4.3.1等比数列的概念及通项公式导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

等比数列的概念及通项公式 【学习目标】 1.理解等比数列及等比中项的概念． 2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题． 【学习重难点】重点：等比数列及等比中项的概念. 难点：等比数列的函数特征及综合运用. 【知识梳理】 1.等比数列的概念 一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比都等于 常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比通常用字母表示(). 2.等比数列定义的符号表示:或. 【说明】(1)定义强调“从第项起”,因为第一项没有前一项. (2)等比数列的公比可正可负,但不能为,等比数列中任一项不为. (3)常数列(除,,,…外)都是公比为的等比数列. 【概念辨析】判断下列数列是否为等比数列,并写出公比. (1) ； (2) ； (3) . 二、等比中项的概念 如果在与中间插入一个数 ,使得成等比数列,那么叫做与的_____,此时, ,即. 对比项 等差中项 等比中项 公式 个数 与的等差中项唯一 与的等比中项有两个,且互为相反数 备注 任意两个数与 都有等差中项 当时, 与才有等比中项 【概念辨析】 1.若成等差数列, 成等比数列,则的值为　　　　.  三、等比数列的通项公式 以为首项,为公比的等比数列的通项公式是 (). 【说明】(1)在已知首项,公比的条件下,利用通项公式可求出等比数列中的任意一项. (2)可以利用通项公式判断数列是否为等比数列. (3). 即已知等比数列的任意两项,也可求通项公式. 【典例分析】 例1、已知为等比数列,下面说法正确的有_____. ① (为常数)是等比数列； ② 是等比数列； ③ 是等比数列； ④ 是等差数列. 例2、在等比数列中： （1）求； （2），求； （3），，求. 例3、已知数列中, ,求证:是等比数列. 【当堂训练】 1.（多选）以下条件中，不能判定数列是等比数列的有（　　） A.数列 B.数列满足 C.常数列 D.数列中，，其中 2.已知数列对任意的且，满足，且，则数列的通项公式为　　　　.  3.写出一个公比为，且第三项小于的等比数列的通项公式　　　　.  【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 等比数列的概念及通项公式 【学习目标】 1.理解等比数列及等比中项的概念． 2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题． 【学习重难点】 重点：等比数列及等比中项的概念. 难点：等比数列的函数特征及综合运用. 【知识梳理】 1.等比数列的概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0). 2.等比数列定义的符号表示 =q(n∈N*且n≥2)或=q(n∈N*). 【说明】(1)定义强调“从第2项起”,因为第一项没有前一项. (2)等比数列的公比q可正可负,但不能为0,等比数列中任一项不为0. (3)常数列(除0,0,0,…外)都是公比为1的等比数列. 【概念辨析】 1.判断下列数列是否为等比数列,并写出公比. (1)1,3,32,33,…,3n-1,…; (2)-1,1,2,4,8,…; (3)a1,a2,a3,…,an,…. 解:(1)记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,….∵==3(n≥2,n∈N*), ∴数列为等比数列,且公比为3. (2)记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,…,∵=-1≠=2,∴此数列不是等比数列. (3)当a=0时,数列为0,0,0,…是常数列,不是等比数列;当a≠0时,数列为a1,a2,a3,…,an,…,显然此数列为等比数列,且公比为a. 二、等比中项的概念 如果在 与 中间插入一个数 ,使得 成等比数列,那么 叫做 与 的_____,此时, ,即 . 对比项 等差中项 等比中项 公式 个数 与 的等差中项唯一 与 的等比中项有两个,且互为相反数 备注 任意两个数 与 都有等差中项 当 时, 与 才有等比中项 【概念辨析】 1.若1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列,则的值为　　　　.  解析:∵1,a,3成等差数列,∴a==2,∵1,b,4成等比数列,∴b2=1×4,b=±2,∴==±1. 答案:±1 三、等比数列的通项公式 以a1为首项,q为公比的等比数列{an}的通项公式是an=a1qn-1(q≠0). 【说明】 (1)在已知首项a1,公比q的条件下,利用通项公式可求出等比数列中的任意一项. (2)可以利用通项公式判断数列是否为等比数列. (3)an=a1·qn-1=a2·qn-2=a3·qn-3=…. 即已知等比数列的任意两项,也可求通项公式. 【典例分析】 例1、已知 为等比数列,下面说法正确的有_____. ① ( 为常数)是等比数列； ② 是等比数列； ③ 是等比数列； ④ 是等差数列. 例2、在等比数列｛an｝中： （1）a1=1，a4=8，求an； （2）a4=625，q=5，求a1； （3）a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n. 解　（1）设｛an｝的公比为q，因为a4=a1q3， 所以8=q3，所以q=2， 所以an=a1qn-1=2n-1. （2）a1===5，故a1=5. （3）设｛an｝的公比为q， 因为 由，得q=，从而a1=32. 又an=1， 所以32×=1， 即26-n=20，故n=6. 例3、已知数列 中, ,求证: 是等比数列. 总结：判定与证明等比数列的方法 （1）定义法：=q（n∈N*且n≥2，q为不为0的常数）. （2）等比中项法：=an-1an+1（n∈N*且n≥2，an≠0）. （3）通项公式法：an=a1qn-1=·qn=A·qn（A≠0）. 【当堂训练】 1.（多选）以下条件中，不能判定数列是等比数列的有（　　） A.数列1，2，6，18，… B.数列｛an｝满足=2，=2 C.常数列a，a，…，a，… D.数列｛an｝中，=q（q≠0），其中n∈N* 答案　ABC 解析　A中，≠，不符合等比数列的定义，故不是等比数列； B中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列； C中，当a=0时，不是等比数列； D中，符合等比数列的定义，是等比数列. 2.已知数列｛an｝对任意的n≥2且n∈N*，满足=an-1an+1，且a1=1，a2=2，则数列｛an｝的通项公式为（　　） A.an=2n B.an=2n-1 C.an=n D.an=2n-n 答案　B 3.写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列的通项公式an=　　　　.  答案　×3n-1（答案不唯一） 解析　设数列｛an｝的公比为q，则q=3， 由已知可得a3<1，∴9a1<1， ∴a1<，故a1可取， 故满足条件的等比数列的通项公式可能为an=×3n-1. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $