4.3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念与通项公式[教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念,掌握等比数列通项公式的意义. 2.掌握等比数列的通项公式及其推导过程,能利用公式进行简单运算. 逐点清(一)　等比数列的有关概念 [多维理解] 1.等比数列的概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0). 2.等比数列定义的符号表示 =q(n∈N*且n≥2)或=q(n∈N*). |微|点|助|解| (1)定义强调“从第2项起”,因为第一项没有前一项. (2)等比数列的公比q可正可负,但不能为0,等比数列中任一项不为0. (3)常数列(除0,0,0,…外)都是公比为1的等比数列. [微点练明] 1.以下条件中,能判定数列是等比数列的有 (　　) ①数列1,2,6,18,…; ②数列{an}中,已知=2,=2;③常数列a,a,…,a,…;④数列{an}中,=q(q≠0),其中n∈N*. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:选A　①中,数列不符合等比数列的定义,故不是等比数列;②中,前3项是等比数列,多于3项时,无法判定,故不能判定是等比数列;③中,当a=0时,不是等比数列;④中,数列符合等比数列的定义,是等比数列.故选A. 2.下列通项公式中代表等比数列的是 (　　) A.an=c B.an=n+1 C.an=n2 D.an=2n 解析:选D　利用逐个检验,A中,c如果为0,显然不是等比数列;B,C不符合常数;D中,==2为常数,符合. 3.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使得这三个数依次成等比数列,则这样的等比数列的个数是 (　　) A.8 B.10 C.12 D.16 解析:选A　当公比为2时,等比数列可为1,2,4;2,4,8;当公比为3时,等比数列可为1,3,9;当公比为时,等比数列可为4,6,9.同时,4,2,1;8,4,2;9,3,1和9,6,4也是等比数列,共8个. 逐点清(二)　等比中项 [多维理解] 　　如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时,G2=ab. |微|点|助|解| (1)若G2=ab,则a,G,b不一定成等比数列,如G=a=b=0. (2)只有同号的两个实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数,即G=±. [微点练明] 1.“G=”是“G是a,b的等比中项”的 (　　) A.既不充分也不必要条件 　　B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 　　D.充要条件 解析:选A　当G=a=b=0时,满足G=,不满足G是a,b的等比中项;当G是a,b的等比中项时,如a=1,b=4,G=-2,但不满足G=,故“G=”是“G是a,b的等比中项”的既不充分也不必要条件.故选A. 2.已知数列{an}为等比数列,其中a6,a10为方程x2+4x+3=0的两根,则a8= (　　) A.± B.- C. D. 解析:选B　由根与系数的关系可得a6a10=3,a6+a10=-4,则a6<0,a10<0.由等比数列的中项性质可得a6a10==3,所以a8=±.因为等比数列的偶数项符号相同,且a6,a10都是负数,所以a8=-.故选B. 3.若1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列,则的值为　　　　.  解析:∵1,a,3成等差数列,∴a==2,∵1,b,4成等比数列,∴b2=1×4,b=±2,∴==±1. 答案:±1 4.在等差数列{an}中,公差d≠0,且a3是a1和a9的等比中项,则=　　　　.  解析:由题意知,a3是a1和a9的等比中项,∴=a1a9.∴(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得a1=d,∴==. 答案: 逐点清(三)　等比数列的通项公式 　　等比数列的通项公式 　　首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(q≠0). |微|点|助|解| (1)在已知首项a1,公比q的条件下,利用通项公式可求出等比数列中的任意一项. (2)可以利用通项公式判断数列是否为等比数列. (3)an=a1·qn-1=a2·qn-2=a3·qn-3=…. [典例]　(1)在等比数列{an}中,a1=,q=,an=,则项数n为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 (2)已知等比数列{an}为递增数列,且=a10,2(an+)=5an+1,则数列{an}的通项公式为an=　　　　.  解析:(1)因为an=a1qn-1,所以×=,即=,解得n=5. (2)设等比数列{an}的公比为q,由2(an+an+2)=5an+1⇒2q2-5q+2=0⇒q=2或q=,由=a10=a1q9>0⇒a1>0,又数列{an}递增,所以q=2.=a10⇒(a1q4)2=a1q9⇒a1=q=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n. 答案:(1)C　(2)2n |思|维|建|模| a1和q的求法通常有以下两种 (1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算. 　　[针对训练] 1.已知等比数列{an}满足a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则此数列的公比等于 (　　) A.1 B.2 C.-2 D.-1 解析:选B　设等比数列{an}的公比为q,因为4a1,2a2,a3成等差数列,所以4a1q=4a1+a1q2,即q2-4q+4=0,解得q=2. 2.在等比数列{an}中,已知a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n. 解:设公比为q,由题意,得 由得q=,∴a1=32. 又an=1,∴32×=1,即26-n=20,∴n=6. 学科网（北京）股份有限公司 $