4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

024 4.3 等比数列 4.3.1等比数列的概念 第1课时 等比数列的概念及通项公式 新课程标准解读 学科核心素养 1.通过生活中的实例，理解等比数列、等比中项的概念. 数学抽象 2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题. 逻辑推理、数学运算 教材梳理明要点 ●情境导入 [提示] 从第2项起，每一项 观察数列2,2,23,24，…，2”.从第二项起，每一项与它的前一项的差不等于 与它的前一项的比都 等于同一个常数.数 同一个常数，它的前后项之间有什么样的关系呢？数列2,2,2,2,2,2，…也 列2,2,2,2,2， 2,…也满足这样的 满足这样的关系吗？ [提示] 关系. [知识点反思1] 曰新知初探 (1)等比数列的公比9 可正可负，但不能为 0;等比数列中任一 知识点一等比数列的定义 项不为0； 1.一般地，如果一个数列从第 (2)常数列（除0,0， 项起，每一项与它的前一项的 0,…外)都是公比为 都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数 1的等比数列. [知识点反思2] 列的 ,公比通常用字母9表示（显然q≠0） (1)若G2=ab,则 a,G,b不一定成等 2.等比数列定义的符号表示：a=g(n∈N*且n≥2)或 比数列，如G=a= (n∈ b=0: an-1 (2)只有同号的两个 N*) 实数才有等比中项； ●[知识点反思1] (3)若两个实数有等 比中项，则一定有两 知识点二等比中项 个，它们互为相反 数，即G=±√ab 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成 ,那么G叫做a [知识点反思3] (1)已知首项a1和公 与b的等比中项.此时，G= [知识点反思2] 比q的前提下，利用 通项公式可求出等比 知识点三等比数列的通项公式 数列中的任意一项； (2)可以利用通项公 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0)，则通项公式为an= 式判断数列是否为等 比数列； [知识点反思3] (3）an=ag-1= a29-2=a3g-3=…= anga-n 025 ©预习自测 1.判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. （1136g时 (2)10,10,10,10,10,…; )号，号… (4)1,0,1,0,1,0, (5)1,-4,16,-64,256,… 2.等比数列{an}中，a1=3,公比9=2，则a5= A.32 B.-48 C.48 D.96 3.等比数列{an}中，a2=3,a4=27,则公比q= 4.4与16的等比中项是 题型探究提技能 题型一等比数列的概念 [方法总结1] 判断一个数列是否为 例1（多选）下列数列是等比数列的是 等比数列的方法 A.b,b,b,b,…(b为常数，b≠0) B.22,42,62,82,… 定义法：如果一个数 111 C1,-24,8… D.1,111 列从第2项起，每一 项与它的前一项的比 都等于同一个常数， 那么这个数列是等比 ●[方法总结1] 数列，否则，不是等 比数列，且等比数列 》跟踪训练1 中任意一项不能为 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） 0,对于含参的数列 需要分类讨论 (1)数列1，-1,1，-1，…是等比数列 [方法总结2] (2)若数列a,}满足=2，=2，则{a.}为等比数列. ( 应用等比中项需注意 a 02 的问题 (3)任何常数列都是等比数列. ( (1)由等比中项的定 (4)数列a,G,b成等比数列的充要条件是G2=ab. 义可知G=b ( aG→c= 题型二等比中项及应用 ab=G=±ab,所 例2（多选）如果-1，a,64,-9成等比数列，那么 以只有a,b同号时， a,b的等比中项有两 A.b=3 B.b=-3 C.ac=9 D.ac=-9 个，异号时，没有等 比中项； P[方法总结2] (2)在一个等比数列 中，从第二项起，每 )】跟踪训练2 一项（有穷数列的末 项除外)都是它的前 在等比数列{an}中，a4,a6是方程x2-4x+1=0的两根，则a等于（） 一项和后一项的等比 A.2 B.1 C.-1 D.±1 中项 026 题型三 等比数列的通项公式 例3在等比数列a,中， (1)a5=8,a1=2,an>0,求an; (2)an=625,n=4,9=5,求a1; [方法总结3] (3)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n. [方法总结3] 关于等比数列基本量 的运算 (1)a和q是等比数 列的两个基本量，解 决相应问题时，只要 求出这两个基本量， 其余的量便可以 得出； (2)等比数列的通项 公式涉及4个量41， am,n,q,只要知道 其中任意三个就能求 出另外一个，解题时 常列方程（组)来 解决 〉跟踪训练3 在等比数列{an}中，a2+a4=1,a6+ag=9,则a2= B c D.4 随堂检测 重反馈 1.下列数列为等比数列的是 A.2,22,3×22,… B.111 22223,… C.s-1,(s-1)2,(s-1)3, D.0,0,0, 2.等比数列{an}中，a4=1,ag=16,则a6= 3数到-宁，行日石…的随项公式为。， 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[7]所以S,的最大值为169 方法四：设Sn=An2+B. 因为Sg=S1g,a1=25, 所以借助二次函数图象知对称轴为n-8+18=13,且开口方 2 向向下， 所以当n=13时，S.取得最大值. r82A+8B=182A+18B, 由题意得 A+B=25, 解得A=-1, B=26, 所以Sn=-n2+26n, 所以S13=169 即S的最大值为169. 限踪训练2：-1<一子 由题意，当且仅当n=8时，S,有最 d<0, d<0 大值，可知a>0,即7+7d>0,解得-1<d<-8 7 a,<0,l7+8d<0, 例3：【解析】由于购房时先付150万元，则欠款1000万元 依题意分20次付款，则每次付款金额顺次构成数列{an}, 所以a.=50+[1000-50(n-1)]×1% =60-7(a-101≤a≤20，aeN), 所以a}是以60为首项，-了为公差的等差数列， 所以an=60-19×7=50.5 所以Sm=2(a,+a）×20=10×(60+50.5)=1105, 所以实际共付1105+150=1255（万元）. 故全部按期付清后，买这40套公寓实际花了1255万元. 跟踪训练3：【解析】从第一辆车投入工作算起各车工作时间 （单位：小时)依次设为a1,a2,…,a5: 由题意可知，此数列为等差数列，且a=24,公差山=-分 25辆翻斗车完成的工作量为a1+a2+…+as=25×24+25 x2×(-) =500 而需要完成的工作量为24×20=480. .·500>480 .在24小时内能构筑成第二道防线. 随堂检测重反馈 1.D因为数列{an}是等差数列，且S4=8,Sg=20,Sg-S4=12, 所以数列S4,Ss-S4,S2-Sg,S6-S2,…是等差数列，且首项 为8，公差为4.所以a13+a14+a15+a16=S16-S2=8+4×3= 20. 2.C设10个兄弟由大到小依次分得an(n=1,2,…,10)两银 子，设数列{am}的公差为d,其前n项和为S,则由题意得 -1 86 a=6，即 a1+7d=6, [a1= 5 解得 09=10o 所以长兄 So=100,10a1+ 8 d=-5 分得两银子 3.13易知数列{an}是单调递减的等差数列，公差d<0,由S6 26(a+a6）=0,得a,+a6=0,所以as+a4=a+a6=0, 2 所以a13>0,a14<0,所以该数列前13项的和最大. 4. 4由等差数列的性质知S,S。-S,S,-S6,S2-S,成等差 数列，设S3=k,S6=4k(k≠0)，则S,=3S6-3S3=9k,S12=3S, -3+8=16,所以哈= 4.3等比数列 4.3.1等比数列的概念 第1课时 等比数列的概念及通项公式 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.2比同一个公比 2.0出=9 a 知识点二 等比数列ab 知识点三 a1g-1 预习自测 11 1.【解析】 ()月臣不是等比数列 (2)是等比数列，公比为1. (3)是等比数列，公比为子 (4)有0项，不是等比数列. (5)是等比数列，公比为-4. 2.Ca5=a1g=3×2=48. 3±3设等比数列a的首项为a,则9=3， 解得g=9, la1g3=27. 所以q=±3. 4.±8由G=4×16=64得G=±8. 题型探究提技能 例1：ACDA选项中的数列为常数列，公比为1，所以该数列是 等比数列：B选项中，号≠冬，所以该数列不是等比数列；C选 项中的数列是首项为1，公比为-2的等比数列；D选项中的 数列是首项为。，公比为。的等比数列故选ACD. 跟踪训练1：(1)V(2)×(3)×(4)× 【解析】(1)是等比数列，公比为-1.(2)不能确定第三项以 后的情况，不是等比数列.(3)所有项都是0的数列，不是等比 数列.(4)不是充要条件，是必要不充分条件. 例2：BCb是-1，-9的等比中项，.2=9，b=±3.由等比 数列奇数项符号相同，得b<0,故b=-3,而b又是a,c的等 比中项，故b2=ac,即ac=9. 跟踪训练2：D由题意知a4a6=1,所以a?=a4a6=1,所以a5= ±1. 例3：【解析】设数列{an}的公比为q 1)因为{，=4，°所以9=8，】 ① la9=2.② 号得g-=,因为4，>0，所以9=分4=128， 所以a.=4·g=128×(分）=（分） (2)a,== g5会=5，解得a1=5. 625 (3)因为厂+a=a9+a9=18, ① la3+a6=a192+a93=9, ② =子，所以4=32 -1 又a,=1,所以32×（分） =1, 即26-"=2°，解得n=6. 跟踪训练3：A由题得9+a9=1, 解得g2=3,∴q=5或 lag +aq=9, 9=-.当g=5时4-得当g=-5时4=-得 /3 1 a2=a19=4 随堂检测重反馈 1.BA项不满足定义，C项可为0，D项不符合定义.故选B. 24方法-ag=a4gg=2=16,q=4,a6=049 =4. 方法二：a6是a4与ag的等比中项，∴a6=a4·ag=16,又： a6与a4,ag同号，.a6=4. 3(-）广该数列是以-宁为公比，-之为首项的等比数 列，则a=(分)月 第2课时等比数列的性质及应用 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 1.am9"-m 2.a 3.g 14 知识点二 1.9 2.g 4.等比 5.等差 预习自测 1.Ca5=4·g2=27×（-3）=-1 2.1由等比数列的性质，知a=aa1=16.又数列{a,}的各项 都是正数，所以a=4.又a,=a,×9,则a,=子=1 3.【解析】因为an}为等比数列，所以aa4a5,a6aag,aga1oa 仍为等比数列， 公比g= dodqux=24=8,所以a,a041=(a,aas)·g=24×8 asads3 =192. 题型探究提技能 例1：(1)8(2)7(3)10 【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,则a,=a592>0.由 等比中项的性质可得a7=a5ag=64,解得a,=8. (2)由等比中项，化简条件得a6+2a6ag+a=49,即(a6+ ag)2=49,因为an>0,所以a6+ag=7. (3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2,=a3ag=a4a7= 9,所以log3a1+log3a2+…+log3ao=log3(a1a2·…·a1o)= logs[(aa)(aza)(a3as).(aaa)(asa)]=10g3 95=10. 跟踪训练1：A由a6·a2=a4·a14=6,且a4+a14=5,解得a4 =2,a4=3或04=3，a4=2,若a=2,au=3,则g°=子，即 2子若a,-3a2.则g=子2号 a59 例2：【解析】(1)证明：由a+1=2a,+n-1, 得a+1+n+1=2a+2n=2(a.+n),易知a1+1=2≠0， ∴.数列{a,+n是首项与公比都为2的等比数列. (2)由(1)得an+n=2·2"-1=2",∴.an=2"-n. 跟踪训练2：63因为a.},bn}为等比数列，所以{anbn}也为 等比数列，设anbn}的公比为g,又ab1=7,a3b3=21,所以g =a4=3,即a,bs=a,b·g2=21×3=63. a bi 例3：【解析】(1)由题意知开始时容器中酒精的浓度为1， 设第n次操作后容器中酒精的浓度为a。, 则第1次操作后容器中酒精的浓度为4，=1-工 a 第n+1次操作后容器中酒精的浓度为a1=a(1-日）， 所以a.是首项为a=1-日 公比为g=1-。的等比数列，所以a.=a191=（1-）, 即第n次操作后容器中酒精的浓度是(1-日)厂 48