8.2.2 第1课时 离散型随机变量的均值-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

8.2　离散型随机变量及其分布列 8.2.2　离散型随机变量的数字特征 第1课时　离散型随机变量的均值 第8章　概率 [学习目标]　1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念,能计算简单离散型随机变量的均值.　2.会利用离散型随机变量的均值,反映离散型随机变量的取值水平,解决一些相关的实际问题. [素养目标]　水平一:离散型随机变量均值的概念与计算方法.(数学运算) 水平二:离散型随机变量均值的性质及应用.(逻辑推理) 学习引语 李教授向学生们抛出了一个有趣的数学问题:张、李两位同学进行了一场公平的棋艺对决,双方获胜的概率是均等的.按照规则,谁先赢得三局,谁就是这场比赛的胜者,并将获得200元的奖金作为奖励.然而,在激战了三局之后,张同学以两胜一负暂时领先,但不幸的是,比赛因故突然中断.面对这样的局面,我们该如何公正地分配这200元奖金,使得两位同学都能心服口服地接受结果呢? 探究活动1　离散型随机变量的均值 内容索引 探究活动2　离散型随机变量均值的性质 课时作业 巩固提升 探究活动3　均值的实际应用 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　离散型随机变量的均值 问题　随机变量X的均值E(X)是个变量吗? 提示　随机变量X的均值E(X)是个定值,不随X的变化而变化. 一般地,随机变量X的概率分布如表所示, 其中pi≥0,i=1,2,…,n,p1+p2+…+pn=1,将____________________________ 称为随机变量X的均值或数学期望,记为　　　 　.  知识生成 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn p1x1+p2x2+…+pnxn E(X)或μ 温馨提醒　1.均值是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均数. 2.离散型随机变量的均值E(X)是一个数值,是随机变量X本身固有的一个数字特征,它不具有随机性,反映的是随机变量取值的平均水平. [例1]　某地举办知识竞赛,组委会为每位选手都备有10道不同的题目,其中有6道艺术类题目,2道文学类题目,2道体育类题目,每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次,每次抽取一道题,回答完一道题后,再抽取下一道题进行回答. (1)求某选手在3次抽取中,只有第一次抽到的是艺术类题目的概率; (2)求某选手抽到体育类题目的次数X的均值. 知识应用 [解]　从10道不同的题目中不放回地随机抽取3次,每次只抽取1道题,抽取方法的总数为. (1)某选手在3次抽取中,只有第一次抽到的是艺术类题目的方法数为, 所以这位选手在3次抽取的题目中,只有第一次抽到的是艺术类题目的概率为=. (2)由题意可知X的可能取值为0,1,2. P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==. 故X的概率分布为 E(X)=0×+1×+2×=. X 0 1 2 P 　　求随机变量X的均值关键是写出概率分布,一般分为四步: (1)确定X的可能取值; (2)计算出P(X=k); (3)写出概率分布; (4)利用E(X)的计算公式计算E(X). 反思感悟 1.某商店试销某种商品20天,获得如下数据: 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率. (1)求当天商店不进货的概率; (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的概率分布和均值. 跟踪训练 日销售量(件) 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 解:(1)P(当天商店不进货)=P(当天商店销售量为0件)+P(当天商店销售量为1件)=+=. (2)由题意知X的可能取值为2,3,P(X=2)=P(当天商品销售量为1件)==,P(X=3)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为2件)+P(当天商品销售量为3件)=++=. 故X的概率分布为 所以X的均值为E(X)=2×+3×=. X 2 3 P 探究活动2　离散型随机变量均值的性质 问题　若X,Y都是一离散型随机变量,且Y=aX+b(其中a,b是常数),那么E(Y)与E(X)有怎样的关系? 提示　X,Y的分布列为 于是E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn =a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aE(X)+b. X x1 x2 … xi … xn Y ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b P p1 p2 … pi … pn 若Y=aX+b,其中a,b均是常数,则Y也是随机变量,且E(aX+b)=aE(X)+b. 知识生成 [例2]　已知随机变量X的概率分布为 若η=aX+3,E(η)=,则a=(　　) A.3　　　　　　　　 B.2 C.1 D.-2 知识应用 X -1 0 1 P m B [解析]　由分布列的性质,得++m=1,解得m=,所以E(X)=(-1) ×+0×+1×=-. 则E(η)=E(aX+3)=aE(X)+3=. 即-a+3=,得a=2. [例3]　已知某一随机变量X的概率分布如下,且E(X)=6.3. (1)求b; (2)求a; (3)若η=2X-3,求E(η). X 4 a 9 P 0.5 0.1 b [解]　(1)由随机变量的分布列的性质,得0.5+0.1+b=1,解得b=0.4. (2)E(X)=4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3, 解得a=7. (3)由公式E(aX+b)=aE(X)+b, 得E(η)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×6.3-3=9.6. 与离散型随机变量性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ=aX+b,a,b为常数.一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列,关键是由X的取值计算ξ的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E(ξ). 反思感悟 2.已知随机变量X的概率分布为 跟踪训练 X -2 -1 0 1 2 P m (1)求E(X); (2)若Y=2X-3,求E(Y); (3)若ξ=aX+3,且E(ξ)=-,求a的值. 解:(1)由随机变量分布列的性质,得 +++m+=1,解得m=, 所以E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-. (2)法一:由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得 E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3 =2×-3=-. 法二:由于Y=2X-3,所以Y的概率分布如表: 所以E(Y)=(-7)×+(-5)×+(-3)×+(-1)×+1×=-. (3)E(ξ)=E(aX+3)=aE(X)+3=-a+3=-,解得a=15. Y -7 -5 -3 -1 1 P 探究活动3　均值的实际应用 [例4]　体检时,为了确定体检人是否患有某种疾病,需要对其血液进行化验,若结果呈阳性,则患有该疾病;若结果呈阴性,则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1,化验结果不会出错,而且各体检人是否患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液待检查,有以下两种化验方案: 方案甲:逐个检查每位体检人的血液; 方案乙:先将5位体检人的血液混在一起化验一次,若呈阳性,则再逐个化验;若呈阴性,则说明每位体检人均未患有该疾病,化验结束. (1)哪种化验方案更好? (2)如果每次化验的费用为100元,求方案乙的平均化验费用. 知识应用 [解]　(1)方案甲中,化验的次数一定为5次. 方案乙中,若记化验次数为X,则X的可能取值为1,6. 因为5人都不患病的概率为(1-0.1)5=0.590 49, 所以P(X=1)=0.590 49, P(X=6)=1-0.590 49=0.409 51, 从而E(X)=1×0.590 49+6×0.409 51=3.047 55. 这就是说,方案乙的平均检查次数不到5次,因此方案乙更好. (2)若记方案乙中,检查费用为Y元,则Y=100X,从而可知E(Y)=100E(X)=304.755, 即方案乙的平均化验费用为304.755元. 概率模型的解答步骤 1.审题:确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些. 2.确定随机变量的概率分布,计算随机变量的均值. 3.对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论. 反思感悟 3.某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 跟踪训练 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的概率分布; (2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值; (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个? 解:(1)由柱状图并以频率代替概率可得,1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04; P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16; P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24; P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24; P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2; P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08; P(X=22)=0.2×0.2=0.04. 所以X的概率分布为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19. (3)记Y=“2台机器在购买易损零件上所需的费用”(单位:元). 当n=19时, E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+ (19×200+3×500)×0.04=4 040. 当n=20时, E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04= 4 080. 可知当n=19时所需费用的期望值小于当n=20时所需费用的期望值,故应选n=19. 课堂小结 1．知识清单 (1)离散型随机变量的均值． (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (3)离散型随机变量的均值的应用． 2．方法归纳 函数与方程、转化化归． 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知离散型随机变量X的概率分布为 则X的均值E(X)等于(　　) A.　　　　　　　　　 B.2 C. D.3 X 1 2 3 P A 解析:E(X)=1×+2×+3×=. 2.某船队若出海后天气好,可获得5 000元;若出海后天气不好,将损失 2 000元;若不出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6,则出海收益的均值是(　　) A.2 000 B.2 200 C.2 400 D.2 600 解析:出海收益的均值E(X)=5 000×0.6+(1-0.6)×(-2 000)=3 000-800= 2 200. B 3.设离散型随机变量X的概率分布如下表,且E(X)=1.6,则a-b等于(　　) A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4 X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 C 解析:由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8.① 又由E(X)=0×0.1+1·a+2·b+3×0.1=1.6, 得a+2b=1.3,② 由①②解得a=0.3,b=0.5,则a-b=-0.2. 4.某人进行一项试验,若试验成功,则停止试验,若试验失败,再重新试验一次,若试验3次均失败,则放弃试验.若此人每次试验成功的概率均为, 则此人试验次数ξ的均值是　　　　.  解析:试验次数ξ的可能取值为1,2,3, 则P(ξ=1)=, P(ξ=2)=×=, P(ξ=3)=××=. 所以ξ的概率分布为 所以E(ξ)=1×+2×+3×=. ξ 1 2 3 P 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分,击不中10环得0分.已知他击中10环的概率为0.8,则射击一次得分X的期望是(　　) A.0.2　　 　　B.0.8　　　 　C.1　　　 　D.0 解析:因为X的所有可能取值为1,0,且P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2, 所以E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 2.设随机变量X的概率分布为 则P(|X-3|=1)=(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X 1 2 3 4 P m B 解析:根据分布列的性质得出+m++=1,所以m=, 随机变量X的概率分布为 所以P(|X-3|=1)=P(X=4)+P(X=2)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X 1 2 3 4 P 3.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同时取2个,则其中含红球个数的数学期望是(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 解析:记X为同时取出的两个球中含红球的个数,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,E(X)=0×+1×+2×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.今有两台在两地“独立”工作的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为X,则E(X)=(　　) A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 解析:P(X=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.1×0.15=0.015;P(X=1)=0.9× (1-0.85)+0.85×(1-0.9)=0.22;P(X=2)=0.9×0.85=0.765. ∴E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(多选)已知随机变量X的分布列为(　 　) 若E=7.5,则下列结论正确的是(　　) A.a=7.5 B.b=0.4 C.E=52.5 D.E=7.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 BCD 解析:由分布列的性质,可得0.3+0.1+b+0.2=1,解得b=0.4, 因为E=7.5,所以4×0.3+a×0.1+9×0.4+10×0.2=7.5,解得a=7, 则E=aE=7×7.5=52.5,且E=E+b=7.5+0.4=7.9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.马老师从课本上抄录的一个随机变量ξ的概率分布如表: 请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E(ξ)=　　　　.  解析:令“?”为a,“!”为b,则2a+b=1,∴E(ξ)=a+2b+3a=2(2a+b)=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ξ 1 2 3 P ? ! ? 2 7.将两封信随机投入A,B,C三个空邮箱中,则A邮箱的信件数X的数学期 望E(X)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:概率分布如表所示: 所以数学期望E(X)=0×+1×+2×==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X 0 1 2 P 8.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的人数是X,求E(X). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:X的所有可能取值为0,1,3,X=0表示三位同学全坐错了,有2种情况,即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生, 则P(X=0)==; X=1表示三位同学只有1位同学坐对了, 则P(X=1)==; X=3表示三位学生全坐对了,即对号入座, 则P(X=3)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以X的概率分布为 E(X)=0×+1×+3×=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X 0 1 3 P 9.某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率. (2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的概率分布和均值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:设E=“甲组研发新产品成功”,F=“乙组研发新产品成功”.由题设知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E与F,E与,与F,与都相互独立. (1)设H=“至少有一种新产品研发成功”,则=, 于是P()=P()P()=×=, 故所求的概率为P(H)=1-P()=1-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)设企业可获利润为X万元,则X的可能取值为0,100,120,220.因为P(X=0)=P()=×=, P(X=100)=P(F)=×=, P(X=120)=P(E)=×=, P(X=220)=P(EF)=×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故X的概率分布为 E(X)=0×+100×+120×+220×=140. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X 0 100 120 220 P [B组　关键能力练] 10.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值E(X)=(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 解析:125个小正方体中8个三面涂漆,36个两面涂漆,54个一面涂漆,27个没有涂漆, ∴从中随机取一个正方体,涂漆面数X的均值E(X)=×0+×1+×2+×3==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球,其中红球5个,黑球3个,若取到红球记2分,取到黑球记1分,现从盒子中任取3个球,记总分为ξ,则 P(ξ=4)=　　　　,E(ξ)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:ξ的所有可能取值为3,4,5,6. P(ξ=3)==, P(ξ=4)==, P(ξ=5)==, P(ξ=6)==, E(ξ)=3×+4×+5×+6×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.本着健康低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分,每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为,;两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ,求ξ的概率分布及数学期望E(ξ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)由题意得,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为,. 设A=“甲、乙两人所付的租车费用相同”,则 P(A)=×+×+×=. 故甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)ξ的可能取值为0,2,4,6,8. P(ξ=0)=×=; P(ξ=2)=×+×=; P(ξ=4)=×+×+×=; P(ξ=6)=×+×=; P(ξ=8)=×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的概率分布为 ∴E(ξ)=0×+2×+4×+6×+8×=. ξ 0 2 4 6 8 P $$