2.6.2 函数的极值 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（北师大版）

2.6.2　函数的极值 [课时跟踪检测] 1.若函数y=f（x）可导，则“f'（x）=0有实根”是“f（x）有极值”的 （　　） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选A　f'（x）=0，但f'（x）在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时f（x）在零点处无极值，但f（x）有极值则f'（x）在极值点处一定等于0.所以“f'（x）=0有实根”是“f（x）有极值”的必要不充分条件.故选A. 2.定义在区间上的函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则下列结论错误的是 （　　） A.函数f（x）在区间（0，4）内单调递增 B.函数f（x）在区间内单调递减 C.函数f（x）在x=0处取得极小值 D.函数f（x）在x=3处取得极小值 解析：选D　根据导函数图象可知，在区间内，f'（x）<0，f（x）单调递减，在（0，4）内，f'（x）>0，f（x）单调递增，所以f（x）在x=0处取得极小值，没有极大值，故A、B、C正确，D错误，故选D. 3.函数f（x）=xex的极小值为 （　　） A.e B.-1 C.-e D.- 解析：选D　因为f（x）=xex，所以f'（x）=（x+1）ex，令f'（x）=0得x=-1，令f'（x）>0得x>-1，令f'（x）<0得x<-1，所以函数f（x）=xex在（-1，+∞）上单调递增，在（-∞，-1）上单调递减，所以f（x）=xex的极小值为f（-1）=-e-1=-.故选D. 4.已知函数f（x）的导数f'（x）=a（x+1）（x-a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a的取值范围是 （　　） A.（-∞，-1） B.（0，+∞） C.（0，1） D.（-1，0） 解析：选D　若a<-1，∵f'（x）=a（x+1）（x-a），∴f（x）在（-∞，a）上单调递减，在（a，-1）内单调递增，∴f（x）在x=a处取得极小值，与题意不符；若-1<a<0，则f（x）在（-1，a）内单调递增，在（a，+∞）上单调递减，从而在x=a处取得极大值.若a>0，则f（x）在（-1，a）内单调递减，在（a，+∞）上单调递增，与题意矛盾，故选D. 5.若函数y=ex-2mx有小于零的极值点，则实数m的取值范围是 （　　） A. B. C. D.（0，1） 解析：选B　由y=ex-2mx，得y'=ex-2m.∵函数y=ex-2mx有小于零的极值点，∴ex-2m=0有小于零的实根，即m=ex有小于零的实根，∵x<0，∴0<ex<，∴0<m<. 6.[多选]设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是 （　　） A.∀x∈R，f（x）≥f（x0） B.-x0是f（-x）的极大值点 C.-x0是-f（x）的极小值点 D.-x0是-f（-x）的极小值点 解析：选BD　函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的，故A不正确；f（-x）的图象相当于f（x）的图象关于y轴的对称图象，故-x0应是f（-x）的极大值点，故B正确；-f（x）的图象相当于f（x）的图象关于x轴的对称图象，故x0应是-f（x）的极小值点，跟-x0没有关系，故C不正确；-f（-x）的图象相当于f（x）的图象先关于y轴作对称，再关于x轴作对称得到的图象，故D正确.故选BD. 7.如图，直线y=kx+m与曲线y=f（x）相切于两点，则函数g（x）=f（x）-kx在（0，+∞）上的极大值点个数为 （　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：选D　由题意，g（x）=f（x）-kx，则g'（x）=f'（x）-k，作出与直线y=kx+m平行的函数f（x）的所有切线，如图， 各切线与函数f（x）的切点的横坐标依次为a，b，c，d，e，则f（x）在a，b，c，d，e处的导数都等于k， 所以在（0，a），（b，c），（d，e）上，f'（x）>k，g'（x）>0，g（x）单调递增， 在（a，b），（c，d），（e，+∞）上，f'（x）<k，g'（x）<0，g（x）单调递减， 因此函数g（x）=f（x）-kx有三个极大值点，有两个极小值点.故选D. 8.（2024·新课标Ⅰ卷）[多选]设函数f（x）=（x-1）2（x-4），则 （　　） A.x=3是f（x）的极小值点 B.当0<x<1时，f（x）<f（x2） C.当1<x<2时，-4<f（2x-1）<0 D.当-1<x<0时，f（2-x）>f（x） 解析：选ACD　因为函数f（x）的定义域为R，而f'（x）=2（x-1）（x-4）+（x-1）2=3（x-1）·（x-3），易知当x∈（1，3）时，f'（x）<0，当x∈（-∞，1）或x∈（3，+∞）时，f'（x）>0，函数f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，3）内单调递减，在（3，+∞）上单调递增，故x=3是函数f（x）的极小值点，故A正确；当0<x<1时，x-x2=x（1-x）>0，所以1>x>x2>0，而由上可知，函数f（x）在（0，1）内单调递增，所以f（x）>f（x2），故B错误；当1<x<2时，1<2x-1<3，而由上可知，函数f（x）在（1，3）内单调递减，所以f（1）>f（2x-1）>f（3），即-4<f（2x-1）<0，故C正确；当-1<x<0时，f（2-x）-f（x）=（1-x）2·（-2-x）-（x-1）2（x-4）=（x-1）2（2-2x）>0，所以f（2-x）>f（x），故D正确.故选ACD. 9.（5分）已知函数f（x）=ax3+bx2+c，其导数y=f'（x）的图象如图所示，则函数的极小值是　　　　.  解析：依题意f'（x）=3ax2+2bx.由题图可知，当x<0时，f'（x）<0，当0<x<2时，f'（x）>0，故x=0时函数f（x）有极小值，极小值为f（0）=c. 答案：c 10.（5分）设x=1与x=2是函数f（x）=aln x+bx2+x的两个极值点，则常数a=　　　　.  解析：因为f'（x）=+2bx+1， 由题意得解得 答案：- 11.（5分）函数f（x）=ax3-6x的一个极值点为1，则f（x）的极大值是　　　　.  解析：f（x）=ax3-6x定义域为R，f'（x）=3ax2-6，由题意得，f'（1）=3a-6=0，解得a=2，故f'（x）=6x2-6.令f'（x）=0，解得x=±1，令f'（x）>0，得x>1或x<-1，f（x）=2x3-6x单调递增，令f'（x）<0，得-1<x<1，f（x）=2x3-6x单调递减，故f（x）=2x3-6x在x=-1处取得极大值，极大值为f（-1）=-2+6=4. 答案：4 12.（5分）已知f（x）=x3-x2+2x+1，x1，x2是f（x）的两个极值点，且0<x1<1<x2<3，则实数a的取值范围为　　　　.  解析：∵f'（x）=x2-ax+2， ∴x1，x2是f'（x）=0的两个根， 由0<x1<1<x2<3，结合二次函数的性质， 得解得3<a<. 答案： 13.（10分）求下列函数的极值： （1）f（x）=ex-x；（5分） （2）f（x）=x-ln（x+1）.（5分） 解：（1）函数定义域为R，f'（x）=ex-1. 令f'（x）=0，解得x=0. 当x<0时，f'（x）<0，函数f（x）单调递减； 当x>0时，f'（x）>0，函数f（x）单调递增. 所以当x=0时，函数f（x）取得极小值，且极小值为f（0）=1，函数f（x）无极大值. （2）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），f'（x）=1-=. 令f'（x）=0，得x=0. 当-1<x<0时，f'（x）<0，函数f（x）单调递减； 当x>0时，f'（x）>0，函数f（x）单调递增. 所以当x=0时，函数f（x）取得极小值，且极小值为f（0）=0，函数f（x）无极大值. 14.（10分）设函数f（x）=ex（ax2+bx-3），且满足f（）=0，f'（0）=-3. （1）求实数a+b的值；（4分） （2）求函数f（x）的极值.（6分） 解：（1）f（x）=ex（ax2+bx-3），则 f'（x）=ex[ax2+（b+2a）x+b-3]， 即解得 故实数a+b的值为1. （2）由（1）得f（x）=ex（x2-3），函数定义域为R， f'（x）=ex（x2+2x-3），由f'（x）>0，解得x<-3或x>1；由f'（x）<0，解得-3<x<1.则f（x）在（-∞，-3）和（1，+∞）上单调递增，在（-3，1）内单调递减.当x=-3时，f（x）有极大值f（-3）=；当x=1时，f（x）有极小值f（1）=-2e. 15.（10分）已知函数f（x）=（x2+ax+a）ex（a<2，x∈R）. （1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（4分） （2）是否存在实数a，使f（x）的极大值为3?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.（6分） 解：（1）f（x）=（x2+x+1）ex，f'（x）=（2x+1）ex+（x2+x+1）ex=（x2+3x+2）ex. 当f'（x）>0时，解得x<-2或x>-1；当f'（x）<0时，解得-2<x<-1.∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（-1，+∞），单调递减区间为（-2，-1）. （2）令f'（x）=（2x+a）ex+（x2+ax+a）ex=[x2+（2+a）x+2a]ex=（x+a）（x+2）ex=0，解得x=-a或x=-2.∵a<2，∴-a>-2，列表如下. x （-∞，-2） -2 （-2，-a） -a （-a，+∞） f'（x） + 0 - 0 + f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知f（x）极大值=f（-2）=（4-2a+a）e-2=3， 解得a=4-3e2<2.∴存在实数a<2，使f（x）的极大值为3，此时a=4-3e2. 学科网（北京）股份有限公司 $