第2章 6.1 第1课时 函数的单调性(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

§6　用导数研究函数的性质 6.1　函数的单调性 第一课时　函数的单调性 1.A　函数y＝f（x）的单调性自左至右依次为：增→减→增→减，因此对应的y＝f'（x）的函数值的正负应满足：正→负→正→负.故选A. 2.D　由题中f'（x）的图象可知当x＜0时，f'（x）＞0，且f'（x）的值随x的增大逐渐减小，此时f（x）的图象是上升的，且上升得越来越“平缓”，当x＞0时，f'（x）＞0，且f'（x）的值随x的增大逐渐增大，此时f（x）的图象是上升的，且上升得越来越“陡峭”. 3.D　观察图象，可得导函数f'（x）的图象过点（0，0），，原函数f（x）的图象过点（0，0），（2，0），观察图象可得满足f'（x）＜f（x）的x的取值范围为（0，1）∪（4，＋∞），故选D. 4.A　f（x）＝ln x－4x＋1的定义域是{x｜x＞0}，f'（x）＝－4＝，当f'（x）＞0时，解得0＜x＜. 5.AB　由y＝x3＋x－1，得y'＝3x2＋1≥1，所以函数是增函数，A满足题意；由y＝sin x－x，得y'＝cos x－1≤0，所以函数是减函数，B满足题意；由y＝xex＋1，得y'＝ex（x＋1），当x≥－1时，y'＝ex（x＋1）≥0，函数单调递增，当x＜－1时，y'＝ex（x＋1）＜0，函数单调递减，故函数在（－∞，＋∞）上不是单调函数，C不满足题意；由y＝ex－x，得y'＝ex－1，当x≥0时，y'＝ex－1≥0，函数单调递增，当x＜0时，y'＝ex－1＜0，函数单调递减，故函数在（－∞，＋∞）上不是单调函数，D不满足题意. 6.ABD　由题图可得，当x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）时，f'（x）＞0，当x∈（c，e）时，f'（x）＜0，故f（x）在（－∞，c），（e，＋∞）上单调递增，在（c，e）上单调递减，所以f（b）＞f（a），f（d）＞f（e），f（c）＞f（e）. 7.（2，＋∞）　（－∞，2）　解析：y'＝2x－4，令y'＞0，得x＞2；令y'＜0，得x＜2，所以y＝x2－4x＋a的单调递增区间为（2，＋∞），单调递减区间为（－∞，2）. 8.，（2，＋∞）　解析：f（x）的定义域是（0，＋∞），f'（x）＝2x－5＋2×＝＝，由f'（x）＞0得x＞2或0＜x＜，故f（x）的单调递增区间是，（2，＋∞）. 9.{x｜x＜－或0＜x＜} 解析：由f（x）的图象知，f（x）在（－∞，－）和（，＋∞）上单调递增，在（－，）上单调递减，所以当x∈（－∞，－）∪（，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（－，）时，f'（x）＜0.所以x·f'（x）＜0的解集为{x｜x＜－或0＜x＜}. 10.解：函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝2（ex－1＋xex－x）＝2（ex－1）（x＋1）. 当x∈（－∞，－1）时，f'（x）＞0； 当x∈（－1，0）时，f'（x）＜0； 当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0. 故f（x）在（－∞，－1）和（0，＋∞）上单调递增，在（－1，0）上单调递减. 11.A　因为f（x）＝xsin x，所以f（－x）＝（－x）·sin（－x）＝xsin x＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，所以f＝f.又当x∈（0，）时，f'（x）＝sin x＋xcos x＞0，所以函数f（x）在上单调递增，所以f＜f（1）＜f，即f＞f（1）＞f，故选A. 12.AB　对于A，y＝ex的定义域为R，y'＝ex，则y'在R上是增函数，∴y＝ex是“C函数”；对于B，y＝ln x的定义域为（0，＋∞），y'＝，则y'在（0，＋∞）上单调递减，∴y＝ln x是“C函数”；对于C，y＝x3的定义域为R，y'＝3x2，则y'在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，∴y＝x3不是“C函数”；对于D，y＝tan x的定义域为（ kπ－，kπ＋）（k∈Z），y'＝，令f（x）＝，则f'（x）＝（ ）'＝，当x∈（ 0，）时，f'（x）＞0，∴y'单调递增；当x∈（ －，0）时，f'（x）＜0，∴y'单调递减，∴y＝tan x不是“C函数”.故选A、B. 13.（0，e）　（e，＋∞）　解析：∵f（x）＝，∴f'（x）＝（x＞0）.当0＜x＜e时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，e）上单调递增；当x＞e时，f'（x）＜0，函数f（x）在（e，＋∞）上单调递减.∴f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，＋∞）. 14.解：（1）对f（x）＝＋－ln x－求导，得f'（x）＝－－（x＞0），由f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y＝x，得f'（1）＝－－a＝－2，解得a＝. （2）由（1）知f（x）＝＋－ln x－，则f'（x）＝，令f'（x）＝0，解得x＝－1或x＝5.由于x＝－1不在f（x）的定义域（0，＋∞）内，故舍去.当x∈（0，5）时，f'（x）＜0，故f（x）的单调递减区间为（0，5）；当x∈（5，＋∞）时，f'（x）＞0，故f（x）的单调递增区间为（5，＋∞）. 15.D　令F（x）＝（g（x）恒不为0），则F（x）为奇函数，F'（x）＝，∵当x＜0时，F'（x）＞0，∴F（x）在（－∞，0）上单调递增.又F（3）＝＝0，∴F（－3）＝0.∴当x＜－3时，F（x）＜0；当－3＜x＜0时，F（x）＞0.又F（x）为奇函数，∴当0＜x＜3时，F（x）＜0；当x＞3时，F（x）＞0.而不等式f（x）g（x）＜0和＜0为同解不等式，∴不等式f（x）g（x）＜0的解集为（－∞，－3）∪（0，3）. 16.解：（1）因为f（x）的图象在点M（－1，f（－1））处的切线方程为x＋2y＋5＝0.所以f'（－1）＝－，且－1＋2f（－1）＋5＝0， 即f（－1）＝－2，即＝－2， ① 又f'（x）＝， 所以＝－. ② 由①②得a＝2，b＝3（因为b＋1≠0，所以b＝－1舍去）. 所以所求函数的解析式是f（x）＝. （2）由（1）知，f'（x）＝. 令－2x2＋12x＋6＝0，解得x1＝3－2，x2＝3＋2， 则当x＜3－2或x＞3＋2时，f'（x）＜0； 当3－2＜x＜3＋2时，f'（x）＞0. 所以f（x）＝的单调递增区间是（3－2，3＋2），单调递减区间是（－∞，3－2）和（3＋2，＋∞）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一课时　函数的单调性 1.如果函数y＝f（x）的图象如图所示，那么导函数y＝f'（x）的图象可能是（　　） 2.（2025·重庆南开中学期末）已知函数f（x）的导函数为f'（x），f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（　　） 3.已知函数f（x）与其导函数f'（x）的图象如图所示，则满足f'（x）＜f（x）的x的取值范围为（　　） A.（0，4） B.（－∞，0）∪（1，4） C. D.（0，1）∪（4，＋∞） 4.函数f（x）＝ln x－4x＋1的单调递增区间为（　　） A. B.（0，4） C. D. 5.〔多选〕下列函数在（－∞，＋∞）上是单调函数的是（　　） A.y＝x3＋x－1 B.y＝sin x－x C.y＝xex＋1 D.y＝ex－x 6.〔多选〕已知定义在R上的函数f（x），其导函数y＝f'（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（　　） A.f（b）＞f（a） B.f（d）＞f（e） C.f（a）＞f（d） D.f（c）＞f（e） 7.函数y＝x2－4x＋a的单调递增区间为　　　　，单调递减区间为　　　　. 8.函数f（x）＝x2－5x＋2ln（2x）的单调递增区间是　　　　. 9.如图所示的是函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，f'（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x·f'（x）＜0的解集为　　　　. 10.判断函数f（x）＝2x（ex－1）－x2的单调性. 11.已知函数f（x）＝xsin x，x∈R，则f，f（1），f的大小关系为（　　） A.f＞f（1）＞f B.f（1）＞f＞f C.f＞f（1）＞f D.f＞f＞f（1） 12.〔多选〕设函数f（x）的定义域为D，f（x）的导函数为f'（x），若f'（x）在D上单调，则称函数f（x）为“C函数”.下列函数中，是“C函数”的有（　　） A.y＝ex B.y＝ln x C.y＝x3 D.y＝tan x 13.已知函数f（x）＝，则函数f（x）的单调递增区间是　　　　；单调递减区间是　　　　. 14.已知函数f（x）＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y＝x. （1）求a的值； （2）求函数f（x）的单调区间. 15.设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g（x）恒不为0，当x＜0时，f'（x）·g（x）－f（x）g'（x）＞0，且f（3）＝0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　） A.（－3，0）∪（3，＋∞） B.（－3，0）∪（0，3） C.（－∞，－3）∪（3，＋∞） D.（－∞，－3）∪（0，3） 16.已知函数f（x）＝的图象在点M（－1，f（－1））处的切线方程为x＋2y＋5＝0. （1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）的单调区间. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $