2.1 平均变化率与瞬时变化率-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦导数及其应用中的平均变化率与瞬时变化率，系统梳理从平均变化率（函数值改变量与自变量改变量之比）到瞬时变化率（Δx趋近于0时平均变化率的极限）的过渡过程，构建“概念解析—关键提示—例题应用”的学习支架。 采用“逐点理清式”教学设计，通过位移、温度等实例分析，引导学生用数学眼光观察变化规律，在Δx逼近0的推理中培养数学思维，以公式表达和符号运算发展数学语言。课中助力教师分层授课，课后例题解析帮助学生巩固概念、查漏补缺。

　导数及其应用 §1　平均变化率与瞬时变化率 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会平均变化率与瞬时变化率的物理意义. 2.领会从平均变化率到瞬时变化率的逼近过程，直观感受极限思想. 逐点清（一）　平均变化率 [多维理解] 　　对一般的函数y=f（x）来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f（x1）变为f（x2），它在区间[x1，x2]的平均变化率=. 　　通常我们把自变量的变化x2-x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f（x2）-f（x1）称作函数值y的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即=. |微|点|助|解| 　　函数的平均变化率可正可负，反映函数y=f（x）在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快. [微点练明] 1.某物体运动t s后，其位移（单位：m）为y=t2+2t.在2≤t≤4这段时间里，该物体的平均速度为 （　　） A.5 m/s B.6 m/s C.8 m/s D.10 m/s 解析：选A　当t=2时，位移为×22+2×2=6，当t=4时，位移为×42+2×4=16，所以在2≤t≤4这段时间里，该物体的平均速度为=5 m/s. 2.函数f（x）=x2-cos x在[0，π]上的平均变化率为 （　　） A.1 B.2 C.π+ D.π 解析：选C　平均变化率为===π+. 故选C. 3.已知函数y=f（x）=2x2+1. （1）求函数f（x）在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率； （2）求函数f（x）在区间[2，2.01]上的平均变化率. 解：（1）∵f（x0+Δx）-f（x0） =2（x0+Δx）2+1-2-1 =2Δx（2x0+Δx）， ∴函数f（x）在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率为=4x0+2Δx. （2）由（1）可知f（x）在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率为4x0+2Δx， 当x0=2，Δx=0.01时， 4x0+2Δx=4×2+2×0.01=8.02， 即函数f（x）在区间[2，2.01]上的平均变化率为8.02. 逐点清（二）　瞬时变化率 [多维理解] 　　对于一般的函数y=f（x），在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx=x1-x0，Δy=f（x1）-f（x0），则该函数的平均变化率为==.如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f（x）在点x0的瞬时变化率. |微|点|助|解| （1）“Δx→0”读作“Δx无限趋近于0”，是指时间间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，即Δx要多小就有多小，其含义是可以小于任何预先给定的正数，但Δx始终不能为零. （2）当Δx→0，比值趋近于一个确定的常数时，此常数才称为物体在x=x0时的瞬时速度. （3）“lim”意为极限，=l表示当Δx→0时，以常数l为极限. [微点练明] 1.一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s=t2+2t，设其在t∈[2，3]内的平均速度为v1，在t=3时的瞬时速度为v2，则= （　　） A. B. C. D. 解析：选B　根据平均速度定义可知，在t∈[2，3]内的平均速度为v1===7. 在t=3时的瞬时速度为 v2= =（8+Δt）=8.所以=. 2.某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时原油温度（单位：℃）为f（x）=x3-x2+8（2≤x≤4），那么原油温度的瞬时变化率的最小值为　　　　.  解析：由题意可知温度的瞬时变化率为 f'（x）= = =x2-2x=（x-1）2-1（2≤x≤4），因此当x=2时，原油温度的瞬时变化率取到最小值为f'（2）=0. 答案：0 3.已知函数f（x）=3x2+5，求： （1）从0.1到0.2的平均变化率； （2）在0.2处的瞬时变化率. 解：（1）因为f（x）=3x2+5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 =0.9. （2）f（x0+Δx）-f（x0）=3（x0+Δx）2+5-（3+5） =3+6x0Δx+3（Δx）2+5-3-5=6x0Δx+3（Δx）2，所以函数f（x）在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率为=6x0+3Δx.所以在0.2处的瞬时变化率为（6×0.2+3Δx）=1.2. 学科网（北京）股份有限公司 $