4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

4.3.2　等比数列的前n项和公式 [课时目标] 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式;理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系. 2.掌握等差数列与等比数列的综合应用,理解几种简单的求和方法. 第1课时　等比数列的前n项和公式[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 1.等比数列的前n项和公式 |微|点|助|解| 　　一般地,使用等比数列求和公式时需注意 (1)一定不要忽略q=1的情况. (2)知道首项a1、公比q和项数n,可以用; 知道首尾两项a1,an和q,可以用. (3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量:a1,n,q,an,Sn.知道其中任意三个,可求其余两个. 2.等比数列前n项和的性质 (1)数列{an}为公比不为-1的等比数列,Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍构成等比数列. (2)若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N*). (3)若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则: ①在其前2n项中,=q; ②在其前2n+1项中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q≠-1).S奇=a1+qS偶. (4)若一个非常数列{an}的前n项和Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,且q≠1,n∈N*),则数列{an}为等比数列,即Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,且q≠1,n∈N*)⇔数列{an}为等比数列. |微|点|助|解| 　　当q=-1且n为偶数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…不是等比数列;当q=-1,且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是等比数列. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=来求. (　　) (2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn=na. (　　) (3)若某数列的前n项和公式为Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0且q≠1,n∈N*),则此数列一定是等比数列. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√ 2.等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44,则a1的值为 (　　) A.4 B.-4 C.2 D.-2 解析:选A　由S5==44,得a1=4. 3.数列{2n-1}的前99项和为 (　　) A.2100-1 B.1-2100 C.299-1 D.1-299 解析:选C　数列{2n-1}为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为S99==299-1. 4.已知一个等比数列的项数是偶数,其奇数项之和为1 012,偶数项之和为2 024,则这个数列的公比为 (　　) A.8 B.-2 C.4 D.2 解析:选D　设公比为q,由题意知S偶=qS奇,即2 024=1 012q,∴q=2. 5.等比数列1,x,x2,x3,…的前n项和Sn=　　　　.  解析:当x=1时,Sn=n;当x≠1时,Sn=. 答案: 题型(一)　等比数列前n项和的基本运算 [例1]　求下列等比数列前n项和: (1),,,…,求S8; (2)a1+a3=10,a4+a6=,求S5. 解:(1)因为a1=,q=,所以S8==. (2)法一　由题意知 解得从而S5==. 法二　由(a1+a3)q3=a4+a6,得q3=,从而q=.又a1+a3=a1(1+q2)=10, 所以a1=8,从而S5==. |思|维|建|模| 　　在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.(注意:q=1和q≠1的讨论) 　　[针对训练] 1.在等比数列{an}中,若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n. 解:法一　∵an=96,q=2, ∴a1·2n=192.① 又∵Sn==189, 即a1-a1·2n=-189, ∴a1=a1·2n-189=192-189=3. 代入①式得n=6. 法二　由公式Sn=及已知,得189=,解得a1=3. 又由an=a1qn-1,得96=3·2n-1, 解得n=6. 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn. 解:设{an}的公比为q, 由题设得 解得或 当a1=3,q=2时,an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1); 当a1=2,q=3时,an=2×3n-1,Sn=3n-1. 题型(二)　等比数列前n项和的性质及应用 [例2]　(1)等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=48,S2n=60,则S3n= (　　) A.60 B.61 C.62 D.63 (2)一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,则此数列的公比为　　　　,项数为　　　　.  解析:(1)法一　∵S2n≠2Sn,∴公比q≠1, 由已知得 ②÷①得1+qn=,即qn=,③ ③代入①得=64,∴S3n==64=63. 法二　∵{an}为等比数列,显然公比q≠-1,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),即(60-48)2=48(S3n-60),∴S3n=63. 法三　由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn,即60=48+48qn,得qn=,∴S3n=S2n+q2nSn=60+48×=63. (2)设数列为{an},其公比为q,项数为2n,则奇数项,偶数项分别组成以q2为公比的等比数列,又a1=1,a2=q,q≠1,所以 ②÷①,得q=2,所以=85,4n=256,故得n=4,故项数为8. 答案:(1)D　(2)2　8 　　[变式拓展] 　在例2(1)中,若把条件换为“Sn=2,S2n=6”,求S4n. 解:设数列{an}的公比为q,首项为a1,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列, Sn=2,S2n-Sn=4,故qn=2. 所以Sn==2,得-=2, 即=-2,S4n===-2×(1-16)=30. |思|维|建|模| 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项,要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一隐含特点;若等比数列{an}共有2n+1项,要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质. 　　[针对训练] 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则S9等于 (　　) A. B.- C. D. 解析:选C　由已知得S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,且S3=8,S6-S3=7-8=-1,∴S9-S6=(-1)×=,∴S9=S6+=7+=.故选C. 4.已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q= (　　) A.-2 B.2 C.- D. 解析:选B　设等比数列{an}的奇数项和为S1,偶数项和为S2,则解得而奇数项与偶数项的项数相同,所以公比q===2.故选B. 题型(三)　等比数列前n项和的综合应用 [例3]　已知等差数列{an}满足a3=7,a2+a6=20. (1)求{an}的通项公式; (2)若等比数列{bn}的前n项和为Sn,且b1=a1,=a6,bn+1>bn,求满足Sn≤2 024的正整数n的最大值. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 则a3=a1+2d=7,a2+a6=2a1+6d=20, 解得a1=1,d=3,所以an=1+3(n-1)=3n-2. (2)设等比数列{bn}的公比为q. 由(1)知b1=a1=1,=a6=3×6-2=16. 因为=(b1q2)2,所以q=2或q=-2, 又bn+1>bn,所以q=2, 所以Sn==2n-1. 令2n-1≤2 024,得2n≤2 025, 又210<2 025<211, 所以满足题意的正整数n的最大值为10. |思|维|建|模| 解决等比数列前n项和有关问题时应注意: (1)首先将题目问题转化为等比数列问题. (2)当题中有多个数列出现时,既要研究单一数列项与项之间的关系,又要关注各数列之间的相互联系. 　　[针对训练] 5.设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1,Sn,an+1成等差数列. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=1-Sn,问:是否存在a1,使数列{bn}为等比数列?若存在,求出a1的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)依题意,得2Sn=an+1-a1. 于是,当n≥2时,有 两式相减,得an+1=3an(n≥2). 又因为a2=2S1+a1=3a1,an≠0, 所以数列{an}是首项为a1, 公比为3的等比数列. 因此,an=a1·3n-1(n∈N*). (2)存在.因为Sn==a1·3n-a1, 所以bn=1-Sn=1+a1-a1·3n. 要使{bn}为等比数列,则1+a1=0,故a1=-2. 学科网（北京）股份有限公司 $