2.2.1-2.2.2 导数的概念 导数的几何意义-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦导数的概念及其几何意义核心知识点，从已学的平均变化率入手，通过“逼近”思想抽象出瞬时变化率即导数的概念，再结合几何直观阐释导数的几何意义（切线斜率），构建从代数抽象到几何直观的知识支架。 资料以情境引入（如原油温度变化）激发兴趣，通过定义推导培养数学思维，例题与变式训练结合实际（如切线方程求解）提升数学语言表达能力，分层练习（预习自测、达标训练）助力课中教学与课后查漏补缺，有效落实数学抽象、直观想象等核心素养。

§2　导数的概念及其几何意义 2．1　导数的概念 2．2　导数的几何意义 课程标准 素养解读 1.理解导数的概念及导数的几何意义． 2．会求导数及理解导数的实际意义． 3．掌握利用导数求切线方程的方法. 1.通过对导数概念学习，达成数学抽象的核心素养． 2．通过对导数几何意义的理解，提升直观想象的核心素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [情境引入] 前面我们研究了两类变化率问题：平均变化率和瞬时变化率．在解决问题时，采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法．下面我们用上述思想方法研究更一般的问题． [知识梳理] [知识点一]　函数f(x)在x＝x0处的导数　 1．函数f(x)在x＝x0处的导数 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0 变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝ ＝. 当x1趋于 x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数．通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝ ＝ . [知识点二]　导数的几何意义　 1．割线的定义 设函数y＝f(x)的图像是一条光滑的曲线，且函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，如图，它是经过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线． 2．切线的定义 当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线，或称直线l和曲线y＝f(x)在点A处相切． 3．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 　曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？ [提示]　曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　) (2)函数在x0处的导数f′(x0)与x0和Δx都有关．(　　) (3)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (4)函数f(x)＝0没有导函数．(　　) (5)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　) (6)若f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线不存在．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 2．已知y＝f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)＞f′(xB)　　 B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 解析：B　[由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图像可知f′(xA)＜f′(xB)．] 3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则(　　) A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 解析：A　[由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，所以f′(x0)>0.] 4．由导数的定义可求得，函数f(x)＝x2－2x在x＝1处的导数 f ′(1)＝　________　. 解析：∵ ＝ ＝ 当Δx趋于0时， 趋于0，∴f ′(1)＝x＝0. 答案：0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求函数在一点处的导数 [例1]　(1)若li ＝k， 则li 等于(　　) A．2k　　　　　　 B．k C. k D．以上都不是 [解析]　 li ＝2 li ＝2 li ＝2k. [答案]　A (2)函数y＝ 在x＝1处的导数是　________　. [解析]　∵Δy＝ －1，∴ ＝ ＝ ， 当Δx趋于0时，li ＝ ， ∴函数y＝ 在x＝1处的导数为 . [答案]　 (3)求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数． [解]　∵f(x)＝2x2＋4x， ∴Δy＝f(3＋Δx)－f(3) ＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx. ∴ ＝ ＝2Δx＋16. 当Δx趋于0时，li ＝16，∴f′ (3)＝16. 利用导数定义求导数的三步曲 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) (2)求平均变化率 ＝ (3)取极限，得导数f′(x0)＝li . 简记为：一差，二比，三趋近. [变式训练] 1．已知f′(1)＝－2，则 ＝　________　. 解析：∵f′(1)＝－2，∴ ＝ ＝－2li ＝－2f′(1)＝－2×(－2)＝4. 答案：4 2．求函数f(x)＝在x＝1处的导数． 解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1＝＝， ∴＝－. 当Δx无限趋近于0时，1＋Δx无限趋近于1， ∴无限趋近于－， ∴f′(1)＝－. 导数的实际意义 [例2]　将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． [解]　在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和f′(6)．根据导数的定义，＝＝ ＝＝Δx－3， 当Δx趋于0时，趋于－3.∴f′(2)＝－3. 同理可得f′(6)＝5. 所以在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5，它说明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速度下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速度上升，f′(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况． 要弄清在实际问题中导数的意义，一定要正确计算Δy和Δx，并知道它们的实际意义，再看，当Δx→0时，趋于定值的实际意义． [变式训练] 3．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min) (1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它表示什么意义？ (3)求T′(5)，并说明它的实际意义． 解：(1)在t＝0 min和t＝10 min时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝＋15＝39，T(10)＝＋15＝23，故从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了39－23＝16 ℃. (2)平均变化率为＝－＝－1.6， 它表示从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. (3)T′(5)＝ ＝ ＝－1.2， 它表示t＝5 min时蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min. 利用导数的几何意义求曲线的切线方程 [例3]　已知曲线f(x)＝x2， (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点P(3,5)的切线方程． [解]　(1)设切点为(x0，y0)，∵＝＝ ＝ 2x0＋Δx， 当Δx→0时，趋于2x0，∴f′(x0)＝2x0. ∴f′(1)＝2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. (2)点P(3,5)不在曲线f(x)＝x2上，设切点为(x0，y0)， 由(1)知，f′(x0)＝2x0， ∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)． 由点P(3,5)在所求直线上，得5－y0＝2x0(3－x0)，① 再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上，得y0＝x，② 联立①和②得x－6x0＋5＝0，x0＝1或x0＝5. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，此时切线方程为y－25＝10(x－5)，即10x－y－25＝0. 综上，过点P(3,5)的切线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． [变式训练] 4．求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程． 解：设切点为(x0，x＋x0＋1)，∵＝ ＝Δx＋2x0＋1. 当Δx→0时，趋于2x0＋1，则切线的斜率为2x0＋1. 又k＝＝， ∴2x0＋1＝. 解得x0＝0或x0＝－2. 当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0. 当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0. 故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0. [当堂达标] 1．若f(x)＝x3，f ′(x0)＝3，则x0的值为(　　) A．3 B．±1 C．± D．3 解析：B　[∵＝＝＝ (Δx)2＋3x0Δx＋3x， 当Δx趋于0时，趋于3x，∴ f ′(x0)＝3x＝3，∴x0＝±1.] 2．若曲线y＝f(x)上在点(1,3)处的切线过点(0,2)，则有(　　) A．f′(1)>0 B．f′(1)＝0 C．f′(1)<0 D．f′(1)不存在 解析：A　[由题意知切线过点(1,3)，(0,2)，所以k＝f ′(1)＝ ＝1>0.] 3．(多选)若f(x)＝x3＋x－1，f′(x0)＝4，则x0的值为(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 解析：AB　[∵＝ ＝＝ 3x＋1＋3x0·Δx＋(Δx)2 ，∴当Δx趋于0时，趋于3x＋1，f′(x0)＝3x＋1＝4.解得x0＝±1.] 4．设函数f(x)在x＝1处存在导数，其值为2，则 ＝　________　. 解析：由极限的运算法则结合导函数的定义可得 ＝ ＝×f′(1)＝. 答案： 5．一杯80 ℃的热红茶置于20 ℃的房间里，它的温度会逐渐下降．温度T(单位：℃)与时间t(单位：min)间的关系，由函数T＝f(t)给出．请问： (1)f′(t)的符号是什么？为什么？ (2)f′(3)＝－4的实际意义是什么？ 解析：(1)f′(t)是负数．因为f′(t)表示温度随时间的变化率，而温度是逐渐下降的，所以f′(t)为负数． (2)f′(3)＝－4表明在3 min附近时，温度约以4 ℃/min的速度下降． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝1.05t，并求得p′(10)＝0.08(元/年)，则p′(10)的实际意义是(　　) A．第10个年头物价以0.08元/年的速度上涨． B．第10个年头物价以0.08元/年的速度下降． C．第10个年头物价以0.05元/年的速度上涨． D．第10个年头物价平均通货膨胀率为5%. 解析：A　[因为p′(10)＝0.08(元/年)，由导数的实际意义可知在第10个年头，物价以0.08元/年的速度上涨．] 2．若 ＝1(m为常数)，则f′(x0)等于(　　) A．－m　　　　　　　 B．1 C．m D. 解析：D　[由题意，根据导数的概念可得，＝m· ＝mf′(x0)＝1，所以f′(x0)＝.] 3．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　) A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 解析：A　[设切点为(x0，y0)，∵＝＝(2x0＋Δx) 当Δx趋于0时，趋于2x0. 由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，∴x0＝2， ∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选：A.] 4．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线的斜率为(　　) A．2 B．－1 C．1 D．－2 解析：D　[∵ ＝ ＝－1， ∴ ＝－2，即f′(1)＝－2. 由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝－2.] 5．(多选)下列命题正确的是(　　) A．若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x0处无切线 B．函数y＝f(x)的切线与函数的图像可以有两个公共点 C．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则当Δx→0时，＝1 D．若函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，且f(1)＝2，则f(x)的图像在x＝1处的切线方程为x＋y－3＝0 解析：BD　[若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x0处的切线斜率为0，故选项A错误；函数y＝f(x)的切线与函数的图像可以有两个公共点，例如函数f(x)＝x3－3x，在x＝1处的切线为y＝－2，与函数的图像还有一个公共点(－2，－2)点，故选项B正确；因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以f′(1)＝2，又 ＝－ ＝－f′(1)＝－1≠1，故选项C错误； 因为函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，所以f′(1)＝12－2＝－1，又f(1)＝2，所以切点坐标为(1,2)，斜率为－1，所以切线方程为y－2＝－(x－1)，化简得x＋y－3＝0，故选项D正确．] 6．如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 li ＝　________　. 解析：由导数的概念和几何意义知 li ＝f′(1)＝kAB＝ ＝－2. 答案：－2 7．函数y＝在x＝x0(x0≠0)处的导数为　________　，在点　________　处的导数为. 解析：Δy＝－，＝＝，当Δx趋于0时，趋于，令＝，得x0＝1，此时y0＝＝1，即函数y＝在点(1,1)处的导数为. 答案：　(1,1) 8．服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)是时间t(单位：min)的函数y＝f(t)，假设函数y＝f(t)在t＝10和t＝100处的导数分别为f′(10)＝1.5和f′(100)＝－0.6，试解释它们的实际意义． 解：f′(10)＝1.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min)．也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min，血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg /mL. f′(100)＝－0.6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL·min)．也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min，血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg /mL. [能力提升练] 9．函数f(x)的图像如图所示，则下列数值排序正确的是(　　) A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) C．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 解析：B　[如图所示，f′(2)是函数f(x)的图像在x＝2(即点A)处切线的斜率k1，f′(3)是函数f(x)的图像在x＝3(即点B)处切线的斜率k2，＝f(3)－f(2)＝kAB是割线AB的斜率． 由图像知，0＜k2＜kAB＜k1，即0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)．] 10．已知函数f(x)在R上可导，其部分图像如图所示，设 ＝a，则下列不等式正确的是(　　) A．a<f′(2)<f′(4) B．f′(2)<a<f′(4) C．f′(4)<f′(2)<a D．f′(2)<f′(4)<a 解析：B　[由题图可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，所以(2，f(2))，(4，f(4))两点连线的斜率 的大小在点(2，f(2))处的切线斜率f′(2)与在点(4，f(4))处的切线斜率f′(4)之间，所以f′(2)<a<f′(4)．] 11．若抛物线y＝2x2＋1与直线4x－y＋m＝0相切，则m＝　________　. 解析：设切点为P(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，所以＝4x0＋2Δx.当Δx→0时，→4x0，即f′(x0)＝4x0，所以4x0＝4，所以x0＝1，y0＝3，将(1,3)代入直线4x－y＋m＝0，得m＝－1. 答案：－1 12．利用导数的定义，求f(x)＝在x＝1处的导数f ′(1)． 解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－＝－， ∴＝ ＝ ＝. 当Δx趋于0时，趋于，f ′(1)＝. [素养培优练] 13．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a的值为　________　. 解析：设切点为P(x0，y0)， 则　＝ ＝ ＝ 2ax0＋aΔx 当Δx无限趋近于零时， 无限趋近于2ax0， ∵直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切， ∴2ax0＝1. 又y0＝ax，x0－y0－1＝0， 联立以上三式，得解得a＝ . 答案： 14．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线 12x＋y＝6平行，求a的值． 解：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1) ＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3， ∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2. 当Δx无限趋近于零时， 无限趋近于3x＋2ax0－9， 即f′(x0)＝3x＋2ax0－9， ∴f′(x0)＝32－9－. 当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－. ∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行， ∴该切线斜率为－12，∴－9－＝－12， 解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3. 学科网（北京）股份有限公司 $