2.6.1 第1课时 用导数研究函数的单调性 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（北师大版）

2.6.1 第1课时　用导数研究函数的单调性 [课时跟踪检测] 1.函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图，函数y=f（x）的一个单调递减区间是 （　　） A.（x1，x3） B.（x2，x4） C.（x4，x6） D.（x5，x6） 解析：选B　由题图可知，当x∈（x1，x2），（x4，x6）时，f'（x）>0，当x∈（x2，x4）时，f'（x）<0，∴函数f（x）在（x2，x4）内单调递减，在（x1，x2），（x4，x6）内单调递增，∴函数y=f（x）的一个单调递减区间是（x2，x4）. 2.函数f（x）=x-ln x的单调递增区间为 （　　） A.（0，1） B.（0，e） C.（1，+∞） D. 解析：选C　f（x）=x-ln x的定义域为（0，+∞），f'（x）=1-=，由f'（x）>0得x>1，所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞）.故选C. 3.已知函数y=f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示，则该函数的图象可能是 （　　） 解析：选B　由y=f'（x）的图象知，y=f（x）在（-1，1）内单调递增，且在区间（-1，0）上增长速度越来越快，而在区间（0，1）上增长速度越来越慢，故选B. 4.若函数f（x）=2x3-ax2+7的单调递减区间是（0，2），则a= （　　） A.6 B.3 C.2 D.0 解析：选A　由f（x）=2x3-ax2+7，得f'（x）=6x2-2ax，由于f（x）的单调递减区间是（0，2），故x=0和x=2是f'（x）=6x2-2ax=0的两个根，故24-4a=0，故a=6.故选A. 5.[多选]下列函数在定义域上为增函数的是 （　　） A.f（x）=xln x B.f（x）=ln x+x C.f（x）=x-cos x D.f（x）=x2ex 解析：选BC　对于A，函数f（x）=xln x，可得f'（x）=ln x+1（x>0），当x>时，f'（x）>0，f（x）单调递增，当0<x<时，f'（x）<0，f（x）单调递减，所以A不符合题意；对于B，函数f（x）=ln x+x，可得f'（x）=+1（x>0），当x>0时，f'（x）>0，f（x）单调递增，故B符合；对于C，f（x）=x-cos x，则f'（x）=1+sin x≥0，且f'（x）不恒为0，故f（x）单调递增，故C符合；对于D，函数f（x）=x2ex，可得f'（x）=ex（2x+x2），当x>0或x<-2时，f'（x）>0，f（x）单调递增，当-2<x<0时，f'（x）<0，f（x）单调递减，所以D不符合题意.故选BC. 6.已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数y= （　　） A.在区间（-1，2）内单调递减 B.在区间内单调递减 C.在区间（0，2）内单调递减 D.在区间（-1，1）内单调递减 解析：选B　由y=得y'==，由题中图象可知，当x<-时，f'（x）>f（x），所以y'=>0，则函数y=单调递增；当-<x<时，f'（x）<f（x），所以y'=<0，则函数y=单调递减；当<x<3时，f'（x）>f（x），所以y'=>0，则函数y=单调递增；当x>3时，f'（x）<f（x），所以y'=<0，则函数y=单调递减.故A、C、D错误，B正确.故选B. 7.“a<0”是“函数f（x）=-x2-2（a+1）x+3在（-∞，-3]上单调递增”的 （　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选A　二次函数f（x）=-x2-2（a+1）x+3的对称轴为x=-a-1，由函数f（x）=-x2-2（a+1）x+3在（-∞，-3]上单调递增可得-a-1≥-3，解得a≤2，所以a<0能推出a≤2，a≤2推不出a<0，所以“a<0”是“函数f（x）=-x2-2（a+1）x+3在（-∞，-3]上单调递增”的充分不必要条件.故选A. 8.[多选]若函数exf（x）（e=2.718 28…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是 （　　） A.f（x）=2-x B.f（x）=x2+2 C.f（x）=3-x D.f（x）=cos x 解析：选AB　设g（x）=exf（x），对于A，g（x）=ex·2-x=在定义域R上是增函数，故A正确；对于B，g（x）=（x2+2）ex，g'（x）=（x2+2x+2）ex=[（x+1）2+1]ex>0，所以g（x）在定义域R上是增函数，故B正确；对于C，g（x）=ex·3-x=在定义域R上是减函数，故C不正确；对于D，g（x）=excos x，则g'（x）=excos，g'（x）>0在定义域R上不恒成立，故D不正确. 9.[多选]设函数f（x）=，则下列说法正确的是 （　　） A.f（x）的定义域是（0，+∞） B.当x∈（0，1）时，f（x）的图象位于x轴下方 C.f（x）存在单调递增区间 D.f（x）有两个单调区间 解析：选BC　由得x>0且x≠1，所以函数f（x）=的定义域为（0，1）∪（1，+∞），所以A不正确.当x∈（0，1）时，ln x<0，ex>0，所以f（x）<0，所以当x∈（0，1）时，f（x）的图象位于x轴下方，所以B正确.f'（x）=，令g（x）=ln x-，则g'（x）=+>0，所以函数g（x）单调递增，g（1）=-1<0，g（e）=1->0，故存在x0∈（1，e），使得g（x0）=0，则方程f'（x）=0只有一个根x0，当x∈（0，1）和x∈（1，x0）时，f'（x）<0，函数f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，函数f（x）单调递增，所以函数f（x）有三个单调区间，所以C正确，D不正确.故选BC. 10.（5分）函数f（x）=2x+2sin x的单调递增区间是　 　　.  解析：∵f'（x）=2+2cos x，cos x∈[-1，1]， ∴f'（x）≥0在R上恒成立，且不恒为0， ∴函数的单调递增区间为（-∞，+∞）. 答案：（-∞，+∞） 11.（5分）已知m是实数，函数f（x）=x2（x-m），若f'（-1）=-1，则函数f（x）的单调递减区间是　　　　.  解析：f'（x）=2x（x-m）+x2，因为f'（-1）=-1， 所以-2（-1-m）+1=-1，解得m=-2.令f'（x）=2x（x+2）+x2<0， 解得-<x<0，得函数f（x）的单调递减区间是. 答案： 12.（5分）已知f（x）满足f（4）=f（-2）=1，f'（x）为其导函数，且导函数y=f'（x）的图象如图所示，则f（x）<1的解集是　　　.  解析：由f（x）的导函数f'（x）的图象，知f（x）在（-∞，0]上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，当x≤0时，由f（x）<1=f（-2），得-2<x≤0；当x>0时，由f（x）<1=f（4），得0<x<4.综上所述，f（x）<1的解集为（-2，4）. 答案：（-2，4） 13.（10分）已知导函数f'（x）的下列信息：当x<0或x>7时，f'（x）>0；当0<x<7时，f'（x）<0；当x=0或x=7时，f'（x）=0，试画出函数f（x）的大致图象. 解：当x<0或x>7时，f'（x）>0，可知函数f（x）在区间（-∞，0）和（7，+∞）上都是单调递增的；当0<x<7时，f'（x）<0，可知函数f（x）在区间（0，7）上单调递减；当x=0或x=7时，f'（x）=0，这两个点比较特殊，我们称它们为“临界点”.故函数f（x）的大致图象如图所示. 14.（10分）已知函数f（x）=x3-ax2，a∈R，且f'（-1）=5. （1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（4分） （2）求函数f（x）的单调区间.（6分） 解：（1）由题设f'（x）=3x2-2ax，则f'（-1）=3+2a=5⇒a=1，所以f（x）=x3-x2且f'（x）=3x2-2x，则f（1）=0，f'（1）=1，所以在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，即x-y-1=0. （2）由（1）知f'（x）=x（3x-2）， 当f'（x）>0时，x<0或x>，当f'（x）<0时，0<x<.所以f（x）的单调递增区间为（-∞，0），，单调递减区间为. 15.（10分）求函数f（x）=xsin x+cos x+x2+1的单调区间. 解：因为f（x）=xsin x+cos x+x2+1的定义域为R，所以f'（x）=sin x+xcos x-sin x+2x=x（2+cos x）.因为-1≤cos x≤1，所以1≤2+cos x≤3，所以当x<0时，f'（x）<0，当x>0时f'（x）>0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）. 16.（15分）已知函数f（x）=ex-cos x，g（x）=xf'（x）-f（x）. （1）证明：g（x）在（0，+∞）上单调递增；（6分） （2）判断3f与4f的大小关系，并加以证明.（9分） 解：（1）证明：f'（x）=ex+sin x，所以g（x）=x（ex+sin x）-（ex-cos x）=（x-1）ex+xsin x+cos x，所以g'（x）=x（ex+cos x）.当x>0时，因为ex+cos x>e0+cos x=1+cos x≥0，所以g'（x）>0.所以g（x）在（0，+∞）上单调递增. （2）3f>4f.证明如下： 设h（x）=，x∈（0，+∞），则h'（x）==.由（1）知g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）>g（0）=0，所以h'（x）>0，即h（x）在（0，+∞）上单调递增.所以h>h，即3f>4f. 学科网（北京）股份有限公司 $