课时作业15 导数的几何意义（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十五)　导数的几何意义 　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．曲线y＝x2－2在点处的切线的倾斜角为(　　) A．1 B． C． D．－ 解析：选B　＝ ＝ ＝1＋Δx， 当Δx趋于0时，趋于1， 即切线的斜率为1，故切线的倾斜角为. 2．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　) A．－4　　　　　　B．3 C．－2　　　　　　D．1 解析：选D　直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0. 又由题意可知f(2)＝2，f′(2)＝－1， ∴f(2)＋f′(2)＝2－1＝1. 3．(多选)已知函数f(x)满足f(1)＝3，f′(1)＝－3，则下列关于f(x)的图象描述正确的是(　　) A．f(x)的图象在x＝1处的切线斜率大于0 B．f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0 C．f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方 D．f(x)的图象在x＝1处位于x轴下方 解析：选BC　f′(1)＝－3＜0，则f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0；又f(1)＝3＞0，所以f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方． 4．已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选D　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－x2－x＝x·Δx＋(Δx)2＋Δx， ∴lim ＝lim ＝x＋1， 由x＋1＝3，得x＝2，即该切点的横坐标为2. 5．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________． 解析：＝＝aΔx＋2a， 当Δx趋于0时，趋于2a， 所以点(1，3)处切线的斜率为2a. ∴2a＝2，即a＝1，又3＝a×12＋b，∴b＝2， 即＝. 答案： 6．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为________． 解析：设点M(x0，y0)， ∵＝ ＝1＋2x0＋Δx， ∴当Δx趋于0时，趋于1＋2x0， 即M点处切线的斜率为1＋2x0， 令2x0＋1＝3， ∴x0＝1，则y0＝0.故M(1，0). 答案： (1，0) 7．已知曲线C：y＝x3.求： (1)曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ 解：(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， ∴切点为P(1，1). ∵＝ ＝ ＝3＋3Δx＋ (Δx)2， ∴当Δx趋于0时，趋于3， 即f′(1)＝3， ∴点P处的切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0. (2)由 可得(x－1)(x2＋x－2)＝0， 解得x1＝1，x2＝－2. 从而求得公共点为P(1，1)或P(－2，－8). 故第(1)小题中的切线与曲线C还有其他的公共点． 8．试求过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程． 解：y′＝ ＝ ＝2x. 设所求切线的切点为A(x0，y0). ∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x， 又∵A是切点， ∴过点A的切线的斜率y′|x＝x0＝2x0， ∵所求切线过P(3，5)和A(x0，y0)两点， ∴其斜率为＝. ∴2x0＝，解得x0＝1或x0＝5. 从而切点A的坐标为(1，1)或(5，25). 当切点为(1，1)时，切线的斜率为 k1＝2x0＝2； 当切点为(5，25)时，切线的斜率为 k2＝2x0＝10. ∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25. [能力提升练] 9．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 解析：选A　因为点(0，b)在直线x－y＋1＝0上， 所以b＝1. 又y′＝ lim ＝2x＋a，所以过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1. 10．(多选)若曲线y＝在点P(1，4)处的切线与直线l平行，且距离为，则直线l的方程为(　　) A．4x－y＋9＝0 B．4x＋y＋9＝0 C．4x－y＋25＝0 D．4x＋y－25＝0 解析：选BD　∵＝＝ ∴当Δx趋于0时，趋于－4， ∴切线的斜率k＝－4， ∴切线的方程为y－4＝－4(x－1)， 即4x＋y－8＝0，设直线l：4x＋y＋c＝0，由题意，得＝，∴c＝9或c＝－25，即直线l的方程为4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0. 11．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a的值为________． 解析：设切点为P(x0，y0)， 则f′(x0)＝ ＝ ＝ (2ax0＋aΔx)＝2ax0，即2ax0＝1. 又y0＝ax，x0－y0－1＝0， 联立以上三式，得 解得a＝. 答案： 12．已如直线l：y＝4x＋a(a<0)和曲线C：y＝f(x) ＝x3－2x2＋3相切，则a的值为______，切点坐标为______． 解析： 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)， ∵＝＝ ＝3x＋3x0Δx－4x0＋(Δx)2－2Δx， ∴当Δx趋于0时，趋于3x－4x0， 即k＝f′(x0)＝3x－4x0， 由题意可知k＝4， 即3x－4x0＝4， 解得x0＝－或x0＝2， ∴切点的坐标为或(2，3). 当切点为时， 有＝4×＋a， 解得a＝(舍去). 当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a， 解得a＝－5. 答案：－5　(2，3) 13．已知曲线y＝x2 ＋1，问：是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：假设存在实数a满足条件． 设切点坐标为(x0，x＋1)， 由＝＝2x0＋Δx， ∴当Δx趋于0时，趋于2x0， 则切线的斜率k＝f′(x0)＝2x0. 由点斜式，得切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0). 又切线过点(1，a)，y0＝x＋1， ∴a－(x＋1)＝2x0 (1－x0)，即x－2x0＋a－1＝0. ∵切线有两条， ∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0， 解得a<2. 故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，实数a的取值范围是(－∞，2). [素养拓展练] 14．已知函数f(x) ＝x3. (1)求函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程； (2)若函数f(x)的图象为曲线C，过点P作曲线C的切线，求切线的方程． 解：(1)由导函数的概念，得 ＝＝ ＝ ＝ ＝3x(x＋Δx)＋(Δx)2， 当Δx趋于0时，趋于3x2， ∴f′(1)＝3， 所以函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2. (2)设切点为Q(x0，x)，则由(1)得切线的斜率为k＝f′(x0)＝3x， 切线方程为y－x＝3x (x－x0)，即y＝3xx－2x. 因为切线过点P， 所以2x－2x＝0，解得x0＝0或x0＝1， 从而切线方程为y＝0或y＝3x－2. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$