1.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦等差数列前n项和核心知识点，系统梳理公式推导（首项、末项与项数，首项、公差与项数两种形式）、性质应用（如Sn的二次函数特征、奇偶项和关系等）及三类典型题型（基本运算、由Sn求通项、性质应用），搭建梯度学习支架。 资料采用梯度进阶式教学，通过基础训练、高考真题融入及思维建模，培养学生数学思维（推理与运算能力）和模型意识。课中助力教师高效授课，课后学生可借实例巩固知识，查漏补缺，提升应用能力。

2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 　1.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前n项和公式. 3.理解并应用等差数列前n项和的性质. 1.等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn= Sn=na1+d |微|点|助|解| （1）公式Sn=反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和. （2）由公式Sn=na1+d知d=0时，Sn=na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”. （3）公式里的n表示的是所求等差数列的项数. 2.等差数列前n项和的常见性质 （1）若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. （2）若Sn，S2n，S3n，…分别为等差数列{an}的前n项，前2n项，前3n项，…和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…也成等差数列，公差为n2d. （3）设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则=. （4）若等差数列的项数为2n，则S2n=n（an+an+1），S偶-S奇=nd，=（S奇≠0）. （5）若等差数列的项数为2n+1，则=（2n+1）an+1（an+1是数列的中间项），S偶-S奇=-an+1，=（S奇≠0）. （6）在等差数列中，若Sn=m，Sm=n，则=-（m+n）. 上述性质可用于小题，大题中要先证再用. 性质（2）不要误解为Sn，S2n，S3n，…成等差数列. 基础落实训练 1.已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=-2，则前10项和S10= （　　） A.-20 B.-40 C.-60 D.-80 解析：选D　由公式Sn=na1+d得S10=10×1+×（-2）=-80. 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等于 （　　） A.72 B.54 C.36 D.18 解析：选A　由a4=18-a5，可得a4+a5=18， 所以S8==4（a4+a5）=4×18=72， 故选A. 3.已知等差数列{an}，若a2=10，a5=1，则{an}的前7项的和是 （　　） A.112 B.51 C.28 D.18 解析：选C　由题意知， 解得则S7=7a1+d=28， 故选C. 题型（一）　等差数列前n项和的基本运算 [例1]　（1）已知{an}为等差数列，公差d=2，前n项和为Sn，an=11，Sn=35，求a1，n； （2）在等差数列{an}中，已知a2+a5=19，S5=40，求a10. 解：（1）由题设可得 解得或 （2）由题设可得 即解得 故a10=2+3×（10-1）=29. 　　[变式拓展] 　本例（1）中，将“d=2”改为“a1=3”，其他条件不变，求n和公差d. 解：法一　由 得解得 法二　∵a1=3，an=11，Sn=35， ∴35==7n，即n=5. 又11=3+（5-1）d， ∴d=2. 　　|思|维|建|模| （1）利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. （2）结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m+n=p+q（m，n，p，q∈N+），则am+an=ap+aq，特别地，m+n=2r，则2ar=am+an，常与求和公式Sn=结合使用. 　　[针对训练] 1.（2024·全国甲卷）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=1，a3+a7= （　　） A.-2 B. C.1 D. 解析：选D　法一：利用等差数列的基本量　由S9=1，根据等差数列的求和公式，S9=9a1+d=1⇔9a1+36d=1.又a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=（9a1+36d）=. 法二：利用等差数列的性质　根据等差数列的性质，得a1+a9=a3+a7，由S9=1，根据等差数列的求和公式，S9===1，故a3+a7=. 法三：特殊值法　不妨取等差数列公差d=0， 则S9=1=9a1⇒a1=，则a3+a7=2a1=. 2.（2025·新课标Ⅱ卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=6，S5=-5，则S6= （　　） A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 解析：选B　法一　由S3=3a2=6⇒a2=2， S5=5a3=-5⇒a3=-1， ∴等差数列{an}的公差d=a3-a2=-3，a1=5， ∴S6=6a1+15d=6×5-15×3=-15. 法二　Sn为等差数列{an}的前n项和， 故为等差数列，设该等差数列的公差为d1， 由-=2d1， 解得d1=-， ∴=+d1=-1-， 解得S6=-15. 3.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2，a2+a6=2，则S10=　　　　.  解析：法一　设等差数列{an}的公差为d， 则由a2+a6=2，得a1+d+a1+5d=2， 即-4+6d=2，解得d=1， 所以S10=10×（-2）+×1=25. 法二　设等差数列{an}的公差为d， 因为a2+a6=2a4=2，所以a4=1， 所以d===1， 所以S10=10×（-2）+×1=25. 答案：25 题型（二）　等差数列前n项和公式的应用 [例2]　已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+4n（n∈N+）. （1）求数列{an}的通项公式an； （2）求证：数列{an}是等差数列. 解：（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2+4n-3（n-1）2-4（n-1）=6n+1，当n=1时，a1=S1=3+4=7，满足an=6n+1，即数列{an}的通项公式an=6n+1. （2）证明：∵an=6n+1， ∴当n≥2时，an-an-1=6n+1-6（n-1）-1=6为常数，则数列{an}是等差数列. 　　[变式拓展] 　若本例中数列{an}的前n项和为Sn=3n2+4n+1（n∈N+）.求数列{an}的通项公式并判断数列是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 解：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2+4n+1-3（n-1）2-4（n-1）-1=6n+1， 当n=1时，a1=S1=3+4+1=8， 不满足an=6n+1，所以an= 显然{an}不是等差数列. 　　|思|维|建|模| 　　由Sn求得通项公式an的特点：若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an=数列{an}不是等差数列. 　　[针对训练] 4.已知一个数列{an}的前n项和Sn=25n-2n2+r. （1）当r=0时，求证：该数列{an}是等差数列； （2）若数列{an}是等差数列，求r满足的条件. 解：（1）证明：当r=0时，Sn=25n-2n2，令n=1，S1=25-2=23， 所以n≥2时，Sn-1=25（n-1）-2（n-1）2，所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25（n-1）+2（n-1）2=27-4n， 此时a1=27-4=23，所以an=27-4n， 所以an-an-1=（27-4n）-27+4（n-1）=-4，可得数列{an}是公差为-4的等差数列. （2）Sn=25n-2n2+r，令n=1， 得S1=25-2+r=23+r， 所以n≥2时，Sn-1=25（n-1）-2（n-1）2+r， 所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25（n-1）+2（n-1）2=27-4n， 所以an-an-1=（27-4n）-27+4（n-1）=-4，可得n≥2时，数列{an}是公差为-4的等差数列，若数列{an}是等差数列， 则a1=27-4=23=23+r， 所以r=0. 题型（三）　等差数列前n项和的性质及应用 [例3]　已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110. 解：法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵S10=100，S100=10， ∴解得 ∴S110=110a1+d=110×+×=-110. 法二　设等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn. 由题设条件可知 解得 故S110=-×1102+×110=-110. 法三　∵S10，S20-S10，S30-S20，…，S100-S90，S110-S100，…成等差数列， 设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100+d=S100=10，解得d=-22， ∴前11项和S110=11×100+×（-22）=-110. 法四　由也是等差数列，构造新的等差数列b1==10，b10==， 则d=（b10-b1）=×=-， 所以b11==b10+d=+=-1， ∴S110=-110. 法五　直接利用性质Sn=m，Sm=n，Sm+n=-（m+n），可得S110=-110. 　　|思|维|建|模| 等差数列前n项和运算的几种思维方法 （1）整体思路：利用公式Sn=，设法求出整体a1+an，再代入求解. （2）待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn=An2+Bn（A≠0），列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设=an+b（a≠0）进行计算. （3）利用Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列进行求解. 　　[针对训练] 5.在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n= （　　） A.9 B.10 C.11 D.12 解析：选B　根据等差数列前n项和的性质可得==，解得n=10. 6.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3=4，S6=10，则a16+a17+a18= （　　） A.12 B.14 C.16 D.18 解析：选B　由等差数列前n项和的性质知，S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9，S15-S12，S18-S15成等差数列.由S3=4，S6-S3=6，得该数列首项为4，公差为2，所以a16+a17+a18=S18-S15 =4+5×2=14. 学科网（北京）股份有限公司 $