数学二模模拟卷（山东青岛专用）学易金卷：2026年中考第二次模拟考试

耐学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第二次模拟考试 九年级数学 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.在一次数学测验中，比平均分高5分记作+5分，那么比平均分低8分应记作() A.-8 B.+8 C.-8分 D.8分 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( 3.图1中的文物是南昌海昏侯遗址博物馆的青铜博山炉，它具有很高的历史价值和艺术价值，是西汉时 期以山的整体形状做造型铸造而成，图2为其示意图，它的俯视图是() 图1 图2 B C D 4.截止到2025年11月，我国已经成为世界上首个国内有效发明专利拥有量超过500万件的国家，PCT 国际专利申请量连续6年位居全球第一.500万可用科学记数法表示为() A.50×10 B.5×106 C.0.5×10 D.5×10 5.线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，将MN绕点M逆时针旋转90°得到线段M,N,则点N的对 1/10 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 应点N的坐标为() 4-3-2-19 234x M 2 A.(0,0) B.（-5,-4) C.（-3,1) D.(-1,-3) 6.为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位： cn)如下：235,210,238,235,240,239,216,239,235,237.这组数据的中位数和众数分别是 () A.236,235 B.236,239 C.235,236 D.235,235 7.如图，BC为OO的直径，A、D为OO上的两点，连接AB,AD,BD,若∠ADB=70°，则∠ABC的度 数是() <O A.20 B.25 C.30° D.70° 8,观察下列关于x的单项式，探究琪规律：3江，个x?,x,,…按照上述规律，第2026个单 2 项式是() A B. 4053x2026 C.4051xm6 D.-4051x2m 2026 2026 2026 9.如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧，从小球刚接触弹簧到将弹 簧压缩至最短的过程中，小球的速度v(单位：cm/s)与弹簧被压缩的长度x（单位：C)之间的函 数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示.己知P(2,)为该抛物线的顶点，有一条平行于x轴的 直线=b,且b=3+”.当小球的速度v不小于b时，弹簧被压缩的长度x的取值范围是() 2 v/(cm/s) n-z v=h 02 6 x/cm 图1 图2 2/10 可学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A.2-√2<x<2+√2 B.0≤x≤2-√2或2+√5≤x≤6 C.2-√2≤x≤6 D.2-√2≤x≤2+√5 第二部分（非选择题共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10计算：5-回-() 11.如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上任意一点，点E,点F分别是BM,CM的中点，若 AD=6,则EF的长为 M D B 12.我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳 索去量竿，绳索比竿长7尺；如果将绳索对半折后再去量竿，绳索比竿短7尺，求绳索和竿的长 度.设绳索长尺，竿长n尺，可列方程组为 13.如图，一次函数y=r-20m是常数)的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点P(6,1),与x轴， y轴分别交于点A,B,将△OAB沿y轴向上平移得到AOAB,且点A'在反比例函数y=x>0)的图 象上，则点B的坐标为 14.如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,点D为BC的中点，以点D为圆心，CD 的长为半径作弧，交AB于点E,以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点F,则图中阴影部 分周长为 15.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点E在边BC上，且EC=2BE,F为CD的中点，M为AF 3/10 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 的中点，N为AE上一点，若∠AMN=75°，则线段N的长为 D 三、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(4分)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2,BC=4,请用尺规作图的方法在BC上找一点D, 使△ABD与△ADC的面积比为1：√3，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 19分)0l5-2+(20i+1+2cas30-（得 2)化简分式： (一下一)2并从15x3冲滤-个合适的整数x代入求位 18.(6分)有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D,其正面分别画有四个不同的几何图形A:正三角 形；B:正方形；C:平行四边形：D:矩形，将这四张纸牌背面朝上洗匀. (1)从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是四边形的概率是 (2)小明先从中随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，请利用画树状图 或者列表的方法，求两人摸出的牌面图形都是中心对称图形的概率.（纸牌用A、B、C、D) 4110 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(6分)在一次综合实践活动中，小亮同学想要测量山坡上一棵松树（如图1）的高度，下面是测量该松 树高度的实践报告， 主题 测量松树的高度 如图2，小亮在斜坡P处测量松树顶B的仰角∠BPO,并测得斜坡A的坡 测量过程 度i,然后他沿着斜坡A行走至点A,在坡顶A处又测量松树顶B的仰 角.∠BAC(图中所有点均在同一竖直平面内) 示意图 0 图1 图2 测量数据 BP045,∠BAC55,AP13m,坡度i=3 参考数据 sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43 请你根据以上实践报告：求出松树的高度BC(结果保留整数) 5/10 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(6分)综合与实践 【问题背景】修订后的《中华人民共和国食品安全法》自2025年12月1日起实施，《道德与法治》 老师想了解班级学生对这部法律的了解程度，组织本校九年级学生参与“学习食品安全法，保障身体 健康”的知识竞赛。 【数据收集与整理】竞赛成绩公布后，老师随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A,B, C,D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表. 学生竞赛成绩频数分布表 等级 成绩(x) 频数 频率 A 90<x≤100 L B 80Kx≤90 20 0.4 C 70Kx≤80 16 n 0 x≤70 4 0.08 学生竞赛成绩频数直方图 频数 20 20 16 15 10 0 A B D 等级 【问题解决】 (1)本次调查的学生为 人，= 并补全频 数直方图： (2)若该校九年级学生数为1800人，估计这次竞赛成绩在80分以上（不含80分）的人数： (3)现从成绩等级为A的甲，乙，丙，丁4人中随机选出2人参加《中华人民共和国食品安全法》的宣 传，求出甲被选中的概率. 6/10 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(8分)如图，一次函数y=x+4-2(m>0)的图象与x轴交于点C,交y轴于点D(点C与点D不 重合)，与反比例函数y=《(k≠0)的图象交于4A(2,m,B两点，已知C0=0D. (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P(a,O)是x轴上一点，若△PAC的面积是△COD面积的6倍，求点P的坐标. 22.(8分)如图，已知正方形ABCD,点M为边CD上的动点，AM交BD于E,过点C作CF⊥CE,连 接EF,交BC于点G. (1)求证：△ADE≌△CDE: (2)当正方形的边长为4，且DM=3MC时，求BE的长： 3)当点M为DC的中点时，求 C的值 7/10 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.(8分)在第十五届全国运动会乒乓球男单半决赛中，樊振东与王楚钦上演了世界级巅峰对决.已知乒 乓球比赛用球桌BC长为2.74米，王楚钦抽拉击球点A位于桌面左上方，过A作AO⊥BC,垂足为 O,OB=0.63米，以O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐 标系，王楚钦抽拉过去的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L,设乒乓球与王楚钦击球点A的水平距 离为x(米)，到球桌面的垂直高度为y(米)，在球桌上的落点为D,经测试，抛物线L的表达式为 y=a(x-0.8)+0.45,且当x=1.8时，y=0.25. B GH O CE (1)求y与x之间的函数关系式 (2)乒乓球桌正中间位置安装的球网GH的高度为0.15米，问王楚钦抽拉过去的乒乓球能否越过球网？ 若能，请说明理由，并求点D的坐标；若不能，也请说明理由： (3)乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L':y=-0.8(x+p)+1.352的路线运动，樊振东球拍EF与 球桌面垂直，球拍击球面的中心线EF长为0.2米，下沿E在x轴上，假设抛物线L,L与EF在同一 平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），求出CE的取值范围. 8/10 可学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.（10分)小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些 代数式存在最大值或最小值.已知b=1. 小滨： 1+1 1+a1+b 的值始终等于1. 小江：尽管+b2的值不能被确定，但能求出最小值.其说理过程如下： a2+b2=(a-b)2+2ab=(a-b)2+2,由(a-b)≥0知，当a=b时，a2+b2存在最小值2. (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由. 1+a1+6:② (②)在b=1的条件下，下列代数式：①，a+,b。 1+a+:③，1+1 1 1+d1+4b:④ 11 (n≥3，n为整数) 1+a”1+b (i)值始终保持不变的代数式有： (填序号)： 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式」 ()上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值：若没有， 请说明理由. 9/10 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 25.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm,D为边AB的中点.点P从点A 出发，以2cm/s的速度沿A→C→A运动.同时点2从点C出发，以1cm/s的速度沿C→B向点B运 动.当一点停止运动，另一点也随之停止运动.连接PO、DPDQ.设点P的运动时间为t(s), △DPg的面积为S(cm2). P A D B (1)当点P运动到AC的中点时，求PQ的长度； (2)当点P沿A→C运动，且DP⊥AB时，求t的值； (3)求S与t之间的函数关系式： (4)当△DPQ的边PD将△ABC分成面积比为1：3的两部分时，直接写出t的值. 10/10: 2026年中考第二次模拟考试 九年级数学 : (考试时间：120分钟，分值：120分) : 注意事项： 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 .: 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 O : 第一部分（选择题共27分） : 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 尽 1.在一次数学测验中，比平均分高5分记作+5分，那么比平均分低8分应记作（) A.-8 B.+8 C.-8分 D.8分 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( : ： 3.图1中的文物是南昌海昏侯遗址博物馆的青铜博山炉，它具有很高的历史价值和艺术价值，是西汉时期 : 憨 以山的整体形状做造型铸造而成，图2为其示意图，它的俯视图是() : : : 图 图2 o : B 包 C D 4. 截止到2025年11月，我国已经成为世界上首个国内有效发明专利拥有量超过500万件的国家，PCT国 际专利申请量连续6年位居全球第一，500万可用科学记数法表示为() A.50×10 B.5×106 C.0.5×10 D.5x10 : 5.线段N在直角坐标系中的位置如图所示，将N绕点M逆时针旋转90°得到线段MN,则点N的对 ○ 应点N的坐标为() 试题第1页（共6页） .: ©学科网·学易金卷做概德：就限家是鲁普 -4-3-2-10 234x A.(0,0) B.（-5,-4) c.(-3,1) D.(-1,-3) 6.为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位：c) 如下：235,210,238,235,240,239,216,239,235,237.这组数据的中位数和众数分别是() A.236,235 B.236,239 C.235,236 D.235,235 7.如图，BC为⊙O的直径，A、D为OO上的两点，连接AB,AD,BD,若∠ADB=70°，则∠ABC的度 数是() B D A.20° B.25 C.30° D.70° 区观聚下列关于的单项式，探汽其想律：3头式子0，-号号，…按照上述规律，第2026个单 项式是() A. 4053x225 B.-4053x206 D.-4051x2as 2025 2026 c.8g“ 2026 9.如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧.从小球刚接触弹簧到将弹 簧压缩至最短的过程中，小球的速度v(单位：cm/s)与弹簧被压缩的长度x(单位：cm)之间的函 数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示.己知P(2,)为该抛物线的顶点，有一条平行于x轴的直 线v=b,且b=3+.当小球的速度y不小于b时，弹簧被压缩的长度x的取值范围是（) 2 v/(cm/s) n-≥ -V=b 7777777777757777T 02 6 x/cm 图1 图2 A.2-V2<x<2+√2 B.0≤x≤2-√2或2+V2≤x≤6 C.2-√2≤x≤6 D.2-√2≤x≤2+V2 试题第2页（共6页） 可学科网·学易金卷做怒德：就限？是鲁背 第二部分（非选择题共93分）》 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10计第-阿 11.如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上任意一点，点E,点F分别是BM,CM的中点，若 AD=6,则EF的长为 18 第11题 第13题 第14题 12.我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索 去量竿，绳索比竿长7尺；如果将绳索对半折后再去量竿，绳索比竿短7尺，求绳索和竿的长度.设 绳索长m尺，竿长n尺，可列方程组为· 13.如图，一次函数y=x-2m是常数)的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点P(6,1),与x轴，y 轴分别交于点A,B,将△OAB沿y轴向上平移得到A0AB,且点A在反比例函数y=二K>0)的图象 上，则点B的坐标为 14.如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,点D为BC的中点，以点D为圆心，CD 的长为半径作弧，交AB于点E,以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点F,则图中阴影部 分周长为 15.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点E在边BC上，且EC=2BE,F为CD的中点，M为AF 的中点，N为AE上一点，若∠AMN=75°，则线段MN的长为 E 三、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(4分)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2,BC=4,请用尺规作图的方法在BC上找一点D, 使△ABD与△ADC的面积比为1：V3.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 17.9分》0l5-+(2+9+230-图) 试题第3页（共6页） (2)化简分式： -1一x一2x+1并从-1≤x≤3中选一个合适的整数x代入求值。 xx）x2-x 18.(6分)有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D,其正面分别画有四个不同的几何图形A：正三角 : 形；B:正方形；C:平行四边形；D:矩形，将这四张纸牌背面朝上洗匀. (1)从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是四边形的概率是」 (2)小明先从中随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，请利用画树状图 子 或者列表的方法，求两人摸出的牌面图形都是中心对称图形的概率.（纸牌用A、B、C、D) 19.(6分)在一次综合实践活动中，小亮同学想要测量山坡上一棵松树（如图1）的高度，下面是测量该松树 高度的实践报告 主题 测量松树的高度 张 如图2，小亮在斜坡P处测量松树顶B的仰角∠BPO,并测得斜坡PA的 测量过程 坡度i,然后他沿着斜坡A行走至点A,在坡顶A处又测量松树顶B的 仰角.∠BAC(图中所有点均在同一竖直平面内) 加 游 示意图 S 图1 图2 测量数据 ∠BPO=45°，∠BAC=55°，AP=13m,坡度i=」 5 12 参考数据 sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43 请你根据以上实践报告；求出松树的高度BC(结果保留整数) 20.(6分)综合与实践 【问题背景】修订后的《中华人民共和国食品安全法》自2025年12月1日起实施，《道德与法治》老 世 师想了解班级学生对这部法律的了解程度，组织本校九年级学生参与学习食品安全法，保障身体健康 的知识竞赛。 【数据收集与整理】竞赛成绩公布后，老师随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A,B, C,D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表 学生竞赛成绩频数分布表 等级 成绩(x) 频数 频率 学生竞赛成绩频数直方图 个频数 20 A 90x≤100 a 20… 16 15 B 80x✉90 20 0.4 10 C 70x80 16 09 D xs70 0.08 A B D 等级 试题第4页（共6页） : 【问题解决】 (1)本次调查的学生为 人，= ,= ,1F ,并补全频数 O ○ 直方图： (2)若该校九年级学生数为1800人，估计这次竞赛成绩在80分以上（不含80分）的人数： (3)现从成绩等级为A的甲，乙，丙，丁4人中随机选出2人参加《中华人民共和国食品安全法》的宣 传，求出甲被选中的概率. 21.(8分)如图，一次函数y=x+4-2m(m>0)的图象与x轴交于点C,交y轴于点D(点C与点D不 重合)，与反比例函数y=(k≠0)的图象交于4(2，m),B两点，已知C0=OD. : % (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P(a,0)是x轴上一点，若△PAC的面积是△COD面积的6倍，求点P的坐标. 22.(8分)如图，已知正方形ABCD,点M为边CD上的动点，AM交BD于E,过点C作CF⊥CE,连 : 接EF,交BC于点G. ○ : (I)求证：△ADE≌△CDE; 拟 : (2)当正方形的边长为4，且DM=3MC时，求BE的长： .: (B)当点M为DC的中点时，求C C的值. 23.(8分)在第十五届全国运动会乒乓球男单半决赛中，樊振东与王楚钦上演了世界级巅峰对决.已知乒 乓球比赛用球桌BC长为2.74米，王楚钦抽拉击球点A位于桌面左上方，过A作AO⊥BC,垂足为 : O,OB=0.63米，以O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐 标系，王楚钦抽拉过去的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L,设乒乓球与王楚钦击球点A的水平距 K 离为x(米)，到球桌面的垂直高度为y(米)，在球桌上的落点为D,经测试，抛物线L的表达式为 y=a(x-0.8)+0.45,且当x=1.8时，y=0.25. : 试题第5页（共6页） .: ©学科网·学易金卷做概德：然限？是鲁普 B G CE (1)求y与x之间的函数关系式： (2)丘乓球桌正中间位置安装的球网GH的高度为0.15米，问王楚钦抽拉过去的乒乓球能否越过球网？ 若能，请说明理由，并求点D的坐标；若不能，也请说明理由： (3)乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线'：y=-0.8(x+p)+1.352的路线运动，樊振东球拍EF与球 桌面垂直，球拍击球面的中心线EF长为02米，下沿E在x轴上，假设抛物线L,L'与EF在同一平面 内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），求出CE的取值范围， 24.（10分)小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代 数式存在最大值或最小值.已知ab=1. 小滨：中a6的值始终等于1. 小江：尽管α2+b的值不能被确定，但能求出最小值.其说理过程如下： 2+b2=(a-b)2+2ab=(a-b)+2,由(a-b)≥0知，当a=b时，a2+b2存在最小值2. (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由. 1+a1+:③，1+ ②在b=1的条件下，下列代数式：@1a,。②，了1 1 一十 ③+a+1+4b:④ 1+1 1+a+1+b（n≥3，n为整数). ()值始终保持不变的代数式有： (填序号)： 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式」 ()上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请 说明理由. 25.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm,D为边AB的中点.点P从点A出 发，以2cm/s的速度沿A→C→A运动.同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→B向点B运 动.当一点停止运动，另一点也随之停止运动.连接PQDP、DQ,设点P的运动时间为t(S), △DP2的面积为S(cm). D B (I)当点P运动到AC的中点时，求PQ的长度： (2)当点P沿A→C运动，且DP⊥AB时，求t的值： (3)求S与t之间的函数关系式： (4)当△DPQ的边PD将△ABC分成面积比为1：3的两部分时，直接写出t的值. 试题第6页（共6页） 2026年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在一次数学测验中，比平均分高5分记作分，那么比平均分低8分应记作（   ） A． B． C．分 D．8分 【答案】C 【分析】根据题目给定的规则推导低分时的记法，需注意单位不能省略． 【详解】解：∵题目规定比平均分高记为正，比平均分高5分记作分， ∴比平均分低与比平均分高是相反意义的量，应当记为负， 因此比平均分低8分应记作分． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称和轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】A：是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A错误； B：既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故B错误； C：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错误； D：既是轴对称图形又是中心对称图形，故D正确． 3．图1中的文物是南昌海昏侯遗址博物馆的青铜博山炉，它具有很高的历史价值和艺术价值，是西汉时期以山的整体形状做造型铸造而成，图2为其示意图，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据从上往下看到的平面图形判断即可. 【详解】解：图形的俯视图是： 4．截止到2025年11月，我国已经成为世界上首个国内有效发明专利拥有量超过500万件的国家，PCT国际专利申请量连续6年位居全球第一．500万可用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：500万． 5．线段在直角坐标系中的位置如图所示，将绕点M逆时针旋转得到线段，则点N的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据旋转后的图形即可解题． 【详解】解：如图： ∴点N的对应点的坐标为． 故选：C． 6．为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位：）如下：235，210，238，235，240，239，216，239，235，237．这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．236，235 B．236，239 C．235，236 D．235，235 【答案】A 【分析】本题考查了求一组数据中位数和众数，熟练掌握求一组数据中位数和众数是关键．因为数据是偶数个，所以计算中位数时需将数据排序后取中间两数的平均值，众数为出现次数最多的数，据此求解即可． 【详解】解：10名学生立定跳远测试成绩排序后为：210，216，235，235，235，237，238，239，239，240， 其中第5和第6个数据为235，237， 所以这组数据的中位数是； 因为出现次数最多的数据是235， 所以这组数据的众数是235． 故选：A． 7．如图，为的直径，、为上的两点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 【点睛】圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 8．观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…．按照上述规律，第2026个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，解题的关键是找出规律． 观察单项式的规律：符号交替变化，系数分子为从3开始的奇数序列，分母为项数，x的幂次与项数相同． 【详解】解：第n个单项式为 ， 当时， 符号：（负数）， 系数分子：， 分母：2026， x的幂：， ∴第2026个单项式为 ． 9．如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度（单位：）与弹簧被压缩的长度（单位：）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知为该抛物线的顶点，有一条平行于轴的直线，且．当小球的速度不小于时，弹簧被压缩的长度的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求得该抛物线的解析式，再联立求得直线与抛物线的交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：∵为该抛物线的顶点， ∴设该抛物线的解析式为， 由图象知，抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， 联立得， 解得， 结合函数图象知弹簧被压缩的长度的取值范围是． 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．计算：______． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式展开计算第一项，再根据负整数指数幂的运算法则计算第二项，最后合并同类项得到结果． 【详解】解：原式 ． 11．如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为___________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据平行四边形的性质得出相等的边，然后判定是的中位线，根据三角形中位线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，点F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3． 12．我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长7尺；如果将绳索对半折后再去量竿，绳索比竿短7尺，求绳索和竿的长度．设绳索长m尺，竿长n尺，可列方程组为_____． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，设绳索长m尺，竿长n尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长7尺；如果将绳索对半折后再去量竿，绳索比竿短7尺”，即可得出关于m， n的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳索长m尺，竿长n尺， 根据题意得：， 故答案为：． 13．如图，一次函数是常数）的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴，y 轴分别交于点A，B，将沿y轴向上平移得到，且点在反比例函数的图象上，则点的坐标为_________ 【答案】/ 【分析】将点分别代入一次函数和反比例函数中，求出m和k的值，得出一次函数和反比例函数解析式，再求出点的坐标，即可得到平移的距离，再求出点的坐标，从而可得点的坐标． 【详解】解：将点分别代入一次函数和反比例函数中， 得：，， 解得：，， ∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 把代入得 解得， ∴， 把代入得：， ∴， ∴整体向上平移了个单位， 将代入得：， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，图象的平移，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质，以及平移的性质，是解题的关键． 14．如图，等腰直角三角形中，，点为的中点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分周长为______． 【答案】 【分析】连接，，根据图中阴影部分周长为解答即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴，， ∵点为的中点，的长为半径， ∴为圆D的直径， ∴，， ∴，， 根据题意得：， ∴， ∴图中阴影部分周长为． 15．如图，在矩形中，，点在边上，且，为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】过点作于点，证明，得出为等腰直角三角形，证明为的中位线，然后根据三角形中位线的性质得出相关的角和线段的长度，最后利用锐角三角函数进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点为的中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴． 三、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（4分）如图，在中，，，，请用尺规作图的方法在上找一点，使与的面积比为．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】画图见解析，证明见解析 【分析】先作的角平分线，交于，则即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． ………………4分 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵由作图可得：， ∴到，的距离相等， ∴； ∴即为所求． 【点睛】本题考查的在作角平分线，锐角三角函数的应用，理解题意，确定作图的目的与方法是解本题的关键． 17．（9分）(1) (2)化简分式：，并从 中选一个合适的整数 x 代入求值． 【答案】(1)（第1题4分） (2)化简结果为，当时，值为（取值不唯一，只要为中使分式有意义的整数即可）（第2题5分） 【分析】（1）利用零指数幂、负整数指数幂和绝对值进行计算，再进行加减计算即可； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式除法，得到化简结果，再选取合适的整数代入求值即可． 【详解】（1）解： ；………………4分 （2）解： ， 由于， 故， 则或2； 当时，原式．………………5分 18．（6分）有四张背面完全相同的纸牌、、、，其正面分别画有四个不同的几何图形：正三角形；：正方形；：平行四边形；：矩形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． (1)从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是四边形的概率是__________； (2)小明先从中随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，请利用画树状图或者列表的方法，求两人摸出的牌面图形都是中心对称图形的概率．（纸牌用、、、） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据题意结合概率公式作答即可； （2）列出表格，找出符合题意的情况，进而根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵正三角形、正方形、平行四边形、矩形中，是四边形的是正方形、平行四边形、矩形，共3个， ∴从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是四边形的概率； 故答案为：；………………2分 （2）解：列表得：………………4分 A B C D A B C D 共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，除了正三角形，其他的都是中心对称图形，故其中两人摸出的牌面图形都是中心对称图形的有6种， 则两人摸出的牌面图形都是中心对称图形的概率是．………………6分 19．（6分）在一次综合实践活动中，小亮同学想要测量山坡上一棵松树(如图1)的高度，下面是测量该松树高度的实践报告． 主题 测量松树的高度 测量过程 如图2，小亮在斜坡P处测量松树顶B 的仰角∠BPO，并测得斜坡PA 的坡度i，然后他沿着斜坡PA行走至点A，在坡顶A 处又测量松树顶 B 的仰角． (图中所有点均在同一竖直平面内) 示意图 测量数据 ∠BPO=45°，∠BAC=55°，AP=13m，坡度 参考数据 请你根据以上实践报告；求出松树的高度 BC（结果保留整数）． 【答案】23m 【分析】过点A作 ，延长交于点E，利用三角函数得出，利用坡比的概念，进而即可求解． 【详解】解：过点A作 ，延长交于点E，则四边形是矩形， ∵的坡度，， ∴设， ∴，解得：（负值舍去）， ∴，………………4分 设，则， ∴， ∵， ∴，即，解得： 答：松树 的高度约为．………………6分 20．（6分）综合与实践 【问题背景】修订后的《中华人民共和国食品安全法》自2025年12月1日起实施，《道德与法治》老师想了解班级学生对这部法律的了解程度，组织本校九年级学生参与“学习食品安全法，保障身体健康”的知识竞赛． 【数据收集与整理】竞赛成绩公布后，老师随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 学生竞赛成绩频数分布表 等级 成绩（x） 频数 频率 A 90<x≤100 a m B 80<x≤90 20 0.4 C 70<x≤80 16 n D x≤70 4 0.08 【问题解决】 (1)本次调查的学生为___________人，a=___________，m=___________，n=___________，并补全频数直方图； (2)若该校九年级学生数为1800人，估计这次竞赛成绩在80分以上（不含80分）的人数； (3)现从成绩等级为A的甲，乙，丙，丁4人中随机选出2人参加《中华人民共和国食品安全法》的宣传，求出甲被选中的概率． 【答案】(1)，，，，图见解析（一空0.5分，画图1分） (2)人 (3) 【分析】（1）用等级的频数和频率可计算出本次调查的学生人数，然后用本次调查的人数减去其它各组的频数可得的值，用和等级的频数分别除以本次调查的学生人数得到、的值；然后补全频数分布直方图； （2）用总人数乘以样本中成绩在分以上（不含分）的频率即可； （3）根据概率公式计算． 【详解】（1）解：由统计图表知，等级频数为，频率为， 本次调查的学生数为（人）， ，，；………………2分 补全频数直方图如下： ………………3分 （2）解：估计这次竞赛成绩在分以上（不含分）的人数为（人）；……4分 （3）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中甲被选中的结果有种， （甲被选中的概率）．………………6分 21．（8分）如图，一次函数的图象与x轴交于点C，交y轴于点D（点C与点D不重合），与反比例函数的图象交于，B两点，已知． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是x轴上一点，若的面积是面积的6倍，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)点或点 【分析】（1）先求出，得到，则，进而推导出反比例函数的解析式为，得到当时，；当时，，再根据，得到，求出m的值，即可解答； （2）先求出，点，得到，推导出，得到，解得或，即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点C，与y轴交于点D，与反比例函数的图象交于，B两点， ∴， ∴点， ∴， ∴反比例函数的解析式为；………………2分 当时， ， ∴； 当时，， ∵， ∴， 解得或（舍去，此时点与点重合）， ∴一次函数的解析式为．………………4分 （2）解：∵一次函数图象交x轴于点C，交y轴于点D， ∴点，点， ∴， ∴，………………5分 ∵点是x轴上一点， ∴． ∵的面积是面积的6倍， ∴， 解得或，………………7分 ∴点或点．………………8分 22．（8分）如图，已知正方形，点为边上的动点，交于，过点作，连接，交于点． (1)求证：； (2)当正方形的边长为4，且时，求的长； (3)当点为的中点时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，结合，即可证明； （2）证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）过点作于点，则，是等腰直角三角形，设正方形的边长为，当为的中点时，，同（2）可得得出，则，证明，根据得出，证明得出，进而求得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，是对角线上的点， ∴ 又∵ ∴………………2分 （2）解：∵正方形的边长为4，，， ∴，，， ∴………………3分 ∴即 解得：………………4分 （3）解：如图，过点作于点，则，是等腰直角三角形， 设正方形的边长为，当为的中点时， ∴ 同（2）可得 ∴即 解得： ∴………………5分 由（1）可得 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴………………6分 设 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 解得：………………7分 ∴ ∴………………8分 23．（8分）在第十五届全国运动会乒乓球男单半决赛中，樊振东与王楚钦上演了世界级巅峰对决．已知乒乓球比赛用球桌长为米，王楚钦抽拉击球点位于桌面左上方，过作，垂足为，米，以为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，王楚钦抽拉过去的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与王楚钦击球点的水平距离为（米），到球桌面的垂直高度为（米），在球桌上的落点为，经测试，抛物线的表达式为，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)乒乓球桌正中间位置安装的球网的高度为米，问王楚钦抽拉过去的乒乓球能否越过球网？若能，请说明理由，并求点的坐标；若不能，也请说明理由； (3)乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，樊振东球拍与球桌面垂直，球拍击球面的中心线长为米，下沿在轴上，假设抛物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点在点右侧），求出的取值范围． 【答案】(1) (2)王楚钦抽拉过去的乒乓球能越过球网，理由见解析，点的坐标为 (3) 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的关系式即可； （2）根据求出的长，从而可求出当时，对应的值，与米比较大小，即可判断；再令，求出对应的的值，即可得到点的坐标； （3）根据待定系数法求出抛物线的关系式，由抛物线的对称性知的最大值，令，可求得对应的的值，进而可得对应的值，即可得解． 【详解】（1）解：抛物线的表达式为，且当时，． ， 解得， 与之间的函数关系式为；………………2分 （2）解：王楚钦抽拉过去的乒乓球能越过球网，理由如下： 根据题意得（米）， 由（1）得， 当时，， 王楚钦抽拉过去的乒乓球能越过球网，………………3分 此时，当时，即， 解得或（舍去）， 点的坐标为；………………4分 （3）解：抛物线经过点， ，解得（舍去）或， ，………………5分 对称轴为直线， ， 抛物线与轴的另一个交点坐标为，即， 的最大值为（米)，………………6分 当时，即， 解得（舍去）或， 当时，（米)，………………7分 ．………………8分 24．（10分）小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)小滨的说法正确，理由见解析 (2)（i）①②④；；（ii）有最小值，没有最大值 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）把所求分式变形为，再把第一个分式约分，再计算分式加法即可得到结论； （2）（i）把①变形为，再把第一个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；把②变形为，再把两个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；分别求出和时③的结果即可得到结论；把④中的两个分式通分化简即可得到结论；（ii）把通分得到，进一步得到；再证明，从而得到当时，有最小值，最小值为9，且无最大值，据此可得结论． 【详解】（1）解：小滨的说法正确，理由如下： ∵， ∴ ， ∴小滨的说法正确；………………2分 （2）解：（i）①∵， ∴ ； ② ； ③当时，， 当时，， ∴的值不是定值； ④ ； ∴①②④是定值，③不是定值；………………4分 满足题意的式子可以为，证明如下： ；………………6分 （ii） ；………………8分 ， ，………………9分 ∵， ∴当时，有最小值，最小值为9， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为； ∵无最大值， ∴无最小值，即没有最大值， ∴有最小值，没有最大值．………………10分 25．（10分）如图，在中，，，，为边的中点．点从点出发，以的速度沿运动．同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．连接．设点的运动时间为，的面积为． (1)当点运动到的中点时，求的长度； (2)当点沿运动，且时，求的值； (3)求S与之间的函数关系式； (4)当的边将分成面积比为的两部分时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)， 【分析】（1）分两种情况：当点P从点A向点C运动，点运动到的中点时，当点P从点C向点A运动，点运动到的中点时，分别求出结果即可； （2）由．可得，即可解决问题； （3）分两种情况进行讨论，当时，分别过点P、Q作于点E，于点F；当时，分别过点P、Q作于点E，于点F；分别利用三角形的面积求解即可； （4）当时，P是中点，为的中位线，满足条件，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴由勾股定理，得：， 当点P从点A向点C运动，点运动到的中点时，运动时间为： ， ∴此时，， ∴；………………1分 当点P从点C向点A运动，点运动到的中点时，运动时间为： ， ∴此时，， ∴； 综上分析可知：或；………………2分 （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵，D为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由题意，， ∴， ∴．………………4分 （3）解：如图，当时，分别过点P、Q作于点E，于点F． ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 同理得：， ∴， 即， 解得：，………………5分 ∴ ， ∴．………………6分 如图，当时，分别过点P、Q作于点E，于点F． ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：，………………7分 同理得：， ∴， 即， 解得：， ∴ ∴； 综上分析可知：．………………8分 （4）解：点P从A→C需要2秒，从C→A也需要2秒，共4秒停止运动；点Q从C→B需要3秒， ∴ 如图，当时，P是中点时， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，符合题意， ∴此时或3；………………10分 即当的边将分成面积比为的两部分时，或． 【点睛】本题考查了相似形综合题、勾股定理、三角形面积的计算，中位线性质，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共27分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 10.（3分）________________ 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（4分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（9分）（1）计算：(1) （2）化简分式：，并从 中选一个合适的整数 x 代入求值． 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（6分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（8分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C D C B C A A B D 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10. 11. 3 12. 13. / 14. 15. 三、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（4分） 解：如图，即为所求． ………………4分 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵由作图可得：， ∴到，的距离相等， ∴； ∴即为所求． 【点睛】本题考查的在作角平分线，锐角三角函数的应用，理解题意，确定作图的目的与方法是解本题的关键． 17．（9分） （1）解： ；………………4分 （2）解： ， 由于， 故， 则或2； 当时，原式．………………5分 18．（6分） （1）解：∵正三角形、正方形、平行四边形、矩形中，是四边形的是正方形、平行四边形、矩形，共3个， ∴从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是四边形的概率； 故答案为：；………………2分 （2）解：列表得：………………4分 A B C D A B C D 共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，除了正三角形，其他的都是中心对称图形，故其中两人摸出的牌面图形都是中心对称图形的有6种， 则两人摸出的牌面图形都是中心对称图形的概率是．………………6分 19．（6分） 解：过点A作 ，延长交于点E，则四边形是矩形， ∵的坡度，， ∴设， ∴，解得：（负值舍去）， ∴，………………4分 设，则， ∴， ∵， ∴，即，解得： 答：松树 的高度约为．………………6分 20．（6分） （1）解：由统计图表知，等级频数为，频率为， 本次调查的学生数为（人）， ，，；………………2分 补全频数直方图如下： ………………3分 （2）解：估计这次竞赛成绩在分以上（不含分）的人数为（人）；……4分 （3）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中甲被选中的结果有种， （甲被选中的概率）．………………6分 21．（8分） （1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点C，与y轴交于点D，与反比例函数的图象交于，B两点， ∴， ∴点， ∴， ∴反比例函数的解析式为；………………2分 当时， ， ∴； 当时，， ∵， ∴， 解得或（舍去，此时点与点重合）， ∴一次函数的解析式为．………………4分 （2）解：∵一次函数图象交x轴于点C，交y轴于点D， ∴点，点， ∴， ∴，………………5分 ∵点是x轴上一点， ∴． ∵的面积是面积的6倍， ∴， 解得或，………………7分 ∴点或点．………………8分 22．（8分） （1）证明：∵四边形是正方形，是对角线上的点， ∴ 又∵ ∴………………2分 （2）解：∵正方形的边长为4，，， ∴，，， ∴………………3分 ∴即 解得：………………4分 （3）解：如图，过点作于点，则，是等腰直角三角形， 设正方形的边长为，当为的中点时， ∴ 同（2）可得 ∴即 解得： ∴………………5分 由（1）可得 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴………………6分 设 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 解得：………………7分 ∴ ∴………………8分 23．（8分） （1）解：抛物线的表达式为，且当时，． ， 解得， 与之间的函数关系式为；………………2分 （2）解：王楚钦抽拉过去的乒乓球能越过球网，理由如下： 根据题意得（米）， 由（1）得， 当时，， 王楚钦抽拉过去的乒乓球能越过球网，………………3分 此时，当时，即， 解得或（舍去）， 点的坐标为；………………4分 （3）解：抛物线经过点， ，解得（舍去）或， ，………………5分 对称轴为直线， ， 抛物线与轴的另一个交点坐标为，即， 的最大值为（米)，………………6分 当时，即， 解得（舍去）或， 当时，（米)，………………7分 ．………………8分 24．（10分） （1）解：小滨的说法正确，理由如下： ∵， ∴ ， ∴小滨的说法正确；………………2分 （2）解：（i）①∵， ∴ ； ② ； ③当时，， 当时，， ∴的值不是定值； ④ ； ∴①②④是定值，③不是定值；………………4分 满足题意的式子可以为，证明如下： ；………………6分 （ii） ；………………8分 ， ，………………9分 ∵， ∴当时，有最小值，最小值为9， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为； ∵无最大值， ∴无最小值，即没有最大值， ∴有最小值，没有最大值．………………10分 25．（10分） （1）解：∵在中，，，， ∴由勾股定理，得：， 当点P从点A向点C运动，点运动到的中点时，运动时间为： ， ∴此时，， ∴；………………1分 当点P从点C向点A运动，点运动到的中点时，运动时间为： ， ∴此时，， ∴； 综上分析可知：或；………………2分 （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵，D为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由题意，， ∴， ∴．………………4分 （3）解：如图，当时，分别过点P、Q作于点E，于点F． ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 同理得：， ∴， 即， 解得：，………………5分 ∴ ， ∴．………………6分 如图，当时，分别过点P、Q作于点E，于点F． ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：，………………7分 同理得：， ∴， 即， 解得：， ∴ ∴； 综上分析可知：．………………8分 （4）解：点P从A→C需要2秒，从C→A也需要2秒，共4秒停止运动；点Q从C→B需要3秒， ∴ 如图，当时，P是中点时， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，符合题意， ∴此时或3；………………10分 即当的边将分成面积比为的两部分时，或． 【点睛】本题考查了相似形综合题、勾股定理、三角形面积的计算，中位线性质，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考数学第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共27分) 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 9 [A][B][c][D] 2 [A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7 [A][B][c][D] 4[A][B[G[D] 8[A][B][c][D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 10.(3分) 11.(3分) 12.(3分) 13.(3分) 14.（3分) 15.(3分) 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(4分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1ng分)i:@k5-4(-a++2m30-6 (2)化简分 :）上，并从15x≤3中选一个合 x-1x2-1厂x2-2x+1 适的整数x代入求值. 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) B 图2 20.(6分) 学生竞赛成绩频数直方图 频数 20 20 16 5 -- 5 4. 0 B D 等级 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) B 22.(8分) D E M B G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) B o 24.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 11 2026年中考数学第二次模拟考试 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共27分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 10．_________________ 11．___________________ 12．__________________ 13．__________________ 14．___________________ 15．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（4分） 17．（9分）(1) (2)化简分式：，并从 中选一个合适的整数 x 代入求值． 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（6分） 20．（6分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8分） 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考数学第二次模拟考试 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣■■。。■。。。■。■=▣。▣=▣。■=。■==■■▣■▣▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共27分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A1[BJ[C1[D] 2.[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 10 11. 12 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(4分) 19分)aW5+i-八2a3r固) (2)化简分式： 2清秋选个合流的数代入求 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) A 图2 20.(6分) 学生竞赛成绩频数直方图 小频数 20 20 16 15 10 0 C D 等级 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) E M G 23.(8分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) 25.(10分) C Q P D 的 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第二次模拟考试 九年级 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在一次数学测验中，比平均分高5分记作分，那么比平均分低8分应记作（   ） A． B． C．分 D．8分 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．图1中的文物是南昌海昏侯遗址博物馆的青铜博山炉，它具有很高的历史价值和艺术价值，是西汉时期以山的整体形状做造型铸造而成，图2为其示意图，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 4．截止到2025年11月，我国已经成为世界上首个国内有效发明专利拥有量超过500万件的国家，PCT国际专利申请量连续6年位居全球第一．500万可用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．线段在直角坐标系中的位置如图所示，将绕点M逆时针旋转得到线段，则点N的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位：）如下：235，210，238，235，240，239，216，239，235，237．这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．236，235 B．236，239 C．235，236 D．235，235 7．如图，为的直径，、为上的两点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…．按照上述规律，第2026个单项式是（   ） A． B． C． D． 9．如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度（单位：）与弹簧被压缩的长度（单位：）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知为该抛物线的顶点，有一条平行于轴的直线，且．当小球的速度不小于时，弹簧被压缩的长度的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．计算：______． 11．如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为___________． 12．我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长7尺；如果将绳索对半折后再去量竿，绳索比竿短7尺，求绳索和竿的长度．设绳索长m尺，竿长n尺，可列方程组为_____． 13．如图，一次函数是常数）的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴，y 轴分别交于点A，B，将沿y轴向上平移得到，且点在反比例函数的图象上，则点的坐标为_________ 14．如图，等腰直角三角形中，，点为的中点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分周长为______． 15．如图，在矩形中，，点在边上，且，为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为___________． 三、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（4分）如图，在中，，，，请用尺规作图的方法在上找一点，使与的面积比为．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 17．（9分）(1) (2)化简分式：，并从 中选一个合适的整数 x 代入求值． 18．（6分）有四张背面完全相同的纸牌、、、，其正面分别画有四个不同的几何图形：正三角形；：正方形；：平行四边形；：矩形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． (1)从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是四边形的概率是__________； (2)小明先从中随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，请利用画树状图或者列表的方法，求两人摸出的牌面图形都是中心对称图形的概率．（纸牌用、、、） 19．（6分）在一次综合实践活动中，小亮同学想要测量山坡上一棵松树(如图1)的高度，下面是测量该松树高度的实践报告． 主题 测量松树的高度 测量过程 如图2，小亮在斜坡P处测量松树顶B 的仰角∠BPO，并测得斜坡PA 的坡度i，然后他沿着斜坡PA行走至点A，在坡顶A 处又测量松树顶 B 的仰角． (图中所有点均在同一竖直平面内) 示意图 测量数据 ∠BPO=45°，∠BAC=55°，AP=13m，坡度 参考数据 请你根据以上实践报告；求出松树的高度 BC（结果保留整数）． 20．（6分）综合与实践 【问题背景】修订后的《中华人民共和国食品安全法》自2025年12月1日起实施，《道德与法治》老师想了解班级学生对这部法律的了解程度，组织本校九年级学生参与“学习食品安全法，保障身体健康”的知识竞赛． 【数据收集与整理】竞赛成绩公布后，老师随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 【问题解决】 (1)本次调查的学生为___________人，a=___________，m=___________，n=___________，并补全频数直方图； (2)若该校九年级学生数为1800人，估计这次竞赛成绩在80分以上（不含80分）的人数； (3)现从成绩等级为A的甲，乙，丙，丁4人中随机选出2人参加《中华人民共和国食品安全法》的宣传，求出甲被选中的概率． 21．（8分）如图，一次函数的图象与x轴交于点C，交y轴于点D（点C与点D不重合），与反比例函数的图象交于，B两点，已知． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是x轴上一点，若的面积是面积的6倍，求点P的坐标． 22．（8分）如图，已知正方形，点为边上的动点，交于，过点作，连接，交于点． (1)求证：； (2)当正方形的边长为4，且时，求的长； (3)当点为的中点时，求的值． 23．（8分）在第十五届全国运动会乒乓球男单半决赛中，樊振东与王楚钦上演了世界级巅峰对决．已知乒乓球比赛用球桌长为米，王楚钦抽拉击球点位于桌面左上方，过作，垂足为，米，以为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，王楚钦抽拉过去的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与王楚钦击球点的水平距离为（米），到球桌面的垂直高度为（米），在球桌上的落点为，经测试，抛物线的表达式为，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)乒乓球桌正中间位置安装的球网的高度为米，问王楚钦抽拉过去的乒乓球能否越过球网？若能，请说明理由，并求点的坐标；若不能，也请说明理由； (3)乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，樊振东球拍与球桌面垂直，球拍击球面的中心线长为米，下沿在轴上，假设抛物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点在点右侧），求出的取值范围． 24．（10分）小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 25．（10分）如图，在中，，，，为边的中点．点从点出发，以的速度沿运动．同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．连接．设点的运动时间为，的面积为． (1)当点运动到的中点时，求的长度； (2)当点沿运动，且时，求的值； (3)求S与之间的函数关系式； (4)当的边将分成面积比为的两部分时，直接写出的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 九年级 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在一次数学测验中，比平均分高5分记作分，那么比平均分低8分应记作（   ） A． B． C．分 D．8分 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．图1中的文物是南昌海昏侯遗址博物馆的青铜博山炉，它具有很高的历史价值和艺术价值，是西汉时期以山的整体形状做造型铸造而成，图2为其示意图，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 4．截止到2025年11月，我国已经成为世界上首个国内有效发明专利拥有量超过500万件的国家，PCT国际专利申请量连续6年位居全球第一．500万可用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．线段在直角坐标系中的位置如图所示，将绕点M逆时针旋转得到线段，则点N的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位：）如下：235，210，238，235，240，239，216，239，235，237．这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．236，235 B．236，239 C．235，236 D．235，235 7．如图，为的直径，、为上的两点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…．按照上述规律，第2026个单项式是（   ） A． B． C． D． 9．如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度（单位：）与弹簧被压缩的长度（单位：）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知为该抛物线的顶点，有一条平行于轴的直线，且．当小球的速度不小于时，弹簧被压缩的长度的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．计算：______． 11．如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为___________． 12．我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长7尺；如果将绳索对半折后再去量竿，绳索比竿短7尺，求绳索和竿的长度．设绳索长m尺，竿长n尺，可列方程组为_____． 13．如图，一次函数是常数）的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴，y 轴分别交于点A，B，将沿y轴向上平移得到，且点在反比例函数的图象上，则点的坐标为_________ 14．如图，等腰直角三角形中，，点为的中点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分周长为______． 15．如图，在矩形中，，点在边上，且，为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为___________． 三、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（4分）如图，在中，，，，请用尺规作图的方法在上找一点，使与的面积比为．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 17．（9分）(1) (2)化简分式：，并从 中选一个合适的整数 x 代入求值． 18．（6分）有四张背面完全相同的纸牌、、、，其正面分别画有四个不同的几何图形：正三角形；：正方形；：平行四边形；：矩形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． (1)从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是四边形的概率是__________； (2)小明先从中随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，请利用画树状图或者列表的方法，求两人摸出的牌面图形都是中心对称图形的概率．（纸牌用、、、） 19．（6分）在一次综合实践活动中，小亮同学想要测量山坡上一棵松树(如图1)的高度，下面是测量该松树高度的实践报告． 主题 测量松树的高度 测量过程 如图2，小亮在斜坡P处测量松树顶B 的仰角∠BPO，并测得斜坡PA 的坡度i，然后他沿着斜坡PA行走至点A，在坡顶A 处又测量松树顶 B 的仰角． (图中所有点均在同一竖直平面内) 示意图 测量数据 ∠BPO=45°，∠BAC=55°，AP=13m，坡度 参考数据 请你根据以上实践报告；求出松树的高度 BC（结果保留整数）． 20．（6分）综合与实践 【问题背景】修订后的《中华人民共和国食品安全法》自2025年12月1日起实施，《道德与法治》老师想了解班级学生对这部法律的了解程度，组织本校九年级学生参与“学习食品安全法，保障身体健康”的知识竞赛． 【数据收集与整理】竞赛成绩公布后，老师随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 学生竞赛成绩频数分布表 等级 成绩（x） 频数 频率 A 90<x≤100 a m B 80<x≤90 20 0.4 C 70<x≤80 16 n D x≤70 4 0.08 【问题解决】 (1)本次调查的学生为___________人，a=___________，m=___________，n=___________，并补全频数直方图； (2)若该校九年级学生数为1800人，估计这次竞赛成绩在80分以上（不含80分）的人数； (3)现从成绩等级为A的甲，乙，丙，丁4人中随机选出2人参加《中华人民共和国食品安全法》的宣传，求出甲被选中的概率． 21．（8分）如图，一次函数的图象与x轴交于点C，交y轴于点D（点C与点D不重合），与反比例函数的图象交于，B两点，已知． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是x轴上一点，若的面积是面积的6倍，求点P的坐标． 22．（8分）如图，已知正方形，点为边上的动点，交于，过点作，连接，交于点． (1)求证：； (2)当正方形的边长为4，且时，求的长； (3)当点为的中点时，求的值． 23．（8分）在第十五届全国运动会乒乓球男单半决赛中，樊振东与王楚钦上演了世界级巅峰对决．已知乒乓球比赛用球桌长为米，王楚钦抽拉击球点位于桌面左上方，过作，垂足为，米，以为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，王楚钦抽拉过去的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与王楚钦击球点的水平距离为（米），到球桌面的垂直高度为（米），在球桌上的落点为，经测试，抛物线的表达式为，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)乒乓球桌正中间位置安装的球网的高度为米，问王楚钦抽拉过去的乒乓球能否越过球网？若能，请说明理由，并求点的坐标；若不能，也请说明理由； (3)乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，樊振东球拍与球桌面垂直，球拍击球面的中心线长为米，下沿在轴上，假设抛物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点在点右侧），求出的取值范围． 24．（10分）小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 25．（10分）如图，在中，，，，为边的中点．点从点出发，以的速度沿运动．同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．连接．设点的运动时间为，的面积为． (1)当点运动到的中点时，求的长度； (2)当点沿运动，且时，求的值； (3)求S与之间的函数关系式； (4)当的边将分成面积比为的两部分时，直接写出的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $