第1章 5 数学归纳法(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

*§5　数学归纳法 课标要求 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题（逻辑推理）. 知识点　数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是： （1）证明：当n取第一个值n0（n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等）时，命题成立； （2）假设当n＝k（k∈N＋，k≥n0）时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立. 根据（1）（2）可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立. 　　提醒：（1）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推的依据；（2）运用数学归纳法时易犯的错误：①对项数估算错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化易弄错；②不利用归纳假设，归纳假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了；③步骤不严谨、不规范，在利用假设后，不作任何推导或计算而直接写出所要结论. 【想一想】 　用数学归纳法证明问题时，第一步一定要验证n＝1时成立吗？ 提示：不一定.如：证明多边形内角和为（n－2）×180°时，第一步应验证n＝3. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.（　×　） （2）应用数学归纳法证明数学命题时n0＝1.（　×　） （3）用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可.（　√　） （4）推证n＝k＋1时可以不用n＝k时的假设.（　×　） 2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n（n－3）条时，第一步应验证n＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：C　边数最少的凸n边形是三角形，故选C. 题型一｜用数学归纳法证明等式 【例1】　求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋（n∈N＋）. 证明：（1）当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝. 左边＝右边，等式成立. （2）假设当n＝k（k≥1）时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 则当n＝k＋1时， ＋ ＝＋ ＝＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋＋. 即当n＝k＋1时，等式也成立. 综合（1）和（2）可知，对一切正整数n等式都成立. 通性通法 用数学归纳法证明等式的策略 　　应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：（1）n＝n0时，等式的结构； （2）n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构，n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加（或减少）的项. 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项； ②代数式相邻两项之间的变化规律； ③代数式中最后一项（最后一个数）与n的关系. 【跟踪训练】 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n（3n＋1）＝n（n＋1）2（其中n∈N＋）. 证明：（1）当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立. （2）假设当n＝k（k∈N＋）时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2. 那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]＝k（k＋1）2＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]＝（k＋1）（k2＋4k＋4）＝（k＋1）[（k＋1）＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立. 根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＋都成立. 题型二｜用数学归纳法证明不等式 【例2】　求证：＋＋…＋＞（n≥2，n∈N＋）. 证明：（1）当n＝2时， 左边＝＋＋＋＞，不等式成立. （2）假设当n＝k（k≥2，k∈N＋）时不等式成立， 即＋＋…＋＞， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋（＋＋－）＞＋＞＋＝， 所以当n＝k＋1时不等式也成立. 由（1）（2）可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立. 通性通法 　　对于与正整数有关的不等式的证明问题，如果用其他方法比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明.使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他方法（如拆、添、并、放、缩），对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口. 【跟踪训练】 用数学归纳法证明：当n∈N＋时，1＋22＋33＋…＋nn＜（n＋1）n. 证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝2，1＜2，不等式成立. （2）假设当n＝k（k∈N＋）时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk＜（k＋1）k，那么，当n＝k＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋kk＋（k＋1）k＋1＜（k＋1）k＋（k＋1）k＋1＝（k＋1）k·（k＋2）＜（k＋2）k＋1＝[（k＋1）＋1]k＋1＝右边，即左边＜右边， 即当n＝k＋1时不等式也成立. 根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N＋都成立. 题型三｜用数学归纳法证明几何问题 【例3】　求证：n棱柱中过侧棱的对角面（即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面）的个数是f（n）＝n（n－3），其中n≥4，n∈N＋. 证明：（1）当n＝4时，四棱柱有2个对角面， 此时f（4）＝×4×（4－3）＝2，命题成立. （2）假设当n＝k（k≥4，k∈N＋）时，命题成立. 即k棱柱中过侧棱的对角面有f（k）＝k（k－3）个. 现在考虑n＝k＋1时的情形. 对于（k＋1）棱柱A1A2…Ak＋1-B1B2…Bk＋1， 棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的（k－2）条棱共增加了（k－2）个对角面，而面A1B1BkAk变成了对角面.因此对角面的个数为f（k）＋（k－2）＋1＝k（k－3）＋k－1＝（k－2）（k＋1）＝（k＋1）[（k＋1）－3]， 即f（k＋1）＝（k＋1）[（k＋1）－3]成立. 由（1）和（2），可知原结论成立. 通性通法 用数学归纳法证明几何问题的关键 　　在几何问题中，常有与正整数n有关的几何证明，其中有交点个数、对角线条数、内角和、将平面分成若干部分等问题，利用数学归纳法证明时，关键是“找增量”，即几何元素从k（k∈N＋）个变成（k＋1）个时，所证的几何量将增加多少个.解题时可以先用f（k＋1）－f（k）得出结果，再结合几何图形给予严谨的证明. 【跟踪训练】 已知点Pn（an，bn）满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝（n∈N＋），且点P1的坐标为（1，－1）. （1）求过点P1，P2的直线l的方程； 解：（1）由点P1的坐标为（1，－1）知a1＝1， b1＝－1，∴b2＝＝，a2＝a1·b2＝， ∴点P2的坐标为，故直线l的方程为2x＋y＝1. （2）试用数学归纳法证明：对n∈N＋，点Pn都在（1）中的直线l上. 解：（2）证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋（－1）＝1，命题成立. ②假设当n＝k（k∈N＋）时，2ak＋bk＝1成立，则当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·（2ak＋1）＝＝＝1， 故当n＝k＋1时，命题也成立. 由①②知，对任何n∈N＋，都有2an＋bn＝1成立，即点Pn在直线l上. 题型四｜归纳—猜想—证明 【例4】　已知数列，，，…，，…，设Sn为数列的前n项和，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明. 解：S1＝＝，S2＝＋＝， S3＝＋＝，S4＝＋＝， 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数n表示为3n＋1，可以猜想Sn＝. 下面用数学归纳法证明： （1）显然当n＝1时，S1＝＝，猜想成立. （2）假设当n＝k（k∈N＋）时，等式成立， 即Sk＝. 则当n＝k＋1时， Sk＋1＝Sk＋ ＝＋ ＝＝＝， 即当n＝k＋1时，猜想也成立. 根据（1）和（2）可知，猜想对任何n∈N＋都成立. 通性通法 “归纳—猜想—证明”模式的解题方法 （1）观察：由已知条件写出前几项； （2）归纳：根据前几项的规律，找到项与项数的关系； （3）猜想：猜想一般项的表达式； （4）证明：用数学归纳法证明猜想的结论. 【跟踪训练】 已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an（n≥2，n∈N＋）. （1）求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式； 解：（1）a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10， a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20， 猜想an＝5×2n－2（n≥2，n∈N＋）. （2）用数学归纳法证明（1）的猜想. 解：（2）证明：①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，猜想成立. ②假设n＝k（k∈N＋，且k≥2）时成立，即ak＝5×2k－2（k≥2，k∈N＋）， 则当n＝k＋1时，由已知条件和假设有 ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2＝5＋＝5×2k－1＝5×2k＋1－2，故n＝k＋1时，猜想也成立. 由①②可知，对n≥2，n∈N＋有an＝5×2n－2. 1.用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋（n＋3）＝（n∈N＋），验证n＝1时，左边应取的项是（　　） A.1　　　　　　　　　 B.1＋2 C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4 解析：D　当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4. 2.在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－，则ak＋1＝（　　） A.ak＋ B.ak＋－ C.ak＋ D.ak＋－ 解析：D　a1＝1－，a2＝1－＋－，…，an＝1－＋－＋…＋－，ak＝1－＋－＋…＋－，所以ak＋1＝ak＋－. 3.用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端在n＝k时的左端加上　　（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2　　. 解析：n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2. 4.观察下列不等式：1＞，1＋＋＞1，1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，1＋＋＋…＋＞，…，由此猜测第n个不等式为　1＋＋＋…＋＞　（n∈N＋）. 1.用数学归纳法证明3n≥n3（n≥3，n∈N＋），第一步验证（　　） A.n＝1　　 B.n＝2 C.n＝3　　 D.n＝4 解析：C　由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3时不等式是否成立. 2.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝k（k≥2，k为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（　　） A.n＝k＋1时等式成立 B.n＝k＋2时等式成立 C.n＝2k＋2时等式成立 D.n＝2（k＋2）时等式成立 解析：B　因为已知n为正偶数，故当n＝k时，下一个偶数为k＋2. 3.某命题与自然数有关，如果当n＝k（k∈N＋）时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得（　　） A.当n＝6时，该命题不成立 B.当n＝6时，该命题成立 C.当n＝4时，该命题不成立 D.当n＝4时，该命题成立 解析：C　若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5时命题成立.所以若n＝5时该命题不成立，则n＝4时该命题也不成立. 4.用数学归纳法证明“n3＋（n＋1）3＋（n＋2）3（n∈N＋）能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开（　　） A.（k＋3）3 B.（k＋2）3 C.（k＋1）3 D.（k＋1）3＋（k＋2）3 解析：A　假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋（k＋1）3＋（k＋2）3能被9整除.当n＝k＋1时，（k＋1）3＋（k＋2）3＋（k＋3）3为了能用上面的归纳假设，只需将（k＋3）3展开，让其出现k3即可. 5.〔多选〕对于不等式 ＜n＋1（n∈N＋），某学生使用数学归纳法证明的过程如下： ①当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立. ②假设n＝k（k∈N＋）时，不等式成立，即 ＜k＋1，则n＝k＋1时， ＝＜＝＝（k＋1）＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，关于上述证明过程的说法正确的是（　　） A.证明过程全都正确 B.当n＝1时的验证正确 C.归纳假设正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 解析：BCD　n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求.故选B、C、D. 6.〔多选〕设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：当f（k）≥k＋1成立时，总有f（k＋1）≥k＋2成立.下列命题总成立的是（　　） A.若f（6）＜7成立，则f（5）＜6成立 B.若f（3）≥4成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k＋1成立 C.若f（2）＜3成立，则f（1）≥2成立 D.若f（4）≥5成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k＋1成立 解析：AD　若f（5）＜6不成立，则f（5）≥6，由题意知f（6）≥7，与f（6）＜7成立矛盾，所以f（5）＜6成立，A正确.B、C显然错误.若f（4）≥5成立，由题意，得当k≥4时，均有f（k）≥k＋1成立，故D正确.所以选A、D. 7.记凸k边形的内角和为f（k），则凸k＋1边形的内角和f（k＋1）＝f（k）＋　π　. 解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f（k＋1）＝f（k）＋π. 8.用数学归纳法证明“当n∈N＋时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为　1＋2＋22＋23＋24　，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4　. 解析：当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25（k＋1）－1. 9.用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f（n）部分，则f（n）＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f（k＋1）＝f（k）＋　k＋1　. 解析：f（k）＝1＋，f（k＋1）＝1＋，∴f（k＋1）－f（k）＝［1＋］－＝k＋1，∴f（k＋1）＝f（k）＋（k＋1）. 10.设f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N＋）.求证：f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝n[f（n）－1]（n≥2，n∈N＋）. 证明：当n＝2时，左边＝f（1）＝1， 右边＝2×＝1，左边＝右边，等式成立. 假设n＝k（k≥2，k∈N＋）时，等式成立，即 f（1）＋f（2）＋…＋f（k－1）＝k[f（k）－1]， 那么，当n＝k＋1时，f（1）＋f（2）＋…＋f（k－1）＋f（k）＝k[f（k）－1]＋f（k）＝（k＋1）f（k）－k＝（k＋1）·－k＝（k＋1）f（k＋1）－（k＋1）＝（k＋1）[f（k＋1）－1]， ∴当n＝k＋1时等式仍然成立. ∴f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝n[f（n）－1]（n≥2，n∈N＋）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $