8.2.2 离散型随机变量的数字特征（第2课时）（教学课件）数学苏教版选择性必修第二册

8.2.2 离散型随机变量的数字特征（2） ——离散型随机变量的方差 第8章 概 率 苏教版·选择性必修第二册 章节导读 8.1条件概率 8.2 离散型随机变量及其分布列 8.3 正态分布 全概率公式 贝叶斯公式 条件概率 离散型随机变量的 数字特征 随机变量及其分布列 正态分布 二项分布 超几何分布 学 习 目 标 1 2 3 使学生理解离散型随机变量的数字特征（均值、方差、标准差）的概念和意义。 学生能够掌握离散型随机变量的均值、方差和标准差的计算公式，并能根据具体问题求解这些数字特征。 学生能够运用离散型随机变量的数字特征解决实际问题，如比较不同方案的优劣、评估风险等。 知识回顾 1、离散型随机变量的均值(数学期望) 一般地，随机变量X的概率分布如下表所示， X x1 x2 ··· xn P p1 p2 ··· pn 其中pi ≥0，i＝1，2，···，n， p1＋ p2＋ ··· ＋pn＝1， 我们将 p1 x1＋ p2 x2＋···＋pn xn称为随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或μ，即 2、离散型随机变量的均值(数学期望)的性质 (1) E(c) ＝c； (2) E(aX ＋b) ＝ aE(X)＋b。 知识回顾 3、两点分布的均值(数学期望) 一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，那么 E(X)＝1×p＋0×(1－p)=p 即： 若 X 服从两点分布，则 E(X)= p。 新知导入 问题1：甲、乙两名工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布如下表： X1 0 1 2 3 Pk 0.6 0.2 0.1 0.1 X2 0 1 2 3 Pk 0.5 0.3 0.2 0 从均值看，E(X1)，E(X2)，都是0.7，那么甲、乙两名工人哪个的技术 稳定性更好一些？ 当样本平均数相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均数的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？ 新知探究 一、离散型随机变量的方差与标准差 一般地，随机变量X的概率分布如下表所示， X x1 x2 ··· xn P p1 p2 ··· pn 其中pi ≥0，i＝1，2，···，n； p1＋ p2＋ ··· ＋pn＝1，则(xi－ μ)2 (μ＝E(X))描述了xi (i＝1，2，···，n) 相对于均值μ的偏离程度，故 (其中pi ≥0，i＝1，2，···，n， p1＋ p2＋ ··· ＋pn＝1)刻画随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为D(X)或σ2 ，即 随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差， X的方差D(X)的算术平方根称为X的标准差，即 (x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋···＋(xn－μ)2pn 新知探究 在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化. 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 由此可算出问题1中的方差或标准差： 新知探究 这说明乙的技术稳定性比甲的好一些． 问题2：离散型随机变量加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量乘以一个常数，方差又会有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 离散型随机变量加上一个常数，其均值也相应加上常数，故不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即. 一般地，可以证明下面的结论成立： . 而离散型随机变量乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即. 新知探究 思考1：离散型随机变量的方差和样本方差之间有何关系? (1)离散型随机变量的方差即为总体的方差,它是一个常数,不随样本的变化而变化; (2)样本方差则是随机变量,它是随样本不同而变化的. 典例分析 例3：已知随机变量X的概率分布如下表所示，求X的方差D(X)和标准差σ. X 0 1 P 1－p p 解：因为μ＝0×(1－p)＋ 1×p＝p 所以 D(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2p＝p(1－p) 总结：如果随机变量 X 服从两点分布，那么 方差： 典例分析 例4：设有甲、乙两地生产的两批原棉，它们的纤维长度X，Y的概率分布如下表所示. X 25 24 23 22 21 20 P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2 Y 25 24 23 22 21 20 P 0.05 0.2 0.25 0.3 0.1 0.1 试问：这两批原棉的质量哪一批较好？ 解析：两批原棉纤维长度的均值分别为 E(X)＝25×0.1＋24×0.2＋23×0.3＋22×0.1＋ 21×0.1＋20×0.2＝22.5 E(Y)＝25×0.05＋24×0.2＋23×0.25＋22×0.3＋ 21×0.1＋20×0.1＝22.5 这两批原棉的纤维平均长度相等. 典例分析 解析：两批原棉纤维长度的方差分别为 D(X)＝(25－22.5)2×0.1＋(24－22.5)2×0.2＋(23－22.5)2×0.3＋(22－22.5)2×0.1＋(21－22.5)2×0.1＋(20－22.5)2×0.2＝2.65 这说明乙地原棉纤维更加齐整，故乙地原棉的质量比甲地原棉的要好一些. D(Y)＝(25－22.5)2×0.05＋(24－22.5)2×0.2＋(23－22.5)2×0.25＋(22－22.5)2×0.3＋(21－22.5)2×0.1＋(20－22.5)2×0.1＝1.75 例4：设有甲、乙两地生产的两批原棉，它们的纤维长度X，Y的概率分布如下表所示. X 25 24 23 22 21 20 P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2 Y 25 24 23 22 21 20 P 0.05 0.2 0.25 0.3 0.1 0.1 试问：这两批原棉的质量哪一批较好？ 即时训练 练1：从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数,求X的方差. 解析：依题意X的可能取值为0，1，2. P(X＝2)＝. P(X＝0)＝ P(X＝1)＝ X 0 1 1 P 即时训练 总结：求离散型随机变量X的方差的基本步骤: 理解X的意义,写出X可能取的全部值 ↓ 求出X取每个值时的概率 ↓ 列出X的分布列 ↓ 由均值的定义求出E(X) ↓ 利用公式D(X)，求出D(X) 即时训练 练2.如图，左边为国外的著名数学家，右边为国籍，一位数学教师为了激发学生了解数学史的热情，在班内进行数学家和其国籍的连线游戏，参加连线的同学每连对一个得1分.假定一个学生对这些数学家没有了解，只是随机地连线，试求该学生得分的分布列及其数学期望、方差. 2 4 故的分布列为： ∴， . 解析：该学生连线的情况：连对0个，连对1个，连对2个，连对4个，故其得分可能为0分，1分，2分，4分. 即时训练 练3.已知随机变量的分布列如图，若. (1)求的值； (2)若，求的值. (2)∵，∴. 解：由分布列的性质，得，解得， ∵，∴. (1) 练4.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的冲差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解析：求各单位的均值与方差， 即时训练 E(X1)=12000.4+14000.3+16000.2+18000.1 =1400 D(X1)=(1200-1400)20.4+(1400-1400)20.3+ (1600-1400)20.2+(1800-1400)20.1 =40000 练4.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的冲差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解析：求各单位的均值与方差， E(X2)=10000.4+14000.3+18000.2+22000.1 =1400 D(X2)=(1000-1400)20.4+(1400-1400)20.3+ (1800-1400)20.2+(2200-1400)20.1 =160000 E(X1)=E(X2)，平均工资相等， D(X1)<D(X2)，第一家工资级差小于第二家， 如果希望工资差距小一些, 就选择第一家. 即时训练 课堂小结 通过本节课的学习你有哪些收获？ 1.离散型随机变量的方差与标准差 一般地，随机变量X的概率分布如下表所示， X x1 x2 ··· xn P p1 p2 ··· pn 其中pi ≥0，i＝1，2，···，n； p1＋ p2＋ ··· ＋pn＝1，则(xi－ μ)2 (μ＝E(X))描述了xi (i＝1，2，···，n) 相对于均值μ的偏离程度，故 (其中pi ≥0，i＝1，2，···，n， p1＋ p2＋ ··· ＋pn＝1)刻画随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为D(X)或σ2 ，即 (x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋···＋(xn－μ)2pn 课堂小结 通过本节课的学习你有哪些收获？ 随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差， X的方差D(X)的算术平方根称为X的标准差，即 3.如果随机变量 X 服从两点分布，那么 2.. 课后检测 书本122练习1-2 １．某种生丝的级别及相应的概率为 试求该生丝的级别X的方差与标准差. 级别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 概率 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.16 0.12 0.08 0.04 课后检测 书本122练习1-2 2.随机变量犡 的概率分布为 P（X=k）= （k=2,4,6，...，100）. 试求E(X),D(X). 感谢聆听! $