求参数 求新数列{a}的首项、公比以及前n项和 求等比数列的公比及前n项和，并判断通项与前n项和之间的关系 求等比数列的公比及前n项和 由等比数列的前n项和公式求公比 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 由等比数列的前n项和公式求参数的取值范围 求等比数列的公比；由数列中项的数量关系求等比数列的前n项和 由等比数列的前n项和公式求参数 由等比数列的前n项和公式求参数 求等比数列的通项公式及前n项和(新定义问题) 求等比数列的通项公式及前n项和(公共项问题) 求等比数列的通项公式及前n项和；与数列有关的不等式问题 一、选择题 1．已知等比数列{an}的首项为1，公比为－2，则数列{an}的前5项和为(　　) A．11 B．16 C．－15 D．－7 答案：A 解析：根据题意，S5＝＝11.故选A. 2．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝5，则数列{an}的公比为(　　) A. B. C．2 D. 答案：C 解析：设数列{an}的公比为q，q>0，显然q≠1，则＝＝1＋q2＝5，解得q＝2或q＝－2(舍去)．故选C. 3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝λ·2n－2，则λ＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：C 解析：解法一：因为当q≠1时，Sn＝＝－·qn，所以qn的系数和常数项互为相反数，所以λ－2＝0，所以λ＝2.故选C. 解法二：当n＝1时，a1＝S1＝2λ－2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(λ·2n－2)－(λ·2n－1－2)＝λ·2n－1，故当n≥2时，an＋1＝λ·2n＝2·λ·2n－1＝2an，因为数列{an}为等比数列，易知该数列的公比为2，则a2＝2a1，即2λ＝2(2λ－2)，解得λ＝2.故选C. 4．若数列{an}是等比数列，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋a＋…＋a＝(　　) A．(2n－1)2 B.(2n－1)2 C．4n－1 D.(4n－1) 答案：D 解析：由题意，得数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，所以a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝22－2＝2，∴等比数列{an}的公比为q＝＝2，∴数列{a}是首项为1，公比为q2＝4的等比数列，∴a＋a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)． 5．(多选)(2025·新课标卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，且q>0，若S3＝7，a3＝1，则(　　) A．q＝ B．a5＝ C．S5＝8 D．an＋Sn＝8 答案：AD 解析：对于A，由题意，得解得故A正确；对于B，a5＝a1q4＝4×＝，故B错误；对于C，S5＝＝＝，故C错误；对于D，an＝4×＝23－n，Sn＝＝8－23－n，则an＋Sn＝23－n＋8－23－n＝8，故D正确．故选AD. 二、填空题 6．已知正项等比数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，则S4＝________． 答案：15 解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，∵－＝，∴1－＝，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，∴S4＝＝15. 7．在递增的等比数列{an}中，Sn为其前n项和．已知a1＋an＝34，a3an－2＝64(n>2，n∈N*)，且Sn＝42，则数列{an}的公比为________． 答案：4 解析：设数列{an}的公比为q.∵a1＋an＝34，a3an－2＝a1an＝64(n>2，n∈N*)，∴a1＝2，an＝32，∴Sn＝＝＝42，解得q＝4. 8．在数列{an}中，an＝，且a1＋a2＋…＋a8>，则实数c的取值范围是________． 答案： 解析：由题意，知a1＋a2＋…＋a8＝×＝c>，解得c>.故实数c的取值范围是. 三、解答题 9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn. 解：(1)依题意有S1＋S2＝2S3， 即a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)， 又a1≠0，所以2q2＋q＝0. 又q≠0，所以q＝－. (2)由已知，可得a1－a1＝3，故a1＝4. 所以Sn＝＝. 10．已知等比数列{an}中，a1＝1，a6＝16a2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝255，求m的值． 解：(1)设等比数列{an}的公比为q. 因为在等比数列{an}中，a1＝1，a6＝16a2， 所以q4＝＝16，所以q＝±2， 当q＝2时，an＝1×2n－1＝2n－1； 当q＝－2时，an＝1×(－2)n－1＝(－2)n－1. (2)当q＝2时，Sm＝＝2m－1＝255， 解得m＝8； 当q＝－2时，Sm＝＝255，无正整数解． 综上所述，m＝8. 11．已知数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则正整数k的值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：B 解析：因为数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3，所以a1＋2a1＝3，解得a1＝1，所以an＝2n－1，所以ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝ak(1＋2＋22＋…＋29)＝2k－1·＝2k＋9－2k－1＝214－24，解得k＝5.故选B. 12．欧拉函数φ(n)表示不大于正整数n且与n互素(互素：公约数只有1)的正整数的个数．已知φ(n)＝n…，其中p1，p2，…，pr是n的所有不重复的质因数(质因数：因数中的质数)，例如：φ(100)＝100××＝40，若数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则φ(a1)＋φ(a2)＋…＋φ(an)＝________． 答案：3n－1 解析：因为数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以an＝2×3n－1，当n＝1时，φ(a1)＝φ(2)＝2×＝1，当n≥2时，an＝2×3n－1的所有不重复的质因数为2和3，所以φ(an)＝2×3n－1××＝2×3n－2，所以φ(a1)＋φ(a2)＋…＋φ(an)＝1＋2(1＋3＋32＋…＋3n－2)＝1＋2×＝3n－1.当n＝1时，φ(a1)＝1满足上式，所以φ(a1)＋φ(a2)＋…＋φ(an)＝3n－1. 13．记Sn为公比不为1的等比数列{an}的前n项和，a5－a4＝－8a2＋8a1，S6＝21. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝log2a，若由{an}与{bn}的公共项从小到大排列组成数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠1)， 因为a5－a4＝－8a2＋8a1，即a2q3－a1q3＝－8(a2－a1)，即q3＝－8，所以q＝－2， 又S6＝＝21，即＝21， 解得a1＝－1， 所以an＝－1×(－2)n－1＝(－1)n×2n－1. (2)由(1)可得bn＝log2a＝log2[(－1)n×2n－1]2＝log222(n－1)＝2(n－1)， 则数列{bn}为0，2，4，6，…等非负偶数组成的数列， 又an＝(－1)n×2n－1，令an>0，则n为正偶数， 所以c1＝2，c2＝23，c3＝25，…，cn＝22n－1， 所以{cn}是以2为首项，4为公比的等比数列， 所以Tn＝＝. 14．在①a1＝2且＝8；②Sn＝t－；③an>0，S3＝21且a2＋a3＝6a1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答． 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且________，则是否存在正整数n，使Sn－an－100>0成立？若存在，求出n的最小值；若不存在，请说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：选①a1＝2且＝8， 设等比数列{an}的公比为q， 则＝＝＝q3＝8， 解得q＝2， 所以an＝a1qn－1＝2n，Sn＝＝2n＋1－2， 则Sn－an－100＝2n＋1－2－2n－100＝2n－102>0， 解得n≥7， 所以存在正整数n，使Sn－an－100>0成立，n的最小值为7. 选②Sn＝t－， 则an＝Sn－Sn－1＝－＋＝， 又数列{an}为等比数列， 所以a1＝1＝S1＝t－1，解得t＝2， 所以Sn＝2－， 则Sn－an－100＝2－－－100＝－－98<0， 故不存在正整数n，使Sn－an－100>0成立． 选③an>0，S3＝21且a2＋a3＝6a1， 则a1＝S3－(a2＋a3)＝21－6a1， 解得a1＝3， 设等比数列{an}的公比为q， 则3q＋3q2＝18， 解得q＝2或q＝－3(舍去)， 所以an＝a1qn－1＝3×2n－1，Sn＝3(2n－1)， 则Sn－an－100＝3(2n－1)－3×2n－1－100＝3×2n－1－103>0，解得n≥7， 所以存在正整数n，使Sn－an－100>0成立，n的最小值为7. 1 学科网（北京）股份有限公司 $