专题03 复数（3大高频考点）（期中真题汇编，四川专用）高一数学下学期人教A版必修第二册

专题03 复数 4大高频考点概览 考点01复数的概念与分类 考点02复数的运算 考点03复数的几何意义及最值问题 地 城 考点01 复数的概念与分类 一、选择题 1．(24-25高一下·四川南江中学·期中)复数（为虚数单位）的虚部为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】A 【详解】因为复数，所以其虚部为-6，故选：A 2．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)已知复数，则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数的共轭复数为.故选：A. 3．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)设复数，则z的共轭复数的虚部为（    ） A．1 B．-1 C． D．- 【答案】B 【详解】因为，所以，所以虚部是.故选：B 3．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)设i是虚数单位，集合中的元素由复数的实部和虚部组成，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，，则.故选：C. 4．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．2 【答案】B 【详解】由题可得.故选：B 5．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)若复数z=为纯虚数，则实数的值为 A．=2 B．= C．= 或 =2 D．=2且3 【答案】A 【详解】由题意，复数为纯虚数， 所以，解得，即实数的值为2，故选A. 二、多选题 6．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)（多选）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部是 B．的共轭复数是 C． D． 【答案】BD 【详解】复数的虚部为，故A错误；的共轭复数是，故B正确；，故C错误；因为，，所以，故D正确；故选：BD 7．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)（多选）已知复数，则下列说法中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．，则 D．是的充分不必要条件 【答案】ABD 【详解】对于A，令，满足，显然不成立，错误；对于B，令，满足，显然不成立，错误；对于C，设，，由，，可得，则，由可得，所以，又，所以，正确；对于D，令，满足，此时不成立，充分性不成立，错误；故选：ABD 8．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)（多选）已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A． B．，则 C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为的取值是以4为周期，所以，故A正确；对于B，当复数的虚部不为0时，复数不能比较大小，如，，故B错误；对于C，设，则，所以，故C正确；对于D，举反例，如，则，而，故D错误.故选：AC. 三、填空题 9．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知复数是纯虚数，则_____. 【答案】4 【详解】复数是纯虚数，则，解得.故答案为：4. 四、解答题 10．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)计算下列各式 (1) (2) 【详解】（1）依题意，，，即呈周期性，周期为4， 且， 所以. （2） . 地 城 考点02 复数的运算 一、选择题 1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知复数，其中为虚数单位，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以.故选：D. 2．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】由题意，，所以，故选：C． 3．若，则（    ） A．1 B．2 C．5 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以， 故选：A. 4．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由题意有，所以.故选：D. 5．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】，故的虚部为.故选：C. 6．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)已知复数，则复数的虚部为（   ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】D 【详解】.故复数的虚部为.故选：D. 7．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)若复数z满足，则的虚部为（   ） A．1 B．i C．-1 D．-i 【答案】A 【详解】由，故，所以的虚部为1．故选：A． 8．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以．故选：C 9．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知，复数，则 A．-2 B．1 C．0 D．2 【答案】D 【详解】因为，所以，即.故选D． 二、多选题 10．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)已知是虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若复数，，则 B．若复数，则复数z的虚部等于 C．若复数为纯虚数，则 D． 【答案】CD 【详解】虚数无法比大小，但模可以比大小，故A错误；，则复数z的虚部等于，故B错误；复数z为纯虚数，则且，得，故C正确；，故D正确.故选：CD 三、填空题 11．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)复数，，则_________． 【答案】/ 【详解】因为，所以，所以.故答案为：. 12．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)__________. 【答案】 【详解】,故答案为： 13．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知，则______． 【答案】 【详解】因为，所以，所以，故答案为：． 14．复数，则______． 【答案】 【详解】因为复数，则.故答案为： 15．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)______． 【答案】0 【详解】.故答案为：. 16．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则______. 【答案】 【详解】由题意设，则是纯虚数，当且仅当，解得，所以.故答案为：. 地 城 考点03 复数的几何意义及最值问题 一、选择题 1．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】∵，∴该复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.故选：C. 2．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】因为，所以对应的点的位于在第四象限，故D正确.故选：D 3．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由，所以，则在复平面上对应的点为位于第四象限，故选：D. 4．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A 5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)复数（是虚数单位）对应的点位于复平面的（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由复数在复平面内对应的点为，因为，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D. 6．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)在复平面内，复数对应的向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由复数对应的向量，则，所以. 故选：A 7．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知复数：满足，则（ ） A．的实部为 B． C．的共轭复数为 D．在复平面中对应的点位于第一象限 【答案】B 【详解】， 的实部为，故A不正确；∴，故B正确； ，故C错误；复数在复平面内对应的点为在第四象限，故D不正确．故选：B． 二、多选题 8．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)关于复数，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的最小值为 C． D．若是关于的方程：的根，则 【答案】BD 【详解】A选项：由虚数单位的定义，，则，A选项错误；设，B选项：由，则，且，则，，又，所以当时取最小值为，B选项正确；C选项：，，，所以，C选项错误；D选项：由已知复数范围内二次方程的两根满足，且与互为共轭复数，由可知，则，即，D选项正确； 故选：BD. 9．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)（多选）已知是虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若复数，为纯虚数，则 B．若，则 C．已知，则 D．若，，则的最小值为1 【答案】ABD 【详解】对于A，若复数，为纯虚数，则且不是0，所以，A选项正确；对于B，若，则，，B选项正确；对于C，复数不能比较大小，C选项错误；对于D，若，，则，当时取最小值为1，D选项正确；故选：ABD. 9．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（    ） A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，所以，，故A错误；对于B，，而，则、，故位于第二象限，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，所以，又因为，所以，故D正确．故选：BCD． 三、填空题 10．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)复数满足，则的最大值为________. 【答案】/ 【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，的几何意义为所对应的点到点的距离，因为，所以的最大值为.故答案为： 四、解答题 11．已知复数，其中． (1)设，若是纯虚数，求实数的值； (2)设，分别记复数、在复平面上对应的点为、，求与的夹角的余弦值以及在上的投影向量的坐标． 【详解】（1）由题意，复数，则， 因为为纯虚数，所以，，故. （2）因为，所以，所以, 故, 设向量夹角为，所以, 在上的投影向量为. 12．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且. (1)若为纯虚数，求； (2)若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点. ①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由； ②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值. 【详解】（1）因为复数，所以， 而为纯虚数，因此，即. 又因为，且，所以， 由，解得或， 所以或. （2）①存在，理由如下： 法一：由题意知：，得，解得或 ， 因为OB逆时针旋转后与OA重合，所以； 法二：设是以x轴正半轴为始边，OB为终边的角，则， 所以即，所以，所以 ， 且时，满足.所以. ②因为复数，对应的向量分别是为坐标原点），且O，A，B三点不共线， 所以设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为 则且， 因此的面积 ， 设，则，当且仅当且， 即或时等号成立， 所以，其最大值为2. 13．一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是复数的辐角，我们称为复数的三角形式．利用复数的三角形式可以进行复数的乘法、乘方等运算，如：，． (1)若复数，求复数z的实部和虚部； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；； (3)设复平面上单位圆内接正二十四边形的24个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数． 【详解】（1）， 则， 所以复数z的实部为，虚部为0. （2）设模为1的复数为， 则 ， 由复数乘方公式得，所以，. （3）正二十四边形每边所对的中心角为，设（为常数）， 则， 所以 ， 由周期性知，共有8个不同的值， 所以复数所对应不同点的个数为8． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 复数 4大高频考点概览 考点01复数的概念与分类 考点02复数的运算 考点03复数的几何意义及最值问题 地 城 考点01 复数的概念与分类 一、选择题 1．(24-25高一下·四川南江中学·期中)复数（为虚数单位）的虚部为（    ） A． B．6 C．3 D． 2．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)已知复数，则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)设复数，则z的共轭复数的虚部为（    ） A．1 B．-1 C． D．- 3．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)设i是虚数单位，集合中的元素由复数的实部和虚部组成，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．2 5．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)若复数z=为纯虚数，则实数的值为 A．=2 B．= C．= 或 =2 D．=2且3 二、多选题 6．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)（多选）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部是 B．的共轭复数是 C． D． 7．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)（多选）已知复数，则下列说法中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．，则 D．是的充分不必要条件 8．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)（多选）已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A． B．，则 C． D． 三、填空题 9．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知复数是纯虚数，则_____. 四、解答题 10．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)计算下列各式 (1) (2) 地 城 考点02 复数的运算 一、选择题 1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知复数，其中为虚数单位，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．若，则（    ） A．1 B．2 C．5 D． 4．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A． B．1 C． D． 5．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 6．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)已知复数，则复数的虚部为（   ） A．1 B．2 C．0 D． 7．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)若复数z满足，则的虚部为（   ） A．1 B．i C．-1 D．-i 8．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知，复数，则 A．-2 B．1 C．0 D．2 二、多选题 10．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)已知是虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若复数，，则 B．若复数，则复数z的虚部等于 C．若复数为纯虚数，则 D． 三、填空题 11．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)复数，，则_________． 12．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)__________. 13．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知，则______． 14．复数，则______． 15．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)______． 16．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则______. 地 城 考点03 复数的几何意义及最值问题 一、选择题 1．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)复数（是虚数单位）对应的点位于复平面的（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)在复平面内，复数对应的向量，则（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知复数：满足，则（ ） A．的实部为 B． C．的共轭复数为 D．在复平面中对应的点位于第一象限 二、多选题 8．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)关于复数，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的最小值为 C． D．若是关于的方程：的根，则 9．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)（多选）已知是虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若复数，为纯虚数，则 B．若，则 C．已知，则 D．若，，则的最小值为1 9．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（    ） A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 三、填空题 10．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)复数满足，则的最大值为________. 四、解答题 11．已知复数，其中． (1)设，若是纯虚数，求实数的值； (2)设，分别记复数、在复平面上对应的点为、，求与的夹角的余弦值以及在上的投影向量的坐标． 12．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且. (1)若为纯虚数，求； (2)若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点. ①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由； ②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值. 13．一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是复数的辐角，我们称为复数的三角形式．利用复数的三角形式可以进行复数的乘法、乘方等运算，如：，． (1)若复数，求复数z的实部和虚部； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；； (3)设复平面上单位圆内接正二十四边形的24个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $