4.3.1 第2课时 等比数列的性质及判定-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

第2课时　等比数列的性质及判定[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.掌握等比数列的判定及证明方法;灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形. 2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质,并能运用这些性质简化运算. 题型(一)　等比数列项的设法与求解 [例1]　有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,第一个数与第四个数的和为21,中间的两个数的和为18,求这四个数. 解:法一　设前三个数分别为,a,aq(q≠0),则第四个数为2aq-a. 由题意得解得q=2或q=. 当q=2时,a=6,这四个数为3,6,12,18;当q=时,a=,这四个数为,,,. 法二　设后三个数分别为a-d,a,a+d,则第一个数为,所以这四个数为,a-d,a,a+d. 由题意得 解得或故这四个数为3,6,12,18或,,,. |思|维|建|模| 等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列,可设三个数为a,aq,aq2或,a,aq. (2)若四个数成等比数列,可设为a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,可设为,,aq,aq3;若四个数成公比为负数的等比数列,可设为,-,aq,-aq3. 　　[针对训练] 1.三个数成等比数列,它们的和等于14,它们的积等于64,求这三个数. 解:由三个数成等比数列,设这三个数为,a,aq,则解得或所以这三个数为2,4,8或8,4,2. 题型(二)　等比数列的性质 1.等比数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an=a1qn-1 (揭示首末两项的关系) an=amqn-m (揭示任意两项之间的关系) 2.等比数列项的运算性质 若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=ap·aq. (1)当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am·an=. (2)对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项之积,即a1·an=a2·an-1=…=ak·an-k+1=…. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm. (4)若数列{an}为等比数列,且m1+m2+…+mn=k1+k2+…+kn,则·…·=·…·. |微|点|助|解| 　　等比数列的常用结论 (1)若{an}是公比为q的等比数列,则: ①{can}(c为任一非零常数)是公比为q的等比数列; ②{|an|}是公比为|q|的等比数列; ③{}(m为常数,n∈N*)是公比为qm的等比数列. (2)若{an},{bn}分别是公比为q1,q2的等比数列,则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列. [例2]　已知{an}为等比数列, (1)若a2a4=,求a1a5; (2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5; (3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10. 解:(1)等比数列{an}中,∵a2a4=, ∴=a1a5=a2a4=,∴a1a5=. (2)由等比中项,化简条件得+2a3a5+=25,即(a3+a5)2=25,∵an>0,∴a3+a5=5. (3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9, ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10)=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]=log395=10. 　　[变式拓展] 1.本例(3)改为“a5+a6=3,a15+a16=6”,求a25+a26的值. 解:∵数列{an}为等比数列,∴a5+a6,a15+a16,a25+a26也成等比数列, ∴a25+a26===12. 2.本例(1)条件变为“若a5a6a7=-27”,求a2a6+a2a10+a6a10的最小值. 解:法一　因为数列{an}是等比数列,所以a5a6a7==-27,所以a6=-3,所以a2=<0, 所以a2a6+a2a10+a6a10=a2a6++=-3a2+9-≥2+9=27, 当且仅当-3a2=-,即a2=-3时取等号. 法二　因为数列{an}是等比数列,所以a5a6a7==-27,所以a6=-3,所以a2a6+a2a10+a6a10=++≥2a4a8+9=2+9=2×9+9=27,当且仅当a4=a8=-3时取等号. |思|维|建|模| 等比数列的运算常用的两条思路 (1)根据已知条件,寻找、列出两个方程,确定a1,q,然后求其他; (2)利用性质巧解,其中m+n=k+l=2s(m,n,k,l,s∈N*)⇔am·an=ak·al=. 　　[针对训练] 2.在等比数列{an}中,若a5a7a9a11=36,则a2a14= (　　) A.6 B.9 C.±6 D.±9 解析:选A　因为a5a7a9a11= =36,所以=6(舍负),所以a2a14==6.故选A. 3.已知等比数列{an}满足a2+a4+a6+a8=20,a2a8=2,则+++的值为 (　　) A.20 B.10 C.5 D. 解析:选B　在等比数列{an}中,由等比数列的性质可得a4a6=a2a8=2.所以+++=+===10.故选B. 题型(三)　等比数列的判定与证明 [例3]　已知数列{an}中,a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,且对任意n∈N*,有an+1=kSn+1(k为常数). (1)当k=2时,求a2,a3的值; (2)试判断数列{an}是否为等比数列?请说明理由. 解:(1)由题意可得,a2=2S1+1=3,a3=2S2+1=2×(1+3)+1=9. (2)当n≥2时,an=kSn-1+1.由an+1=kSn+1,an=kSn-1+1两式相减得an+1=(k+1)an. 当k=-1时,{an}不是等比数列;当k≠-1时,可得=k+1(n≥2),当n=1时,a1=1,a2=k+1,所以=k+1,故对任意的n∈N*都有=k+1,此时数列{an}是等比数列.综上,当k=-1时,{an}不是等比数列;当k≠-1时,{an}是等比数列. 　　|思|维|建|模|　判断数列是等比数列的常用方法 (1)定义法:若数列{an}满足=q(n∈N*,q为常数且不为零)或=q(n≥2,且n∈N*,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列. (2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列. (3)等比中项法:若=anan+2(n∈N*且an≠0),则数列{an}为等比数列. 　　[针对训练] 4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=n. (1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)证明:因为an+Sn=n　①, 所以an+1+Sn+1=n+1　②. ②-①得an+1-an+an+1=1,所以2an+1=an+1, 所以2(an+1-1)=an-1.又a1+a1=1, 所以a1=,所以a1-1=-≠0. 因为=,所以=.故{cn}是以c1=a1-1=-为首项,为公比的等比数列. (2)由(1)知cn=-×=-.因为cn=an-1,所以an=1-. 学科网（北京）股份有限公司 $