1.2.2 第2课时 等差数列习题课-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

023 ●易错警示 由和求项注意验证首项 例4、已知数列a.的前n项和S.=2+3m+2,判断a是否为等差数列 [错解]：an=S。-Sn-1=(n2+3n+2)-[(n-1)2+3(n-1)+2]=2n+2. an+1-an=[2(n+1)+2]-(2n+2)=2(常数)， ∴.数列{an}是等差数列. [误区警示]an=Sn-Sn-1是在n≥2的条件下得到的，a1是否满足需另外计算验证. [正解] 课堂检测 固双基 1.在等差数列{an}中，已知a4+ag=16,则该数 A.3 B.4 C.5 D.6 列前11项的和S,= ( )4.(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{a.}的 A.58 B.88 C.143 D.176 前n项和，若a+a4=7,3a2+a=5,则S10= 2.设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn,若 a6=2且S=30,则S。等于 A.31 B.32 C.33 D.34 夯基提能作亚 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1= 请同学们认真完成练案[5] -2,Snm=0,Sm+1=3,则m ( 第2课时 等差数列习题课 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 l.会利用数列的前n项和Sn求数列的通项 1.等差数列前n项和公式Sn求a培养数学运算 公式an 素养 2.会使用裂项相消法求数列的前n项和. 2.借助裂项相消法求和的方法学习，培养直观想 3.掌握各项含有绝对值的等差数列前n项和 象素养 的计算方法 024 必备知识探新知 知识点一知Sn求a。 已知数列的前n项和Sn,若a1适合an,则通项公式a,= ,若a1不适合an,则 练一练： 若数列{an}的前n项和Sn=n2-7n,则{an}的通项公式是an= 知识点二裂项相消法求和 形如 (6.-a,=山，d为常数)的数列适合用裂项求和，其裂项形式为1 b 练一练： 1 数列{an}中，an= (n+1)其前n项和是S,则S。= B. 动 D.6 7 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一已知数列的前n项和S,求通项a 例.(1)数列a,的前n项和S.=-1,则a,= A.7 B.8 C.9 D.17 规律方法： 1.由Sn求通项公式an的 (2)数列a.的前n顶和S=-+n-1,求数列a.的通项专年 第一步：令n=1,则a1= 公式； S1,求得a1; (3)已知数列0.的前n项和为5满足a=74,+2S.·51 第二步：令n≥2，则an= S-S-1; =0(n≥2，n∈N*),求数列{an}的通项公式. 第三步：验证a1与an的 关系； [分析](1)求a4→Sn=n2-1→a4=S4-S3. （1）若a1适合an,则an (2)求a,的通项公式-8=-多2+n-1→分n=1与n≥2检 Sn-Sn-1. (2)若a1不适合an,则an 验→结论. S,n=1, (3)当n≥2时，an=S.-Sn-1,消去式中an,得到Sn的递推关系→ lSn-Sn-1,n≥2. {S}的通项公式→an 2.Sn与an的关系式的应用 图青要回 (1)“和”变“项” 首先根据题目条件，得到新 式（与条件相邱)，然后作 差将“和”转化为“项”之 间的关系，最后求通项 公式. （2)“项”变“和”。 首先将an转化为Sn-Sn-1 得到Sn与Sn-1的关系式 然后求Sn D[规律方法] ●025 》对点训练1 (1)已知数列{an}的前n项和Sn=2”,则ag= () A.64 B.128 C.32 D.216 (2)正项数列{an},a1=1,前n项和Sn满足Sn·√Sn-1-Sn-1· √Sn=2√Sn·Sn-1(n≥2)，则a1o= A.72 B.80 C.90 D.82 规律方法： 裂项相消求和 (3)设数列{an}的前n项和Sn=-n2+1,那么此数列的通项公式 （1)适用数列：形如 0n= 题型二裂项求和 {b}-a=dd为* 例2在数列a中a,=中+子+…+中又62求数 +2 裁)的裁列可以用裂项 anAn+1 求和 列{bn}的前n项和. (2)裂项形式： 1 ab= [分析]首先化简{αn}的通项公式，求出b.后再利用裂项相消法 求出数列{bn}的前n项和. 》 (3)规律发现：一是通项 公式特征不明显的要对通项 公式变形，如分离常裁、有 理化等；二是裂项后不是相 外项相消的，要写出前两 组、后两组观察消去项、保 留项. [规律方法] (4)特殊裂项： 】对点训练2 ①1 4n2-1=(2n-1)(2n+1) (1)已知数列a,}为等差数列，且a,=2,=6,则1+1 十 aa a2a3 =l +1= ②n+T-元.11 020a21 √n+IVn√nn+1 A8 8 c. D31 22 2 (2)已知等差数列{an}满足：a3=7,a5与a的等差中项为13，{an} 的前n项和为Sn (2n)2 ①求am以及Sn; ④2m-1)(2n+d ②若&正aeN),求数到么的前a项和 =1+2+ 026 题型三含绝对值的数列的前n项和 例3.(2023：全国乙卷)记S.为等差数列1a,的前n项和，已知，=1， S10=40. (1)求{an的通项公式； (2)求数列{IanI}的前n项和Tn 规律方法： 已知an}为等差裁列， 求裁列{IanI}的前n 项和的步骤： 第一步，解不等式an ≥0（或an≤0)寻我 {an的正负项分 界点： 第二步，求和，①若 0m各项均为正裁（或 均为负数)，则{川anI 各项的和等于an}的 各项的和（或其相反 数)： ②若a1>0,d<0(或 [规律方法] a1<0,d>0),这时 》对点训练3 裁列{an}只有前面有 已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2-l0n. 限项为正裁（或负 (1)求an; 数)可分段求和再 (2)求数列{Ian1}的前n项和Tn 相加. ●027 ●易错警示 裂项求和要找准相加相消的规律 例4求数列{+2}的前n项和 1 [错解] .数列 1 n(n+2)} 前项和及1-+分+写写++中+分 n [误区警示]错误的原因在于裂项相消时，没有搞清剩余哪些项， [正解] [点评]运用裂项相消法求和时，要弄清消去的项是与它后面的哪一项相加消去的，找出规 律，然后确定首尾各剩余哪些项，切勿出现添项或漏项、错项的错误， 课堂检测固双基 1.数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1,则ag+a,3.等差数列{an}中，公差d≠0，a,≠d,若前20项 +a1o+a11+a2的值为 的和S2。=10M,则M的值为 A.100 B.99 A.a3+as B.a2+2a10 C.120 D.130 C.azo+d D.a2+ao 2.一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的4.已知数列{an}的通项公式为a,=2n-30,S。 内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边 是{IanI}的前n项和，则So= 数n等于 夯基提能作业 A.12 B.16 请同学们认真完成练案[6] c.9 D.16或96-低+2,2：显然a-a=6-6=0,-a 2,.an}不是等差数列. 课堂检测固双基 1.BS1= 1(a+a_1(a,+as_1x16=88. 2 2 2 2B由已知可得+5d=2, 5a1+10d=30, 26 [a1=i 3 解得) 4 d=-3, 4S,=80,+8x2d=32 2 3.C am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm1-Sm=3,d=am+1-am =3-2=1.由S=m(a,+a=0,得a,=-a.=-2 2 .am=-2+（m-1)·1=2,解得m=5. 495因为数列a.为等差数列，则由题意得 68+4d解得日- fa1+2d+a1+3d=7 ,,则S0=10a+ 10x94=10×(-4)+45×3=95. 2 第2课时等差数列习题课 必备知识探新知 知识点一 ∫Sa,n=1 5,-5-1a.={s。-S-1n≥2 练一练： 2n-8当n≥2时，am=Sn-S.-1=(n2-7n）-[(n-1)2 -7(n-1)]=2n-8, 而a1=S1=-6,也符合上式， 所以an=2n-8. 知识点二 }位) 练一练： 1 。11 D因为a=n(n+1)=nn+T' 所以5=a++a+…+a=1-宁+分写+5-行 +4g+56+6-7179 关键能力攻重难 例1：(1)Aa4=S4-S3=42-1-32+1=7. （2)n=1时，a=8=-号+1-1=-多， 当n≥2时，a=8-S1=-子2+n-1 [-2(n-1)+(-)-刂小-3n+各，因为a,=-号不适 合a,=-3n+, 3 所以an= 2n=1, .5 -3n+2n≥2. (3)因为an+2S.·Sm-1=0, 所以an=-2S.·S-… 当n=1时，a1=2 15 当n≥2，neN*时，an=Sn-Sa-1, 所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1①. 因为a=2,所以S,S1≠0， ①式的两边同除以SnS。-1得： 1 S-1 S -2即 1 1=2, 所以数列[付}是首项为2，公差为2的等法数列， 所以片=2+2(n-1)=2n,即：5.=2元， 1 1 则a,=-25,5.1=2n(m-n≥2)， 因为a1=方不消足a,=2日-n≥2)，所以数列的 2n=1, 通项公式为a.= 1 l2n(n-1)n≥2 对点训练1：(1)Ban=S.-Sn-1=2”-2-1=2”-(n≥2)， 又S1=2=2,a1=21-1=1.不符 r2,n=1, am={2-l,n≥2. a=28-1=27=128. (2)A由S.·S-i-Sa-1·√Sm=2√S.·Sm-1(n≥ 2),两边同除以√Sn·Sm-1,得√S。-√S-1=2;而S,=a1=1, .√Sn=1+2(n-1)=2n-1,.Sn=4n2-4n+1;再根据an= Sn-Sm-1(n≥2)，得a.=8n-8(n≥2)，所以a1o=8×10-8 =72. (3)/0,n=1, -2m+1,n≥2由题意知，当n=1时，4=5，=0， 当n≥2时，5n=-n2+1①， S4-1=-(n-1)2+1② 所以①-②，得an=Sn-S.-1=-2n+1. :4=0不适合an=-2n+1. a=0,n=1, l-2n+1,n≥2. n(n+1) 例2：因为a,n中+n子+…+=n子斤受 1 2 2 所以6，=2=2 an2女mn=8h-） 8 2 2 因此数列6.的前a项和为又=8（十-）+8（分-） +…+-i)=8--0 对点训练2：(1)C设数列{an}的公差为d, 已知得，td2解得a=1,d=1, la1+5d=6, 所以a,=1+(n-1)x1=n,所以， 1 aa+1n(n+l）=n 1 n+1 因此+++=1-分+分-+…中 1 a20a21 11 120 2027=1-2727 (2)①设等差数列{an}的公差为d, 由=a+2d=7, 1as+a,=2a。=2a1+10d=26,得{d=2’ ∴a.=a+(n-1）)d=2n+l,s.=na,+nn)-d=n2+2n ②由题意可得6，-a.+(a,-d2n+2)·7 1 =1(1-1_）} =4nm+D=4元-n+i) .Tn=b1+b2+b3+…+bn =4(1-2)+4(3)+(兮)+… =-）mD 例3：(1)设等差数列的公差为d, a=a1+d=11, 由题意可得 o=10a+0294=40, 即+d=:解得=1B. l2a1+9d=8, d=-2 所以an=13-2(n-1)=15-2n. (2)因为S,=n13+5-2n=14n-n2. 2 令a,=15-2n>0,解得n<吕且aeN, 当n≤7时，则an>0,可得Tn=lal+1a2l+…+1anl=a +a2+…+an=Sn=14n-n2; 当n≥8时，则an<0,可得T,=Ia1I+Ia2I+…+|anI= (a1+a2+…+a7）-（ag+…+am) =S,-(Sn-S,)=2S,-Sn=2(14×7-72)-(14n-n2)= n2-14n+98; rl4n-n2,n≤7， 综上所述：T,=n-14n+98,n≥8： 对点训练3：(1)①当n=1时，a1=S,=-9; ②当n≥2时，an=Sn-S.-1=n2-10n-(n-1)2+10n-10 =2n-11, 对n=1也成立，所以an=2n-1l(neN*); (2)当1≤n≤5时，an<0,即Tn=la1+la21+…+|anI= (a1+a2+…+an）=-Sn=10n-n2. 当n≥6时，an>0,Tn=-(a1+a2+…+a5）+(a6+…+ an)=-S5+S.-S,=n2-10n+50, 综上x-{《0N 例4：，1 =1/1-1 n(n+2)=2nn+2}: 数列{6+2}的前n项和=(-+- ln(n+2)了 1 +号中中=子2n0 3.2n+3 课堂检测固双基 1.A as ao+ato +au+az=S12-S =122+12+1-72-7-1=100. 2.Cam=120+5(n-1)=5n+115, 由a.<180得n<13且neN*, 由n边形内角和定理得， (n-2)×180=nx120+nn,-1D×5. 2 解得n=16或n=9, .n<13,.n=9. 15 3.DS=902×20=10(a+a ∴.M=a1+a如=a2+ag.故选D. 4.190令a.=2n-30≥0，即n≥15，故前14项都是负数， 所以S0=-(a1+a2+…+a10) =-（-28-10）×10=190. 2 §3等比数列 3.1等比数列的概念及其通项公式 第1课时等比数列 必备知识探新知 知识点 (1)同一个常数 想一想： 1.若存在一项为零，设这一项为a,则 (1)若ak不是最后一项，它将不能与ak+1作比； (2)若a是最后一项，可推知公比g等于零，从而a2=0,它 将不能与a,作比. 故等比数列的每一项均不能为零 2.不一定，当常数列各项均为零时，该常数列不是等比数 列；当常数列各项均不为零时，该常数列是等比数列. 练一练： 1.(1)V(2)×(3)×(4)× 2.D对于A,B,C:当9=0时不是等比数列，故A,B,C错 误：对于D:由已知可得q≠0，且符合等比数列的定义，公比是 上，故D正确 知识点二 an=a19"- 想一想： a.=a·q1=4·g,当g>0且g≠1时，等比数列0，} 的第n项a,是指数型函数f(x)=4·g广(xeR)在x=n时的 值，即a.=f(n).数列{an}图象上的点(n,an)都在指数函数 fx)的图象上.反之指数函数f代x)=a=a·a-1(a>0,a≠1) 可以构成一个首项为a,公比为a的等比数列a·a”-l}. 练一练： 1.C设等比数列{an}的公比为q,9>0, aag=2a→a2·q·a2·q=2(a293)2→q2=2, 因为q>0,所以g=2,而a2=2, 所以4==2=5 Γ92 2-24=4=-8,所以g=-2. a 关键能力攻重难 例1：(1)设公比为q,则a3=a1·9, 所以27=3g2,所以q=±3， a.=3"或an=-（-3)" (2)设公比为q,由题意，得 [a19+a1q=18 ① la19+a1g3=9 ② 器得g=分a=记又a=1,2×(宁 =1, 即26-"=2°，∴n=6. 对点训练1：(1)设等比数列{an}的公比为q,由题意得 「a,+a,=(a,+4,)q=18解得q=之 la3+a6=36, 5