4.3.1 第3课时 等比数列的综合应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

第3课时　等比数列的综合应用[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题. 2.体会等比数列的通项公式与指数函数的关系.并能解决指数函数单调性问题. 题型(一)　等比数列的实际应用 [例1]　某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值. (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱? 解:(1)从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为a1,a2,a3,…,an, 由题意,得a1=13.5,a2=13.5(1-10%),a3=13.5(1-10%)2,…. 由等比数列定义,知数列{an}是等比数列,首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9, ∴an=a1·qn-1=13.5×(0.9)n-1. ∴n年后车的价值为an+1=13.5×(0.9)n万元. (2)由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(万元), ∴用满4年时卖掉这辆车,大概能得到8.9万元. |思|维|建|模| 解等比数列应用题的步骤 (1)审题:解决数列应用题的关键是读懂题意; (2)建立数学模型:将实际问题转化为等比数列的问题; (3)解数学模型:注意隐含条件,数列中n的值是正整数; (4)还原:即最后转化为实际问题作出回答. 　　[针对训练] 1.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边.反复进行这一过程,就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(如图1)的边长为1,把图2、图3、图4中的图形依次记为1级、2级、3级雪花曲线,则n级雪花曲线的边长为　　　　,n级雪花曲线的周长为　　　　.  解析:设n级雪花曲线的边长为an,则数列{an}是首项为,公比为的等比数列,故n级雪花曲线的边长an=×=.设n级雪花曲线的边数为bn,则数列{bn}是首项为12,公比为4的等比数列,故n级雪花曲线的边数bn=12×4n-1,则n级雪花曲线的周长为12×4n-1×=. 答案:　 题型(二)　等比数列的通项公式与指数型函数的关系 　　等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n). (2)由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下: ①当或时,等比数列{an}为递增数列; ②当或时,等比数列{an}为递减数列. ③当q=1时,等比数列{an}为常数列. ④当q<0时,等比数列{an}为摆动数列. |微|点|助|解| (1)q<0或q=1时,等比数列通项公式不具备指数型函数特点. (2)等比数列的单调性由a1和q共同决定,只有q>0且q≠1时存在单调性. [例2]　(1)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,{bn}是正项等比数列,若a1=b1,a7=b7,则 (　　) A.a4=b4 B.a5<b5 C.a8>b8 D.a9<b9 (2)[多选]下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是 (　　) A.q>1⇒{an}为递增数列 B.{an}为递增数列⇒q>1 C.0<q<1⇔{an}为递减数列 D.q>1⇒/ {an}为递增数列,且{an}为递增数列⇒/ q>1 解析:(1)等差数列的通项公式是关于n的一次函数,n∈N*,图象中的孤立的点在一条直线上, 而等比数列{bn}的通项公式是关于n的指数函数,n∈N*,图象中孤立的点在指数函数图象上,如图所示,当公差d>0时,如图1所示,当公差d<0时,如图2所示, 由图可知当a1=b1,a7=b7时,a4>b4,a5>b5,a8<b8,a9<b9.故选D. (2)若a1=-2,q=2>1,则{an}的各项为-2,-4,-8,…,是递减数列,A不正确;若等比数列{an}的各项为-16,-8,-4,-2,…,是递增数列,则q=<1,B不正确,D正确;若a1=-16,q=∈(0,1),则{an}的各项为-16,-8,-4,…,显然是递增数列,C不正确. 答案:(1)D　(2)ABC |思|维|建|模| (1)具备“an=kan(k≠0)”形式,如an=2n-1,an=3×为等比数列. (2)等比数列的单调性由a1和q共同决定,如a1>0,q>1或a1<0,0<q<1,{an}递增;a1>0,0<q<1或a1<0,q>1,{an}递减. 　　[针对训练] 2.已知q是等比数列{an}的公比,则“a1(1-q)>0”是“数列{an}是递增数列”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选D　已知q是等比数列{an}的公比,当a1=1,q=-1时,a1(1-q)>0,数列为摆动数列,推不出数列{an}是递增数列.当数列{an}是递增数列时,不妨取an=2n,则a1=2,q=2,不满足a1(1-q)>0.故“a1(1-q)>0”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件. 3.[多选]已知Tn为正项等比数列{an}的前n项积,若T2 024<1,T2 025>1,则 (　　) A.{an}的公比的取值范围为(0,1) B.数列{an}为递增数列 C.当n=1 012时,Tn最小 D.当n=1 013时,Tn最大 解析:选BC　由T2 024=a1a2·…·a2 023a2 024=(a1 012a1 013)1 012<1,得a1 012a1 013<1,同理由T2 025>1,得a1 013>1,所以0<a1 012<1,a1 013>1,所以q=>1,故0<a1<a2<…<a1 012<1<a1 013<…,所以{an}为递增数列,当n=1 012时,Tn最小,Tn无最大值,故A、D错误,B、C正确.故选BC. 题型(三)　等差、等比数列的综合问题 [例3]　设{an}是公比大于1的等比数列,已知a1+a2+a3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=log2a3n+1,n=1,2,3,…,求数列{bn}的前n项和Tn. 解:(1)由已知得解得a2=2. 设数列{an}的公比为q,由a2=2可得a1=,a3=2q,由a1+a2+a3=7,可得+2+2q=7,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=,由题意得q>1,∴q=2,∴a1=1.故数列{an}的通项公式为an=2n-1. (2)由于bn=log2a3n+1,由(1)得a3n+1=23n,∴bn=log223n=3n.∵bn+1-bn=3,∴{bn}是等差数列,∴Tn=b1+b2+…+bn==. 　　[针对训练] 4.在等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,问a9是不是数列{bn}中的项?若是,求出是第几项;若不是,请说明理由. 解:(1)设数列{an}的公比为q,则q4-1===8,得q=2,所以an=a1qn-1=2×2n-1=2n. (2)设等差数列{bn}的公差为d,b3=a3=23=8,b5=a5=25=32.则d===12,所以bn=b3+(n-3)d=8+12(n-3)=12n-28.因为a9=29=512=12×45-28=b45,所以a9是数列{bn}中的第45项. 学科网（北京）股份有限公司 $