2.4 导数的四则运算法则-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦导数的四则运算法则这一核心知识点，系统梳理和、差、积、商的求导法则及其符号表示，通过公式推广与结构特征解析搭建学习支架，前承基本函数导数知识，后接复杂函数求导及几何意义、实际应用，形成完整知识脉络。 该资料采用梯度进阶式教学设计，以“微点助解”深化法则理解，“基础落实训练”巩固知识，“题型应用”（如切线方程求解、净化费用瞬时变化率计算）培养数学思维与应用意识。课中助力教师系统授课，课后通过思维建模与针对训练帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决实际问题的能力。

§4　导数的四则运算法则 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 理解和、差、积、商的求导法则，能利用导数的四则运算法则求简单函数的导数.进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用. 　　若两个函数f（x），g（x）的导数分别是f'（x），g'（x），则 （1）和（或差）的导数 符号表示：[f（x）±g（x）]'=f'（x）±g'（x）. （2）积的导数 符号表示：[f（x）g（x）]'=f'（x）g（x）+f（x）g'（x）. 特别地，[kf（x）]'=kf'（x），k∈R. （3）商的导数 符号表示：'=，g（x）≠0. |微|点|助|解| 1.公式推广 函数和、差的导数可以推广到n个函数.设f1（x），f2（x），…，fn（x）在x处可导，则[f1（x）±f2（x）±…±fn（x）]'=f'1（x）±f'2（x）±…±f'n（x）. 2.结构特征 积的导数公式，中间用“加号”，前导后不导+前不导后导；商的导数公式，分母平方，分子用“减号”. 基础落实训练 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）'=ex. （　　） （2）函数f（x）=xex的导数f'（x）=ex（x+1）. （　　） （3）当g（x）≠0时，'=. （　　） 答案：（1）×　（2）√　（3）√ 2.设y=-2exsin x，则y'等于 （　　） A.-2excos x B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex（sin x+cos x） 解析：选D　∵y=-2exsin x，∴y'=-2exsin x-2excos x=-2ex（sin x+cos x）. 3.函数y=的导数是 （　　） A.- B.-sin x C.- D.- 解析：选C　y'='===-. 4.已知f（x）=ax3+3x2+2，若f'（-1）=4，则实数a=　　　　.  解析：∵f'（x）=3ax2+6x，∴f'（-1）=3a-6=4，∴a=. 答案： 题型（一）　利用导数四则运算法则求导数 [例1]　求下列函数的导数： （1）y=+；（2）y=x3·10x；（3）y=cos x·ln x. 解：（1）y=+=2x-2+3x-3，y'=-4x-3-9x-4. （2）y'=（x3）'·10x+x3·（10x）'=3x2·10x+x3·10xln 10. （3）y'=（cos x）'·ln x+cos x·（ln x）'=-sin xln x+. 　　|思|维|建|模| 求函数导数的策略 （1）先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数运算法则求导数. （2）对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算. 　　[针对训练] 1.若函数f（x）=在x=a处的导数值与函数值互为相反数，则a的值为　　　　.  解析： ∵f（x）=，∴f（a）=，又∵f'（x）='=，∴f'（a）=.由题意知f（a）+f'（a）=0，∴+=0， ∴2a-1=0，∴a=. 答案： 2.求下列函数的导数： （1）y=x5+x3；（2）y=3x+lg x； （3）y=3x2+xcos x；（4）y=；（5）y=xtan x. 解：（1）y'='='+'=x4+4x2. （2）y'=（3x+lg x）'=（3x）'+（lg x）' =3xln 3+. （3）y'=（3x2+xcos x）'=（3x2）'+（xcos x）'=6x+cos x-xsin x. （4）y'='===. （5）因为y=xtan x=，所以y'=' = ==. 题型（二）　导数四则运算法则在切线问题中的应用 [例2]　已知f（x）=ln x+x2. （1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程； （2）设P为曲线f（x）上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α的取值范围. 解：（1）∵f（x）=ln x+x2，∴f'（x）=+x，当x=1时，f'（1）=，f（1）=， ∴曲线f（x）在x=1处的切线方程为y-=（x-1），即10x-8y-9=0. （2）由题意x>0，f（x）=ln x+x2， ∴f'（x）=+x≥2=1，当且仅当=x，即x=2时，等号成立， ∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1， ∴tan α≥1，又0≤α<π， ∴≤α<，即倾斜角α的取值范围为. 　　|思|维|建|模| 解决有关切线问题的关注点 （1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系. （2）准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确. （3）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点. 　　[针对训练] 3.（2024·全国甲卷）设函数f（x）=，则曲线y=f（x）在（0，1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 （　　） A. B. C. D. 解析：选A　f'（x）=， 则f'（0）==3， 即该切线方程为y-1=3x，即y=3x+1.令x=0，则y=1，令y=0，则x=-， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=×1×=. 4.点P是曲线f（x）=2x2-3ln x上任意一点，则点P到直线y=x-4的最短距离为　　　　.  解析：f'（x）=4x-（x>0），令f'（x）=4x-=1，解得x=1，又f（1）=2，可得与直线y=x-4平行且与曲线y=f（x）相切的直线的切点为（1，2），所以点P到直线y=x-4的最短距离为=. 答案： 题型（三）　导数四则运算法则在实际问题中的应用 [例3]　日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加，已知将1 t水净化到纯净度为x%所需费用（单位：元）为c（x）=（80<x<100）. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90%；（2）98%. 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数c'（x）=' = = =. （1）因为c'（90）==52.84，所以净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/t. （2）因为c'（98）==1 321， 所以净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1 321元/t. 　　|思|维|建|模| 　　明确自变量及相应函数值的实际意义，是解释导数实际意义的前提，审题时要先在这方面下功夫. 　　[针对训练] 5.已知某产品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为p=25-q. （1）求q从1变到3时，利润L关于产量q的平均变化率； （2）求L'（2）并解释它的实际意义. 解：（1）收入R=qp=q=25q-q2， 利润L=R-C=-（100+4q）=-q2+21q-100（0<q<200）. ===20.5. 所以q从1变到3时，利润L关于产量q的平均变化率为20.5. （2）L'=-q+21，L'（2）=21-=20.5. L'（2）表示产量为2时，产量每增加一个单位，利润增加20.5元. 学科网（北京）股份有限公司 $