7 导数的应用（第2课时）（教学课件）数学北师大版选择性必修第二册

7 导数的应用 (第2课时) 第二章 导数及其应用 北师大版选择性必修第二册·高二 本章导读 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值(最值) 利用导数解决最值问题 认识实际问题中的导数的意义 导数的概念及其几何意义     导数应用 导数在研究函数性质中的应用 导数在解决实际问题中的应用 导数的计算 导数的加法与减法法则 导数的乘法与除法法则 简单复合函数的求导法则 变化的快慢与变化率 平均变化率 瞬时变化率 学 习 目 标 1 2 3  掌握利用导数解决实际问题中的最值问题（重点）.  能建立实际问题的函数模型，进一步理解导数的概念与应用. 会将实际问题转化为数学函数求最值问题，掌握其解决的步骤与方法（难点）. 读教材 阅读课本P88-P89，5分钟后完成下列问题： 1.如何根据实际问题建立函数模型？ 2.如何利用导数解决实际问题中的最值问题？ 3. 解决最值问题的基本步骤是什么？ 我们一起来探究“实际问题中的最值问题”吧！ 学习过程 01 目录 1 实际问题中的最值问题 02 2 题型训练 新课引入 1. 要制作一个容积为500mL的圆柱形饮料罐，上下底面为圆形，当底面半径和高取何值时，制作饮料罐的铁皮用料面积最小？ 思考：观察下列实际问题，如何利用导数进行解决呢？ 3.工厂要做一个容积为8立方米的无盖长方体水箱，底面是正方形，已知底面材料单价20元，侧面材料单价10元，怎么设计水箱的边长和高，能让制作成本最低？ 2.用一张长20cm、宽10cm的长方形硬纸板，在四角各剪去一个相同的小正方形，再折成无盖长方体纸盒，剪去的小正方形边长为多少时，纸盒的容积最大？ 4.一艘轮船在海上距离海岸最近点A有12海里，海岸上A点到某码头B的距离为16海里，轮船在海上的航行速度为20海里/小时，在海岸上的行驶速度为30海里/小时，轮船应在海岸何处登陆，才能最快到达码头B？ 典例分析 【例1】如图(1),一边长为 48 cm 的正方形铁皮,四角各截去一个大小相同的小正方形,然后折起,可以做成一个无盖长方体容器,如图(2).所得容器的容积V (单位:cm3 )是关于截去的小正方形的边长x (单位:cm)的函数. (1)随着x 的变化,容积 V 是如何变化的? (2)截去的小正方形的边长为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少? 在实际问题中,经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题,这些问题通称为最优化问题.导数是解决最优化问题的一个重要工具. 48-2x 48-2x 典例分析 解：(1)首先写出 V 关于 x 的函数解析式.根据题意,可得 由实际情况可知函数 的定义域为 . 根据导数公式表及导数的运算法则,可得 解方程 得 典例分析 根据,列出下表 ,分析的符号的单调性和极值点. 根据表可知, 是函数的极大值点,相应的极大值为 的大致图象如右图. 根据对函数变化规律的讨论可知: 当时,函数单调递增; 当时,函数单调递减. 典例分析 解：(2)区间上任意点的函数值都不超过 ,因此, 是函数的最大值点.此时 是函数在区间内的最大值. 即当截去的小正方形的边长为8 cm 时,得到的容器容积最大,最大容积为8 192 cm3 . 【例2】对于企业来说,生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明,该企业的生产成本 y (单位:万元)和生产收入 z (单位:万元)都是产量x (单位: t)的函数,分别为 (1)试写出该企业获得的生产利润w(单位:万元)与产量 x 出之间的函数关系式; (2)当产量为多少时,该企业可获得最大利润?最大利润为多少? 典例分析 解：(1)因为，即，所以 即 (2)根据导数公式表及导数的运算法则，可得 解方程 得 典例分析 由右图可知，当时,,所以 比较和 的函数值 可知，函数在处取得最大值，此时最大值为1 340.即该企业的产量为15 t时，可获得最大利润，最大利润为1 340万元. 最优化问题 用函数表示问题 用导数解决最大值问题 最优化问题的答案 抽象概括 最优化问题的求解步骤: (1)分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数关系. (2)求导函数，解方程. (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (4)依据实际问题的意义给出答案. 学习过程 01 目录 1 实际问题中的最值问题 02 2 题型训练 题型训练 题型一 实际问题中的最值问题 【练习1】若商品的年利润 (万元)与年产量 (百万件)的函数关系式为，则获得最大利润时的年产量为 百万件 百万件 百万件 百万件 解：依题意得，当时，；当时，.因此，当时，该商品的年利润最大．故选. 题型训练 题型一 实际问题中的最值问题 【练习2】一艘船的燃料费 (单位：元/时)与船速 (单位：km/h)的关系是.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100 km的航程中，要使得航行的总费用最少，船速应为 A.30 km/h B．30 km/h C.30 km/h D．60 km/h 解：由题知， 100 km的航程需要小时，故总的费用 即 . 故 令有.故当时，单调递减， 当时，单调递增. 使得航行的总费用最少，船速应为30 km/h.故选 题型训练 题型一 实际问题中的最值问题 【练习3】用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多0.5 m，要使它的容积最大，则容器底面的长为 A.2 m B．1.5 m C.1.2 m D．1 m 解：不妨设容器的宽为，故可得长为，因为长方体的棱长之和为14.8，故长方体的高为 故容积，， ， 则. 题型训练 题型一 实际问题中的最值问题 【练习4】当前，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势．假设某网校的套题每日的销售量 (单位：千套)与销售价格 (单位：元/套)满足的函数关系式为，其中，为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套． (1)则实数______； (2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，当销售价格______元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大(精确到0.1). 令，整理得，解得， 令，解得，故在单调递增，在单调递减．故当容积最大时，，即长方体的宽为1 m，此时长方体的长为1.5 m.故选. 题型训练 题型一 实际问题中的最值问题 解：(1)当时，，代入函数关系式，得，解得. (2)由(1)可知，套题每日的销售量为，所以每日销售套题所获得的利润为 则，令，得或(舍去). 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以是函数在区间上的极大值点，也是最大值点， 所以当时，函数取得最大值． 故当销售价格约为元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大． 课堂小结 1.关于利润问题常用的两个等量关系 (1). (2) 2.利用导数解决几何问题,往往是求体积、面积的最值,首先看清题意,分析几何图形的特征,设出变量,列出目标函数式,注明定义域,再转化为用导数求最值.若在定义域内只有一个极值,则这个极值便为最值. 3.费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答. 感谢聆听! $