第三单元：圆柱与圆锥（期中知识清单）数学人教版六年级下册

人教版六年级数学下册 第三单元：圆柱与圆锥（期中复习讲义） 知识点01：圆柱的认识 1、圆柱的形成 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。 把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱。 2、圆柱的特征 （1）圆柱是由3个面围成的。 （2）它的上、下两个面叫做底面。上、下底面是完全相同的两个圆。 （3）圆柱周围的面（上、下底面除外）叫做侧面。 （4）圆柱的两个底面之间的距离叫做高，圆柱有无数条高。 【易错点】 （1）混淆圆柱侧面展开图的长和宽：误将圆柱的高当作展开图的长，实际长是底面周长。 （2）实际应用漏算或多算面：计算无盖水桶表面积时，误算成2个底面；计算通风管时，多算底面。 知识点02：圆柱的表面积 1、圆柱的侧面展开图 圆柱的侧面是一个曲面，沿高展开后是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长（或边长）等于圆柱的底面周长，宽（或边长）等于圆柱的高。 2、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 S侧＝Ch＝2πrh＝πdh 3、圆柱的表面积 （1）圆柱的表面积指的是圆柱表面的总面积。 （2）圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋底面圆的面积×2 S表＝Ch＋2πr2 【易错点】 （1）无盖圆柱（如水桶）的表面积=S侧+S底； （2）通风管、烟囱等的表面积=S侧 知识点03：圆柱的体积 1、圆柱体积公式的推导：将圆柱切拼成近似的长方体，长方体的底面积=圆柱的底面积，长方体的高=圆柱的高，长方体体积=圆柱体积。 2、体积公式：圆柱的体积＝底面积×高 如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么圆柱的体积计算公式是： V＝Sh＝πr²h 【易错点】切拼圆柱后体积变化判断错误：认为切拼成长方体后体积变大，实际体积不变，表面积变大。 知识点04：圆锥的认识 1、圆锥的形成：圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转而得到的。由1个圆形底面和1个曲面侧面组成。 2、圆锥的高：圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高 3、圆锥的特征： （1）底面的特征：圆锥的底面一个圆。 （2）侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。 （3）高的特征：圆锥只有一条高。 【易错点】圆锥高的概念误解：认为圆锥的高是从顶点到底面边缘的距离，实际是到圆心的垂直距离。 知识点05：圆锥的体积 1、圆锥体积公式的推导：通过实验发现，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱体积的。 2、圆锥的体积公式：V圆锥＝V圆柱＝πr2h 3、圆柱与圆锥的关系 （1）等底等高：V锥=V柱，V柱=3V锥； （2）体积相等、底面积相等：h锥=3h柱； （3）体积相等、高相等：S锥底=3S柱底。 【易错点】等底等高关系混淆：在体积相等的情况下，V锥=V柱，V柱=3V锥。 知识点06：不规则物体的体积问题 1、“转化法”求不规则物体的体积 解题方法： （1）根据正放的瓶子得：液体的体积＝瓶子的底面积×液体的高度 （2）根据倒放的瓶子得：空余部分的的体积＝瓶子的底面积×空余部分的高度 （3）瓶子的容积＝液体的体积＋空余部分的体积 2、“排水法”求不规则物体的体积 排水法原理：当把不规则物体完全浸没在装有水的圆柱形容器中时，水面会上升。上升的这部分水的体积就等于不规则物体的体积。 考点1：圆柱的认识 【典型例题】下面选项中（     ）是圆柱的展开图。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆柱侧面展开图的长等于底面圆的周长，分别计算各选项中底面圆的周长（圆的周长＝πd，d为直径），再与侧面展开图的长比较。 【详解】A．3.14×4＝12.56≠4，所以该图形不是圆柱的展开图； B．3.14×3＝9.42，所以该图形是圆柱的展开图； C．3.14×1＝3.14≠10，所以该图形不是圆柱的展开图； D．3.14×2＝6.28≠2，所以该图形不是圆柱的展开图。 所以图是圆柱的展开图。 【练习】把一个棱长为4厘米的正方体削成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径是（ ）厘米，高是（ ）厘米。 【答案】 4 4 【分析】把一个正方体削成一个最大的圆柱，那么圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，据此解答。 【详解】如图： 圆柱的底面直径是4厘米，高是4厘米。 考点2：圆柱的侧面积 【典型例题】高升讲堂大门口有2根底面直径为0.5米，高3米的圆柱形柱子，现在要给它们刷油漆，如果每平方米用0.5千克油漆，刷这两根柱子一共要多少千克油漆？ 【答案】4.71 千克 【分析】根据题意：柱子刷油漆只需要刷侧面积（上下底面无需刷漆），先根据圆柱侧面积公式S侧＝πdh（π取3.14）求出单根柱子的侧面积，再乘2求出两根柱子的总侧面积，最后用总侧面积乘每平方米所需油漆的重量，即可求出总共需要的油漆量。 【详解】3.14×0.5×3×2×0.5 ＝1.57×3×2×0.5 ＝4.71×2×0.5 ＝9.42×0.5 ＝4.71（千克） 答：刷这两根柱子一共要4.71千克油漆。 【练习】一种压路机的滚筒长1.5m，该滚筒横截面的直径是20dm，如果每小时滚筒滚动100周，3小时可以压路的面积是（     ）m2。 A．3 B．9.42 C．942 D．2826 【答案】D 【分析】先根据1米＝10分米统一单位，由圆的周长＝πd求出横截面周长，滚筒滚动一周的面积为圆柱的侧面积，用圆周长×滚筒长度，求出滚动一周的压路面积，再乘每小时滚动100周，乘3小时，得到3小时的压路面积。 【详解】20分米＝2米 3.14×2×1.5×100×3＝2826（平方米） 3小时可以压路的面积是2826平方米。 考点3：圆柱的表面积 【典型例题1】一根圆柱形木料的底面半径是1米，长4米，将它的长截成4段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了多少平方米？ 【答案】18.84平方米 【分析】将圆柱形木料截成4段，表面积增加了（4－1）×2个底面积，根据圆的面积公式：S＝πr2（π取3.14），求出底面积，再用底面积乘增加的底面积的个数即可解答。 【详解】（4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 3.14×12×6 ＝3.14×1×6 ＝3.14×6 ＝18.84（平方米） 答：这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了18.84平方米。 【典型例题2】一种圆柱形无盖铁皮水桶的高2.5分米，底面直径是4分米。做这样的一只水桶至少要用铁皮多少平方分米？（得数保留整十平方分米） 【答案】50平方分米 【分析】计算无盖圆柱形水桶所需铁皮的面积，即侧面积加上一个底面积。圆柱的侧面积公式为：S＝πdh，底面积公式为S＝πr2；已知圆柱形无盖铁皮水桶的高2.5分米，底面直径是4分米，计算出底面半径为4÷2＝2分米，将数据代入公式计算后，结果按实际情况（进一法）保留到整十平方分米。据此解答。 【详解】4÷2＝2（分米） 3.14×4×2.5＋3.14×22 ＝12.56×2.5＋3.14×4 ＝31.4＋12.56 ＝43.96（平方分米） 43.96≈50 答：做这样的一只水桶至少要用铁皮50平方分米。 【练习】一个圆柱的底面半径是5cm，若高增加3cm，则表面积增加（     ）cm2。 A．30 B．31.4 C．94.2 【答案】C 【分析】圆柱的高增加时，底面积不变，表面积增加部分为侧面积的增加量。圆柱侧面积公式为：S＝2πrh（r为半径，h为高，π取3.14），把半径5cm和高增加量3cm代入公式计算即可。 【详解】2×3.14×5×3＝94.2（cm2） 所以表面积增加94.2cm2。 故答案为：C 考点4：组合体的表面积问题（圆柱） 【典型例题】如图，综合实践课，小明制作了一顶帽子（单位：厘米），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布（ ）平方厘米。 【答案】1884 【分析】观察图形，这顶帽子的上面是圆柱形，圆柱形所需布的面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的底面积，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，圆柱的底面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出上面圆柱形部分所用布的面积； 帽檐部分是一个圆环，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算，求出帽檐部分所用布的面积； 然后把圆柱形部分所用布的面积加上帽檐部分所用布的面积，求出做这顶帽子一共用布的面积。 【详解】20÷2＝10（厘米） 10＋10＝20（厘米） 上面圆柱形的表面积： 3.14×20×10＋3.14×102 ＝3.14×20×10＋3.14×100 ＝628＋314 ＝942（平方厘米） 帽檐部分的面积： 3.14×（202－102） ＝3.14×（400－100） ＝3.14×300 ＝942（平方厘米） 一共：942＋942＝1884（平方厘米） 做这顶帽子一共用布1884平方厘米。 【练习】计算下面图形的表面积。 【答案】188.4cm2 【分析】该图形是由两个圆柱组合而成，其表面积等于大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积（因为两圆柱接触部分的面积会重合，不计入总表面积）。 已知大圆柱底面半径3cm，高5cm。根据圆柱表面积公式S＝2πr2＋2πrh（其中r为底面半径，h为圆柱的高），把数据代入公式可得大圆柱的表面积。 已知小圆柱底面半径2cm，高3cm。根据圆柱侧面积公式S＝2πrh（其中r为底面半径，h为圆柱的高），把数据代入公式可得小圆柱的侧面积。 最后把大圆柱的表面积和小圆柱的侧面积相加即可得到组合图形的表面积。 【详解】2×3.14×32＋2×3.14×3×5 ＝2×3.14×32＋2×3.14×3×5 ＝2×3.14×9＋2×3.14×3×5 ＝56.52＋94.2 ＝150.72（cm2） 2×3.14×2×3＝37.68（cm2） 150.72＋37.68＝188.4（cm2） 该图形的表面积是188.4cm2。 考点5：圆柱的体积（容积） 【典型例题1】一瓶装满的矿泉水，小星喝了一些后，水的高度还有12厘米。把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10厘米。如果水瓶的内直径是6厘米，小星喝了多少水？ 【答案】282.6毫升 【分析】矿泉水原本是装满的，小星喝了一部分后倒置放平，无水部分的体积就等于喝掉的水的体积，瓶身可看作圆柱形，用圆柱体积公式：底面积×高，代入数据计算即可。 【详解】6÷2＝3（厘米） 3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝282.6（立方厘米） 282.6立方厘米＝282.6毫升。 答：小星喝了282.6毫升水。 【典型例题2】一种无盖的圆柱形水桶，底面直径是2分米，高5分米。 （1）做一个这样的水桶，需要多少平方分米的铁皮？ （2）将水桶中装满水，已知1升水重1千克，这桶水重多少千克？ 【答案】（1）34.54平方分米 （2）15.7千克 【分析】（1）由题意可知，水桶所需铁皮＝圆柱侧面积＋底面积，根据圆柱侧面积公式，圆的面积公式，代入数据计算。 （2）根据圆柱的体积公式，求出圆柱体积，再把单位转化为升，再乘1即可。 【详解】（1） （平方分米） 答：需要34.54平方分米的铁皮。 （2） （立方分米） 15.7立方分米＝15.7升 （千克） 答：这桶水重15.7千克。 【练习】一个长方体木块长8cm、宽6cm、高6cm，把它加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（ ）cm3。 【答案】226.08 【分析】将长方体加工成最大圆柱时，需考虑不同底面直径与高度的组合。圆柱的底面直径受限于长方体各面的较短边长，高度则为另一方向的边长。通过计算三种可能情况的体积并比较，确定最大体积。 【详解】以长8cm、宽6cm为底面： 3.14×（6÷2）2×6 ＝3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝169.56（cm3） 以长8cm、高6cm为底面：体积与第一种情况相同，为169.56 cm3。 以宽6cm、高6cm为底面： 3.14×（6÷2）2×8 ＝3.14×32×8 ＝3.14×9×8 ＝226.08（cm3） 一个长方体木块长8cm、宽6cm、高6cm，把它加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是226.08cm3。 考点6：立体图形的切拼（圆柱） 【典型例题】一根圆柱形木料的高是8厘米，把它垂直从中间切开后（如图），表面积增加了96平方厘米，这根圆柱木料的体积是______。 【答案】226.08立方厘米/226.08 【分析】增加的表面积等于2个长为8厘米、宽为圆柱形木料的底面直径的长方形的面积，用增加的表面积除以2，求出1个长方形的面积，再用长方形的面积除以8求出圆柱形木料的底面直径，再除以2求出半径，再根据圆柱的体积＝，代入数据解答即可。 【详解】96÷2÷8÷2 ＝48÷8÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 3.14××8 ＝3.14×9×8 ＝28.26×8 ＝226.08（立方厘米） 所以这根圆柱木料的体积是226.08立方厘米。 【练习】把一个高4cm的圆柱平均分成16份，切开后拼成近似长方体，表面积增加了24cm2，圆柱的体积是（     ）cm3。 A．36π B．72π C．24π D．18π 【答案】A 【分析】把一个圆柱拼成近似的长方体，长方体的体积等于圆柱的体积；拼成的近似长方体的表面积比原来的表面积增加了两个长为圆柱的高，宽为底面半径的长方形，据此用24÷2求出一个面的面积，再用一个面的面积除以4求出圆柱的底面半径，最后根据圆柱的体积＝πr2h代入数据列式求出圆柱的体积。 【详解】24÷2＝12（cm2） 12÷4＝3（cm） π×32×4 ＝π×9×4 ＝9π×4 ＝36π（cm3） 把一个高4cm的圆柱平均分成16份，切开后拼成近似长方体，表面积增加了24cm2，圆柱的体积是36πcm3。 故答案为：A 考点7：圆锥的认识 【典型例题】下图中，以直线a为轴旋转一周，形成的图形是圆锥的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆锥是由直角三角形绕一条直角边旋转一周得到的。所以要判断哪个图形以直线a为轴旋转一周能形成圆锥，需看图形是否为直角三角形且直角边与轴a重合。 【详解】A．图形不是直角三角形，旋转后不能形成圆锥。 B．图形是长方形，旋转后形成圆柱，不是圆锥。 C．图形是梯形，旋转后不能形成圆锥。 D．图形是直角三角形，且一条直角边与轴a重合，以直线a为轴旋转一周可形成圆锥。 故答案为：D 【练习】剪开得到的图形是（     ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】圆锥侧面剪开后，得到的图形是一个扇形。据此解题。 【详解】剪开得到的图形是。 故答案为：C 考点8：圆锥的体积（容积） 【典型例题】一个圆锥形状的沙石堆，底面积12平方米，高1.2米。如果用这堆沙石铺路，公路宽10米，沙石厚0.2米，能铺（ ）米长。 【答案】2.4 【分析】根据圆锥体积公式为×底面积×高先算出沙石堆的体积，再利用铺路后沙石的长方体体积与圆锥体积相等的关系，用体积除以公路的宽和高即可求出长度。 【详解】×12×1.2＝4×1.2＝4.8（立方米） 4.8÷10÷0.2＝2.4（米） 因此，能铺2.4米长。 【练习】把一个体积是156立方分米的圆柱削成一个最大的圆锥，削掉部分的体积是（ ）立方分米，圆锥的体积是（ ）立方分米。 【答案】 104 52 【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，据此求出圆锥的体积；再用圆柱的体积－圆锥的体积，求出削去部分的体积。 【详解】圆锥体积：156×＝52（立方分米） 削去部分体积：156－52＝104（立方分米） 考点9：组合体的体积问题（圆柱、圆锥） 【典型例题】蒙古包也称“毡包”，是蒙古族传统民居（如图）。它是由一个圆柱和一个圆锥组成的，它的圆柱形部分的底面周长是25.12米。这个蒙古包占了多少立方米的空间？（结果保留整数） 【答案】121立方米 【分析】蒙古包由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱体积＝，圆锥体积＝，已知圆柱形底面周长，且圆柱、圆锥的底面相同，根据半径＝周长÷，据此可计算得出蒙古包体积，再运用“四舍五入”法则得到整数。 【详解】根据题意得：圆柱、圆锥半径为25.12÷3.14÷2＝4（米），则蒙古包体积为： （立方米） 答：这个蒙古包占了121立方米的空间。 【练习】“雪糕筒”的学名是交通锥，是马路上常见的路障。形状由圆柱形底座和圆锥形柱筒两部分组成，圆柱形底座的底面直径为30厘米，高5厘米，圆锥形柱筒高度为57厘米，底面直径为20厘米。这个“雪糕筒”所占的空间有多大？ 【答案】9498.5立方厘米 【分析】“雪糕筒”所占的空间＝圆柱体积＋圆锥体体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3。 【详解】3.14×（30÷2）2×5＋3.14×（20÷2）2×57÷3 ＝3.14×152×5＋3.14×102×57÷3 ＝3.14×225×5＋3.14×100×57÷3 ＝3532.5＋5966 ＝9498.5（立方厘米） 答：这个“雪糕筒”所占的空间有9498.5立方厘米。 考点10：不规则物体的体积问题 【典型例题1】为测得一个圆锥形零件的体积，元元将零件投入一个盛有水的圆柱形玻璃容器中，水面上升（如图）。（数据由容器内部测得） （1）圆锥形零件的体积是多少立方厘米？ （2）如果圆锥形零件的高为10厘米，这个零件的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）628立方厘米 （2）188.4平方厘米 【分析】（1）圆锥形零件投入圆柱容器中使水面上升，则上升水的体积等于圆锥形零件的体积。已知圆柱容器底面直径20厘米，用直径长度除以2计算出半径长度，水面上升高度为12－10＝2厘米；然后根据圆柱的体积（容积）公式计算出上升水的体积，即为圆锥形零件的体积。 （2）由（1）可知圆锥形零件的体积，又已知圆锥形零件的高为10厘米，根据“圆锥的体积＝×底面积×高”可得“圆锥的底面积＝体积×3÷高”，用该圆锥形零件的体积乘3除以高即为它的底面积。 【详解】（1）20÷2＝10（厘米） 3.14×102×（12－10） ＝3.14×100×2 ＝314×2 ＝628（立方厘米） 答：圆锥形零件的体积是628立方厘米。 （2）628×3÷10 ＝1884÷10 ＝188.4（平方厘米） 答：这个零件的底面积是188.4平方厘米。 【典型例题2】如图，一个水瓶的容积是400毫升，瓶身高24厘米，倒出一些水后，水面高度是16厘米，将瓶子倒置，水面高度变成20厘米，倒出去_______毫升水。（水瓶的厚度不计） 【答案】80 【分析】由题意可知，水瓶的容积＝正放时候水的体积＋倒放时候空白部分的体积，把正放时候的水和倒放时候的空白部分看作一个圆柱，先求出倒放时候空白部分的高度，水瓶的底面积＝水瓶的容积÷这两部分的高度之和，倒出去水的体积等于倒放时候空白部分的体积，最后利用“”即可求得倒出去水的体积，据此解答。 【详解】400毫升＝400立方厘米 倒放时空白部分的高度：24－20＝4（厘米） 正放时瓶子的底面积：400÷（16＋4） ＝400÷20 ＝20（平方厘米） 倒出水的体积：20×4＝80（立方厘米） 80立方厘米＝80毫升 所以，倒出去80毫升水。 【练习】一个圆柱形容器内盛有一定量的水，现把一段底面半径为2厘米的圆柱形钢材全部浸入水中，水面上升了5厘米且没有溢出；把钢材竖着拉出水面6厘米后，水面下降了2厘米。这段钢材的体积是多少立方厘米？ 【答案】188.4立方厘米 【分析】当把钢材竖着拉出水面6厘米时，拉出部分的体积等于容器中水面下降部分的水的体积，拉出钢材的部分是一个圆柱，根据圆柱的体积公式：（其中是底面半径，是高），可得拉出钢材部分的体积，因为拉出部分的体积等于容器中水面下降部分的水的体积，用拉出钢材部分的体积除以水面下降的高度，即可求出容器的底面积，已知当钢材全部浸入水中时，水面上升5厘米，钢材的总体积等于水面上升5厘米水的体积，再根据圆柱的体积公式：（其中是底面积，是高），即可求出钢材的体积。 【详解】拉出钢材部分的体积： （立方厘米） 容器的底面积：（平方厘米） 钢材的体积：（立方厘米） 答：这段钢材的体积是188.4立方厘米。 一、选择题 1．一个圆锥的体积是120dm3，高是10dm，则它的底面积是（     ）dm2。 A．12 B．36 C．4 【答案】B 【分析】已知圆锥的体积和高，求底面积。根据圆锥体积公式的逆运算，代入数据计算即可。 【详解】 （dm2） 一个圆锥的体积是120dm3，高是10dm，则它的底面积是36dm2。 故答案为：B 2．建筑工人要建造一个圆锥形的谷仓，已知谷仓的体积是12立方米，底面积是4平方米，谷仓的高是（     ）米。 A．3 B．6 C．9 【答案】C 【分析】根据圆锥的体积公式：圆锥的体积＝圆锥的底面积×高÷3，可得：圆锥的高＝3×圆锥的体积÷圆锥的底面积，由此代入数据可求圆锥形谷仓的高。 【详解】3×12÷4 ＝36÷4 ＝9（米） 故答案为：C 3．如图所示，把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，拼成的近似长方体和原来的圆柱相比较，下面说法正确的是（     ）。 A．表面积变了体积没变 B．表面积没变，体积变了 C．表面积和体积都没变 【答案】A 【分析】将圆柱切拼成长方体的过程中，体积没有增多或减少，所以体积不变；圆柱的侧面积等于长方体前后两个面的面积，圆柱的两个底面积的和等于长方体上下两个面的面积和；所以长方体的表面积比圆柱的表面积多了两个左右面的面积和，据此依次判断各选项得出答案。 【详解】根据题意得：将圆柱拼成一个近似长方体，此时近似长方体相比于圆柱体，表面积变了，体积没变。 故答案为：A 4．把一根长80cm，底面积是30cm2的圆柱形钢材锯成3段小圆柱，表面积增加了（     ）cm2。 A．60 B．90 C．120 【答案】C 【分析】根据题意，把一根圆柱形钢材锯成3段小圆柱，需锯2次。每锯一次，表面积比原来增加2个底面积；锯2次，表面积比原来增加4个底面积，据此解答。 【详解】2×（3－1） ＝2×2 ＝4（个） 30×4＝120（cm2） 表面积增加了120cm2。 故答案为：C 5．圆柱体的底面半径扩大到原来的3倍，高扩大到原来的2倍，体积扩大到原来的（     ）。 A．6倍 B．18倍 C．27倍 【答案】B 【分析】圆柱的体积＝πr2h，据此根据赋值法求出原来圆柱的体积和扩大后的体积，进而解答。 【详解】设原来圆柱的半径是1，高是2；扩大后圆柱的半径是1×3＝3；高是2×2＝4。 （π×32×4）÷（π×12×2） ＝（π×9×4）÷（π×1×2） ＝（36π）÷（2π） ＝18 体积扩大到原来的18倍。 6．用一张长28.26厘米，宽15.7厘米的长方形铁皮做一个圆柱形容器的侧面，配（     ）的圆形铁皮当底面得到的容器的容积最大。 A．半径4厘米 B．半径4.5厘米 C．直径5厘米 【答案】B 【分析】根据圆柱侧面展开图的特点可知，用长方形铁皮可以做成两种不同的圆柱形容器的侧面： 情况一：用长方形的长作为圆柱的底面周长，宽作为圆柱的高； 情况二：用长方形的宽作为圆柱的底面周长，长作为圆柱的高； 根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，据此求出这两种圆柱形容器的底面半径； 再根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，分别求出两种圆柱的容积，比较大小，得出哪种圆柱的容积最大，即可选择合适的圆形铁皮。 【详解】情况一：用长方形的长作为圆柱的底面周长，宽作为圆柱的高； 圆柱的底面半径： 28.26÷3.14÷2＝4.5（厘米） 圆柱的容积： π×4.52×15.7 ＝π×20.25×15.7 ＝317.925π（立方厘米） 情况二：用长方形的宽作为圆柱的底面周长，长作为圆柱的高； 圆柱的底面半径： 15.7÷3.14÷2＝2.5（厘米） 圆柱的容积： π×2.52×28.26 ＝π×6.25×28.26 ＝176.625π（立方厘米） 317.925π＞176.625π 配（半径4.5厘米）的圆形铁皮当底面得到的容器的容积最大。 故答案为：B 7．一根圆柱形木料截成4个小圆柱，4个小圆柱表面积之和比原来大圆柱表面积增加了75.36cm2，这根木料的底面面积是（     ）。 A．10.56 B．11.56 C．12.56 【答案】C 【分析】将圆柱木料截成4个小圆柱，需要截3次，每次增加2个底面，共计增加6个底面，即6个底面的面积是75.36cm2，即可得出每个底面积的大小。 【详解】（4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 75.36÷6＝12.56（cm2） 故答案为：C 二、填空题 8．一个圆柱沿高剪开后是一个边长为6.28分米的正方形，这个圆柱的侧面积是（ ）平方分米，体积是（ ）。 【答案】 39.4384 19.7192立方分米 【分析】一个圆柱沿高剪开后是一个边长为6.28分米的正方形，说明圆柱的底面周长是6.28分米，高是6.28分米。圆柱的侧面积＝底面周长×高＝6.28×6.28＝39.4384平方分米。 底面半径＝底面周长÷÷2＝6.28÷3.14÷2＝1分米，圆柱体积＝＝（立方分米）。 【详解】侧面积：6.28×6.28＝39.4384（平方分米） 底面半径：6.28÷3.14÷2＝1（分米） 体积：（立方分米） 9．把一个底面积是6.28、高6dm的圆柱体铁块熔铸成一个底面积是12.56的圆锥体，圆锥体的高是（ ）dm。 【答案】9 【分析】因为，，熔铸前后体积不变，所以，即，两边同时乘3后再除以圆锥的底面积可得圆锥的高：＝，代入圆柱的底面积、圆柱的高、圆锥的底面积公式即可求出熔铸后圆锥的高。 【详解】3×6.28×6÷12.56 ＝18.84×6÷12.56 ＝113.04÷12.56 ＝9（dm） 10．一个圆柱形的无盖铁皮水桶，从里面量，底面直径是6dm，深是4dm，做这个水桶至少要用铁皮（ ），这个水桶的容积是（ ）。（铁皮厚度及连接处忽略） 【答案】 103.62 113.04 【分析】无盖水桶的铁皮面积包括“1个圆形底面积和侧面积”，依据圆的面积公式求出底面的面积，再依据计算出侧面面积，最后再将两者相加即可；再依据计算出水桶的容积。 【详解】r＝6÷2＝3（dm） （） 3.14×6×4＝75.36（） 75.36＋28.26＝103.62（） 28.26×4＝113.04（） 11．一个圆柱与它等底、等高的圆锥的体积之和为36dm3，圆柱的体积是（ ）dm3，圆锥的体积是（ ）dm3。 【答案】 27 9 【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的三倍。 【详解】36÷（3＋1） ＝36÷4 ＝9（dm3） 9×3＝27（dm3） 圆柱的体积是27dm3，圆锥的体积是9dm3。 12．一个圆锥的底面直径是6cm，高是9cm，这个圆锥的体积是（ ），如果沿圆锥的底面直径将它切成两个完全相等的部分，表面积增加了（ ）。 【答案】 84.78 54 【分析】先用底面直径除以2求出半径，再根据圆锥体积公式 V＝πr2h（π取3.14）。代入数值即可求出圆锥的体积。增加的表面积是两个相同的三角形切面的面积，每个三角形的底等于底面直径 6 cm，高等于圆锥的高 9 cm，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，求出两个三角形的面积之和即可。 【详解】体积：×3.14×（6÷2）2×9 ＝×3.14×32×9 ＝×3.14×9×9 ＝×9×9×3.14 ＝27×3.14 ＝84.78（cm3） 增加表面积：6×9÷2×2 ＝54÷2×2 ＝27×2 ＝54（cm2） 13．如图，一个圆柱形罐头的底面半径是4厘米，高是10厘米。它的侧面贴了一张彩纸，如果沿虚线剪开后可以得到一个平行四边形。这个平行四边形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】251.2 【分析】根据题意，这个平行四边形的面积等于圆柱的侧面积。圆柱的侧面积＝底面周长×高＝2πrh，据此代入数据计算即可。 【详解】4×2×3.14×10 ＝8×3.14×10 ＝25.12×10 ＝251.2（平方厘米） 则这个平行四边形的面积是251.2平方厘米。 14．如图，在双人花样滑冰运动中，女运动员绕男运动员在冰面旋转一周，会近似地形成一个（ ），这种运动称为圆锥摆运动。所形成的图形的底面半径是（ ）m，高是（ ）m，所形成的图形的体积是（ ）。 【答案】 圆锥 2 1.2 5.024 【分析】由图可知，女运动员和男运动员以及底面之间组成一个近似的直角三角形，男运动员和底面可以看作两条直角边，女运动员可以看作斜边，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。男运动员和女运动员脚部之间的距离看作底面半径，男运动员的身高可以看作高，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出体积。 【详解】3.14×22×1.2÷3 ＝3.14×4×1.2÷3 ＝12.56×1.2÷3 ＝15.072÷3 ＝5.024（m3） 在双人花样滑冰运动中，女运动员绕男运动员在冰面旋转一周，会形成一个近似地圆锥，这种运动称为圆锥摆运动。所形成的图形的底面半径是2m，高是1.2m，所形成的图形的体积是5.024m3。 15．已知一个圆锥的体积是18.84dm3，高是3cm，则这个圆锥的底面积是（ ）cm2。 【答案】18840 【分析】圆锥的体积是18.84dm3，因为1dm3＝1000cm3，所以18.84dm3为18.84×1000＝18840cm3。圆锥的体积公式为：V＝Sh（V是圆锥体积，S是圆锥底面积，h是圆锥的高）。则S＝V÷h÷，已知V＝18840cm3，h＝3cm，把数据代入公式计算即可。 【详解】1dm3＝1000cm3 18.84×1000＝18840（cm3） 18840÷÷3 ＝56520÷3 ＝18840（cm2） 这个圆锥的底面积是18840cm2。 16．一顶帽子，上面是直径2dm，高1dm的圆柱形（有帽顶），做这顶帽子，至少要用（ ）的布料（接头处忽略不计）。 【答案】9.42dm2/9.42平方分米 【分析】做这顶圆柱形帽子需要多少面料，就是求圆柱的侧面积加上圆柱的底面积，圆柱的侧面积＝底面周长×高，底面积：S＝πr2，再把两部分的面积相加。 【详解】3.14×2×1＋3.14×（2÷2）2 ＝6.28＋3.14×1 ＝6.28＋3.14 ＝9.42（dm2） 所以至少要用9.42dm2的布料。 17．把一个正方体木块削成一个最大的圆锥，削去的部分的体积是正方体木块体积的（ ）%。（保留一位小数） 【答案】73.8 【分析】根据题意，把一个正方体木块削成一个最大的圆锥，则圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长； 设正方体的棱长为6cm，则圆锥的底面直径是6cm，高是6cm；根据正方体的体积公式V＝a3，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，分别求出正方体、圆锥的体积； 用正方体的体积减去圆锥的体积，即是削去部分的体积；再用削去部分的体积除以正方体的体积，即是削去部分的体积是正方体体积的百分之几。 【详解】设正方体的棱长为6cm，则圆锥的底面直径是6cm，高是6cm； 正方体的体积：6×6×6＝216（cm3） 圆锥的体积： ×3.14×（6÷2）2×6 ＝×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝56.52（cm3） 削去部分的体积：216－56.52＝159.48（cm3） 159.48÷216≈0.738＝73.8% 所以，削去的部分的体积是正方体木块体积的73.8%。 18．将如图所示图形以3cm长的边为轴旋转一周，得到一个圆锥，它的高是（ ）cm，底面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。 【答案】 3 50.24 50.24 【分析】将一个三角形绕其中一条直角边旋转一周，得到一个圆锥，绕哪条边旋转，哪条边就是高，另一条直角边为底面半径；已知该图形以3cm长的边为轴旋转一周，因此圆锥的高就是3cm；另一条直角边长4cm，因此该圆锥的底面半径是4cm，根据圆的面积公式计算出圆锥的底面积；再根据“圆锥的体积＝×底面积×高”计算出该圆锥的体积。据此解答。 【详解】该图形以3cm长的边为轴旋转一周，得到一个圆锥，它的高是3cm； 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） ×50.24×3＝50.24（cm3） 因此，该圆锥的底面积是50.24cm2，体积是50.24cm3。 19．圆锥的底面积不变，高扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的（ ）倍；如果高不变，底面半径扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的（ ）倍。 【答案】 2 4 【分析】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍，积也扩大到原来的几倍。圆锥体积＝πr2h，底面积不变，高扩大到原来的2倍，圆锥的体积也扩大到原来的2倍。如果高不变，底面半径扩大到原来的2倍，那么半径的平方会扩大到原来的（2×2）倍，此时圆锥的体积会扩大到原来的（2×2）倍。 【详解】2×2＝4 圆锥的底面积不变，高扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的2倍；如果高不变，底面半径扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的4倍。 20．一个底面半径和高都是3分米的圆锥形容器，里面装满了某种液体，这种液体每升0.8千克，这个容器里装了（ ）千克液体。 【答案】22.608 【分析】根据圆锥的容积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形容器的容积，也就是液体的容积，再用液体的容积×0.8，即可求出这个容器装的液体的重量，注意单位名数的换算。 【详解】3.14×32×3× ＝3.14×9×3× ＝28.26×3× ＝84.78× ＝28.26（立方分米） 28.26立方分米＝28.26升 28.26×0.8＝22.608（千克） 一个底面半径和高都是3分米的圆锥形容器，里面装满了某种液体，这种液体每升0.8千克，这个容器里装了22.608千克液体。 21．一个直角三角形，一条直角边长是6cm，另一条直角边长是4cm，以6cm的直角边为轴旋转一周得到的立体图形的体积是（ ）cm3。 【答案】100.48 【分析】根据圆锥的定义，一个直角三角形以它的较长的直角边为轴旋转一周后形成一个立体图形，这个立体图形是圆锥，圆锥的底面半径等于三角形的较短的直角边4厘米，高等于较长的直角边6厘米，根据圆锥的体积：V＝Sh，把数据代入公式解答即可。 【详解】3.14×42×6× ＝3.14×16×6× ＝50.24×6× ＝301.44× ＝100.48（cm3） 以6cm的直角边为轴旋转一周得到的立体图形的体积是100.48cm3。 22．把一个底面直径是6cm、高10cm的圆锥体铁块熔铸成一个圆柱体，若圆柱的高是5cm，圆柱的底面积是（ ）cm2。 【答案】18.84 【分析】根据题意，把一个圆锥体铁块熔铸成一个圆柱体，铁块的体积不变；先根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出铁块的体积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的底面积S＝V÷h，据此求解。 【详解】×3.14×（6÷2）2×10 ＝×3.14×32×10 ＝×3.14×9×10 ＝94.2（cm3） 94.2÷5＝18.84（cm2） 圆柱的底面积是18.84cm2。 23．同学们制作圆柱形无盖笔筒，已知一个笔筒的底面半径是4厘米，高是7厘米，则它的侧面积是（ ）平方厘米，制作一个笔筒至少需要（ ）平方厘米的硬纸板，笔筒的最大容积是（ ）立方厘米。 【答案】 175.84 226.08 351.68 【分析】由题意可知，圆柱的底面半径为4厘米，高为7厘米，利用“”求出圆柱的侧面积；这个圆柱形笔筒无盖，求需要硬纸板的面积时只需计算圆柱的侧面积与一个底面积的和；最后利用“”求出这个笔筒的容积，据此解答。 【详解】2×3.14×4×7 ＝6.28×4×7 ＝25.12×7 ＝175.84（平方厘米） 3.14×42＋175.84 ＝3.14×16＋175.84 ＝50.24＋175.84 ＝226.08（平方厘米） 3.14×42×7 ＝3.14×16×7 ＝50.24×7 ＝351.68（立方厘米） 所以，它的侧面积是175.84平方厘米，制作一个笔筒至少需要226.08平方厘米的硬纸板，笔筒的最大容积是351.68立方厘米。 24．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，圆柱和圆锥高的比是，圆柱的底面积是18平方厘米，圆锥的底面积是（ ）平方厘米。 【答案】36 【分析】圆柱的体积公式；圆锥的体积公式，根据题中圆柱和圆锥的体积相等即；圆柱和圆锥的高的比是2：3，设圆柱的高为2X，圆锥的高为3X即＝，求出即圆锥的底面积。 【详解】圆柱体积为： 圆锥体积为： 由题意可知：圆柱和圆锥的高的比是2：3，圆柱和圆锥的体积相等。 解：设圆柱的高为2X厘米；圆锥的高为3X厘米。 ＝ 则圆锥的底面积是36平方厘米。 一个圆柱和一个圆锥的体积相等，圆柱和圆锥高的比是，圆柱的底面积是18平方厘米，圆锥的底面积是（36 ）平方厘米。 三、计算题 25．计算下面图形的体积。（单位：厘米） 【答案】12.56立方厘米；857.22立方厘米 【分析】观察图形可知：图一是一个底面直径是4厘米，高为3厘米的圆锥体，根据圆锥的体积公式：，代入数据计算即可； 图二是一个空心圆柱体，用大圆柱的体积－里面小圆柱的体积＝空心圆柱体的体积。且圆柱的体积公式：，且大圆柱的底面直径是10厘米，高是12厘米；小圆柱的底面直径是3厘米，高是12厘米，代入数据计算即可。 【详解】 ＝12.56（立方厘米） 所以这个圆锥体的体积是12.56立方厘米。 ＝78.5×12－7.065×12 ＝942－84.78 ＝857.22（立方厘米） 所以这个空心圆柱体的体积是857.22立方厘米。 四、解答题 26．把一个边长是62.8厘米的正方形卷成一个最大的圆柱，给这个圆柱配个底面，这个底面的面积是多少平方厘米？ 【答案】314平方厘米 【分析】把正方形卷成圆柱，正方形的边长分别是圆柱的底面周长和高，圆柱的底面积就是底面周长为62.8厘米的圆的面积，根据圆的周长求出圆的半径，代入圆的面积即可求解。 【详解】半径：62.8÷2÷3.14 ＝31.4÷3.14 ＝10（厘米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 答：这个底面的面积是314平方厘米。 27．有一个近似圆锥形的稻谷堆，底面直径是6米，高是1.5米。如果把这些稻谷放到一个圆柱形粮囤里，可以堆0.9米高。这个圆柱形粮囤的占地面积是多少？ 【答案】15.7平方米 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高×；求出圆锥的体积；体积不变，圆柱的体积＝底面积×高；底面积＝体积÷高，据此解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×1.5×÷0.9 ＝3.14×32×1.5×÷0.9 ＝3.14×9×1.5×÷0.9 ＝28.26×1.5×÷0.9 ＝42.39×÷0.9 ＝14.13÷0.9 ＝15.7（平方米） 答：这个圆柱形粮囤的占地面积是15.7平方米。 28．如图所示，有一块长方形铁皮，把其中的涂色部分剪下来制成一个圆柱形油桶。求圆柱形油桶的表面积。 【答案】131.88平方分米 【分析】根据圆柱形的特点，可以得出圆柱的底面周长是18.84，根据底面直径＝底面周长÷π得出圆柱的直径是6分米。圆柱的高＝长方形铁皮的宽－圆柱的直径，最后根据圆柱的表面积＝πdh＋2πr2，代入数据计算即可。 【详解】18.84÷3.14＝6（分米） 10－6＝4（分米） 3.14×6×4＋3.14×（6÷2）2×2 ＝3.14×24＋3.14×32×2 ＝75.36＋3.14×9×2 ＝75.36＋3.14×18 ＝75.36＋56.52 ＝131.88（平方分米） 答：圆柱形油桶的表面积131.88平方分米。 29．妈妈有一个20克的金手镯，把这个金手镯放入底面半径是5厘米的圆柱形量杯中，金手镯被水浸没，水面上升了0.04厘米。妈妈说这个金手镯是“空心”的。请你结合下面的资料，说明这个金手镯为什么是“空心”的。（已知20克纯金的体积大约是1.0352立方厘米） 阿基米德鉴别皇冠 国王命阿基米德鉴别皇冠是不是纯金的。阿基米德在洗澡时受到启发，把质量。相等、材质一样的两块金属分别浸没在同一个装有水的容器中，水面上升的高度是一样的。他将皇冠和同质量的金子分别浸没在水中，结果放入皇冠排出的水量比金子的大，这表明皇冠掺假。 【答案】见详解 【分析】金手镯的体积是3.14立方厘米，而20克纯金的体积应为1.0352立方厘米，实际体积大于纯金体积，说明是空心的。根据阿基米德原理，物体浸没水中排开水的体积等于物体体积。通过计算金手镯排开水的体积（即水面上升部分的体积），并与纯金体积对比，若排开体积更大，则说明手镯含有空心部分。 【详解】圆柱形量杯的底面积： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 水面上升的体积（即金手镯的体积）： 体积＝底面积×上升高度＝78.5×0.04＝3.14（立方厘米） 对比纯金体积 已知20克纯金的体积为1.0352立方厘米，而金手镯的实际体积为3.14立方厘米。 由于3.14立方厘米＞1.0352立方厘米， 说明金手镯排开的水量超过纯金应有的体积，因此含有空心部分。 30．如图，一个圆柱形木材被截去5厘米后，表面积比原来减少了62.8平方厘米，若将与原来完全一样的圆柱形木材削成一个最大的圆锥，则这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】87.92立方厘米 【分析】圆柱被截去5厘米后，表面积比原来减少了62.8平方厘米，表面积减少的部分即为截去圆柱部分的侧面积，根据“圆柱侧面积＝底面周长×高”，用62.8除以5即可计算出圆柱的底面周长；再根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2，计算出圆柱的底面半径； 已知原来圆柱的高是21厘米，将与原来完全一样的圆柱形木材削成一个最大的圆锥，则圆锥与原来圆柱等底等高，根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积。 【详解】62.8÷5÷3.14÷2 ＝12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） ×3.14×22×21 ＝×3.14×4×21 ＝87.92（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是87.92立方厘米。 31．一个直径是20厘米，高是30厘米的无盖圆柱形铁皮容器中装有水，水里浸没一个底面半径是5厘米的圆锥形铁块。 （1）做这个圆柱形容器至少需要铁皮多少平方厘米？ （2）取出铁块后水面下降2厘米，这个圆锥形铁块高多少厘米？ 【答案】（1）2198平方厘米 （2）24厘米 【分析】（1）无盖圆柱形容器的铁皮面积＝侧面积＋1个底面积。先用直径除以2求底面半径，再根据侧面积公式S侧＝2πrh（π取3.14），圆面积公式S＝πr2，分别求出侧面积和底面积，最后将两者相加，求出制作容器所需的铁皮总面积。 （2）当圆锥形铁块从水中取出后，水面下降部分的体积就等于圆锥形铁块的体积。先根据圆柱体积公式V＝πr2h，求出下降部分水的体积，也就是铁块的体积。再根据圆锥体积公式V＝Sh，推导出求圆锥高的公式h＝3V÷S，求出圆锥形铁块的高。 【详解】（1）底面半径：20÷2＝10（厘米） 侧面积：3.14×20×30 ＝62.8×30 ＝1884（平方厘米） 底面积：3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 表面积：1884＋314＝2198（平方厘米） 答：做这个圆柱形容器至少需要铁皮2198平方厘米。 （2）圆锥体积：3.14×102×2 ＝3.14×100×2 ＝314×2 ＝628（立方厘米） 圆锥底面积：3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 圆锥的高：3×628÷78.5 ＝1884÷78.5 ＝24（厘米） 答：这个圆锥形铁块高24厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版六年级数学下册 第三单元：圆柱与圆锥（期中复习讲义） 知识点01：圆柱的认识 1、圆柱的形成 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。 把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱。 2、圆柱的特征 （1）圆柱是由3个面围成的。 （2）它的上、下两个面叫做底面。上、下底面是完全相同的两个圆。 （3）圆柱周围的面（上、下底面除外）叫做侧面。 （4）圆柱的两个底面之间的距离叫做高，圆柱有无数条高。 【易错点】 （1）混淆圆柱侧面展开图的长和宽：误将圆柱的高当作展开图的长，实际长是底面周长。 （2）实际应用漏算或多算面：计算无盖水桶表面积时，误算成2个底面；计算通风管时，多算底面。 知识点02：圆柱的表面积 1、圆柱的侧面展开图 圆柱的侧面是一个曲面，沿高展开后是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长（或边长）等于圆柱的底面周长，宽（或边长）等于圆柱的高。 2、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 S侧＝Ch＝2πrh＝πdh 3、圆柱的表面积 （1）圆柱的表面积指的是圆柱表面的总面积。 （2）圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋底面圆的面积×2 S表＝Ch＋2πr2 【易错点】 （1）无盖圆柱（如水桶）的表面积=S侧+S底； （2）通风管、烟囱等的表面积=S侧 知识点03：圆柱的体积 1、圆柱体积公式的推导：将圆柱切拼成近似的长方体，长方体的底面积=圆柱的底面积，长方体的高=圆柱的高，长方体体积=圆柱体积。 2、体积公式：圆柱的体积＝底面积×高 如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么圆柱的体积计算公式是： V＝Sh＝πr²h 【易错点】切拼圆柱后体积变化判断错误：认为切拼成长方体后体积变大，实际体积不变，表面积变大。 知识点04：圆锥的认识 1、圆锥的形成：圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转而得到的。由1个圆形底面和1个曲面侧面组成。 2、圆锥的高：圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高 3、圆锥的特征： （1）底面的特征：圆锥的底面一个圆。 （2）侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。 （3）高的特征：圆锥只有一条高。 【易错点】圆锥高的概念误解：认为圆锥的高是从顶点到底面边缘的距离，实际是到圆心的垂直距离。 知识点05：圆锥的体积 1、圆锥体积公式的推导：通过实验发现，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱体积的。 2、圆锥的体积公式：V圆锥＝V圆柱＝πr2h 3、圆柱与圆锥的关系 （1）等底等高：V锥=V柱，V柱=3V锥； （2）体积相等、底面积相等：h锥=3h柱； （3）体积相等、高相等：S锥底=3S柱底。 【易错点】等底等高关系混淆：在体积相等的情况下，V锥=V柱，V柱=3V锥。 知识点06：不规则物体的体积问题 1、“转化法”求不规则物体的体积 解题方法： （1）根据正放的瓶子得：液体的体积＝瓶子的底面积×液体的高度 （2）根据倒放的瓶子得：空余部分的的体积＝瓶子的底面积×空余部分的高度 （3）瓶子的容积＝液体的体积＋空余部分的体积 2、“排水法”求不规则物体的体积 排水法原理：当把不规则物体完全浸没在装有水的圆柱形容器中时，水面会上升。上升的这部分水的体积就等于不规则物体的体积。 考点1：圆柱的认识 【典型例题】下面选项中（     ）是圆柱的展开图。 A． B． C． D． 【练习】把一个棱长为4厘米的正方体削成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径是（ ）厘米，高是（ ）厘米。 考点2：圆柱的侧面积 【典型例题】高升讲堂大门口有2根底面直径为0.5米，高3米的圆柱形柱子，现在要给它们刷油漆，如果每平方米用0.5千克油漆，刷这两根柱子一共要多少千克油漆？ 【练习】一种压路机的滚筒长1.5m，该滚筒横截面的直径是20dm，如果每小时滚筒滚动100周，3小时可以压路的面积是（     ）m2。 A．3 B．9.42 C．942 D．2826 考点3：圆柱的表面积 【典型例题1】一根圆柱形木料的底面半径是1米，长4米，将它的长截成4段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了多少平方米？ 【典型例题2】一种圆柱形无盖铁皮水桶的高2.5分米，底面直径是4分米。做这样的一只水桶至少要用铁皮多少平方分米？（得数保留整十平方分米） 【练习】一个圆柱的底面半径是5cm，若高增加3cm，则表面积增加（     ）cm2。 A．30 B．31.4 C．94.2 考点4：组合体的表面积问题（圆柱） 【典型例题】如图，综合实践课，小明制作了一顶帽子（单位：厘米），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布（ ）平方厘米。 【练习】计算下面图形的表面积。 考点5：圆柱的体积（容积） 【典型例题1】一瓶装满的矿泉水，小星喝了一些后，水的高度还有12厘米。把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10厘米。如果水瓶的内直径是6厘米，小星喝了多少水？ 【典型例题2】一种无盖的圆柱形水桶，底面直径是2分米，高5分米。 （1）做一个这样的水桶，需要多少平方分米的铁皮？ （2）将水桶中装满水，已知1升水重1千克，这桶水重多少千克？ 【练习】一个长方体木块长8cm、宽6cm、高6cm，把它加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（ ）cm3。 考点6：立体图形的切拼（圆柱） 【典型例题】一根圆柱形木料的高是8厘米，把它垂直从中间切开后（如图），表面积增加了96平方厘米，这根圆柱木料的体积是______。 【练习】把一个高4cm的圆柱平均分成16份，切开后拼成近似长方体，表面积增加了24cm2，圆柱的体积是（     ）cm3。 A．36π B．72π C．24π D．18π 考点7：圆锥的认识 【典型例题】下图中，以直线a为轴旋转一周，形成的图形是圆锥的是（     ）。 A． B． C． D． 【练习】剪开得到的图形是（     ）。 A． B． C． 考点8：圆锥的体积（容积） 【典型例题】一个圆锥形状的沙石堆，底面积12平方米，高1.2米。如果用这堆沙石铺路，公路宽10米，沙石厚0.2米，能铺（ ）米长。 【练习】把一个体积是156立方分米的圆柱削成一个最大的圆锥，削掉部分的体积是（ ）立方分米，圆锥的体积是（ ）立方分米。 考点9：组合体的体积问题（圆柱、圆锥） 【典型例题】蒙古包也称“毡包”，是蒙古族传统民居（如图）。它是由一个圆柱和一个圆锥组成的，它的圆柱形部分的底面周长是25.12米。这个蒙古包占了多少立方米的空间？（结果保留整数） 【练习】“雪糕筒”的学名是交通锥，是马路上常见的路障。形状由圆柱形底座和圆锥形柱筒两部分组成，圆柱形底座的底面直径为30厘米，高5厘米，圆锥形柱筒高度为57厘米，底面直径为20厘米。这个“雪糕筒”所占的空间有多大？ 考点10：不规则物体的体积问题 【典型例题1】为测得一个圆锥形零件的体积，元元将零件投入一个盛有水的圆柱形玻璃容器中，水面上升（如图）。（数据由容器内部测得） （1）圆锥形零件的体积是多少立方厘米？ （2）如果圆锥形零件的高为10厘米，这个零件的底面积是多少平方厘米？ 【典型例题2】如图，一个水瓶的容积是400毫升，瓶身高24厘米，倒出一些水后，水面高度是16厘米，将瓶子倒置，水面高度变成20厘米，倒出去_______毫升水。（水瓶的厚度不计） 【练习】一个圆柱形容器内盛有一定量的水，现把一段底面半径为2厘米的圆柱形钢材全部浸入水中，水面上升了5厘米且没有溢出；把钢材竖着拉出水面6厘米后，水面下降了2厘米。这段钢材的体积是多少立方厘米？ 一、选择题 1．一个圆锥的体积是120dm3，高是10dm，则它的底面积是（     ）dm2。 A．12 B．36 C．4 2．建筑工人要建造一个圆锥形的谷仓，已知谷仓的体积是12立方米，底面积是4平方米，谷仓的高是（     ）米。 A．3 B．6 C．9 3．如图所示，把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，拼成的近似长方体和原来的圆柱相比较，下面说法正确的是（     ）。 A．表面积变了体积没变 B．表面积没变，体积变了 C．表面积和体积都没变 4．把一根长80cm，底面积是30cm2的圆柱形钢材锯成3段小圆柱，表面积增加了（     ）cm2。 A．60 B．90 C．120 5．圆柱体的底面半径扩大到原来的3倍，高扩大到原来的2倍，体积扩大到原来的（     ）。 A．6倍 B．18倍 C．27倍 6．用一张长28.26厘米，宽15.7厘米的长方形铁皮做一个圆柱形容器的侧面，配（     ）的圆形铁皮当底面得到的容器的容积最大。 A．半径4厘米 B．半径4.5厘米 C．直径5厘米 7．一根圆柱形木料截成4个小圆柱，4个小圆柱表面积之和比原来大圆柱表面积增加了75.36cm2，这根木料的底面面积是（     ）。 A．10.56 B．11.56 C．12.56 二、填空题 8．一个圆柱沿高剪开后是一个边长为6.28分米的正方形，这个圆柱的侧面积是（ ）平方分米，体积是（ ）。 9．把一个底面积是6.28、高6dm的圆柱体铁块熔铸成一个底面积是12.56的圆锥体，圆锥体的高是（ ）dm。 10．一个圆柱形的无盖铁皮水桶，从里面量，底面直径是6dm，深是4dm，做这个水桶至少要用铁皮（ ），这个水桶的容积是（ ）。（铁皮厚度及连接处忽略） 11．一个圆柱与它等底、等高的圆锥的体积之和为36dm3，圆柱的体积是（ ）dm3，圆锥的体积是（ ）dm3。 12．一个圆锥的底面直径是6cm，高是9cm，这个圆锥的体积是（ ），如果沿圆锥的底面直径将它切成两个完全相等的部分，表面积增加了（ ）。 13．如图，一个圆柱形罐头的底面半径是4厘米，高是10厘米。它的侧面贴了一张彩纸，如果沿虚线剪开后可以得到一个平行四边形。这个平行四边形的面积是（ ）平方厘米。 14．如图，在双人花样滑冰运动中，女运动员绕男运动员在冰面旋转一周，会近似地形成一个（ ），这种运动称为圆锥摆运动。所形成的图形的底面半径是（ ）m，高是（ ）m，所形成的图形的体积是（ ）。 15．已知一个圆锥的体积是18.84dm3，高是3cm，则这个圆锥的底面积是（ ）cm2。 16．一顶帽子，上面是直径2dm，高1dm的圆柱形（有帽顶），做这顶帽子，至少要用（ ）的布料（接头处忽略不计）。 17．把一个正方体木块削成一个最大的圆锥，削去的部分的体积是正方体木块体积的（ ）%。（保留一位小数） 18．将如图所示图形以3cm长的边为轴旋转一周，得到一个圆锥，它的高是（ ）cm，底面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。 19．圆锥的底面积不变，高扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的（ ）倍；如果高不变，底面半径扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的（ ）倍。 20．一个底面半径和高都是3分米的圆锥形容器，里面装满了某种液体，这种液体每升0.8千克，这个容器里装了（ ）千克液体。 21．一个直角三角形，一条直角边长是6cm，另一条直角边长是4cm，以6cm的直角边为轴旋转一周得到的立体图形的体积是（ ）cm3。 22．把一个底面直径是6cm、高10cm的圆锥体铁块熔铸成一个圆柱体，若圆柱的高是5cm，圆柱的底面积是（ ）cm2。 23．同学们制作圆柱形无盖笔筒，已知一个笔筒的底面半径是4厘米，高是7厘米，则它的侧面积是（ ）平方厘米，制作一个笔筒至少需要（ ）平方厘米的硬纸板，笔筒的最大容积是（ ）立方厘米。 24．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，圆柱和圆锥高的比是，圆柱的底面积是18平方厘米，圆锥的底面积是（ ）平方厘米。 三、计算题 25．计算下面图形的体积。（单位：厘米） 四、解答题 26．把一个边长是62.8厘米的正方形卷成一个最大的圆柱，给这个圆柱配个底面，这个底面的面积是多少平方厘米？ 27．有一个近似圆锥形的稻谷堆，底面直径是6米，高是1.5米。如果把这些稻谷放到一个圆柱形粮囤里，可以堆0.9米高。这个圆柱形粮囤的占地面积是多少？ 28．如图所示，有一块长方形铁皮，把其中的涂色部分剪下来制成一个圆柱形油桶。求圆柱形油桶的表面积。 29．妈妈有一个20克的金手镯，把这个金手镯放入底面半径是5厘米的圆柱形量杯中，金手镯被水浸没，水面上升了0.04厘米。妈妈说这个金手镯是“空心”的。请你结合下面的资料，说明这个金手镯为什么是“空心”的。（已知20克纯金的体积大约是1.0352立方厘米） 阿基米德鉴别皇冠 国王命阿基米德鉴别皇冠是不是纯金的。阿基米德在洗澡时受到启发，把质量。相等、材质一样的两块金属分别浸没在同一个装有水的容器中，水面上升的高度是一样的。他将皇冠和同质量的金子分别浸没在水中，结果放入皇冠排出的水量比金子的大，这表明皇冠掺假。 30．如图，一个圆柱形木材被截去5厘米后，表面积比原来减少了62.8平方厘米，若将与原来完全一样的圆柱形木材削成一个最大的圆锥，则这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 31．一个直径是20厘米，高是30厘米的无盖圆柱形铁皮容器中装有水，水里浸没一个底面半径是5厘米的圆锥形铁块。 （1）做这个圆柱形容器至少需要铁皮多少平方厘米？ （2）取出铁块后水面下降2厘米，这个圆锥形铁块高多少厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $