1.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦等差数列的性质及应用，系统梳理等差数列与一次函数的关系、增减性、等差中项、项与序号的关系等核心知识点，构建从定义推导到性质应用的学习支架，助力学生掌握简化计算与实际问题解决的方法。 采用梯度进阶式教学，通过基础训练与四类题型（通项公式与函数关系、等差中项应用、性质应用、实际问题）设计，培养学生数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（模型意识），课中便于教师分层授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　等差数列的性质及应用 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解数列的等差中项，能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 2.能运用等差数列的性质简化计算，能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用. 1.等差数列和一次函数的关系 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an=f（n）=a1+（n-1）d=nd+（a1-d），n∈N+. （1）点（n，an）落在直线y=dx+（a1-d）上； （2）这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加d. 2.等差数列的增减性 对于an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）， （1）当d>0时，数列{an}为递增数列，如图①； （2）当d<0时，数列{an}为递减数列，如图②； （3）当d=0时，数列{an}为常数列，如图③. 3.等差中项 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，且A=.在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项. 4.等差数列的项与序号的关系 （1）等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an=a1+（n-1）d （揭示首末两项的关系） an=am+（n-m）d （揭示任意两项之间的关系） （2）项的运算性质 若m+n=p+q（m，n，p，q∈N+），则am+an=ap+aq. ①特别地，当m+n=2k（m，n，k∈N+）时，am+an=2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=…. 5.等差数列的性质 数列 结论 {c+an} 公差为d的等差数列 {c·an} 公差为cd的等差数列 {an+an-k} 公差为2d的等差数列 {pan+qbn} 公差为pd1+qd2的等差数列 基础落实训练 1.如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a4等于 （　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：选C　 a3+a4+a5=3a4=12，a4=4. 2.等差数列{an}中，a3=7，a7=-5，则公差d= （　　） A.3 B.-3 C.2 D.-2 解析：选B　由题意得4d=a7-a3=-5-7=-12，所以d=-3. 3.已知等差数列{an}：1，0，-1，-2，…；等差数列{bn}：0，20，40，60，…，则数列{an+bn}是 （　　） A.公差为-1的等差数列 B.公差为20的等差数列 C.公差为-20的等差数列 D.公差为19的等差数列 解析：选D　（a2+b2）-（a1+b1）=（a2-a1）+（b2-b1）=-1+20=19，即数列{an+bn}是公差为19的等差数列. 4.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an+2an+2}是公差为　　　　的等差数列.  解析：（an+1+2an+3）-（an+2an+2）=（an+1-an）+2（an+3-an+2）=d+2d=3d. 答案：3d 题型（一）　等差数列通项公式与一次函数的关系 [例1]　（多选）下列判断正确的是 （　　） A.等差数列{an}中，a3=4，a4=2，则数列{an}是递增数列 B.若an=kn+b（k，b为常数，n∈N+），则数列{an}是等差数列 C.等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率 D.若数列{an}是等差数列，且an=kn2-n，则k=0 解析：选BCD　A项，公差d=a4-a3=-2<0，所以数列{an}是递减数列；因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，公差是一次函数图象的斜率，所以B、C、D均正确. 　　|思|维|建|模| 　　熟练掌握等差数列通项公式an=dn+（a1-d）=kn+b是关于n的一次函数型这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列；d=0时，数列{an}为常数列；d<0时，数列{an}为递减数列. 　　[针对训练] 1.已知无穷等差数列{an}的各项均为正整数，且a9=2 024，则a1的最小值是　　　　.  解析：若等差数列{an}的各项均为正整数，且要求a1的最小值，则数列{an}是严格递增数列，于是公差d∈N+，因此a1=a9-8d=2 024-8d为正整数.因为a1关于d递减，而2 024=252×8+8，则当d=252时，a1取得最小值为8. 答案：8 题型（二）　等差中项及应用 [例2]　（1）已知2a=3b=m，ab≠0，且a，ab，b成等差数列，则m等于 （　　） A. B. C. D.6 解析：选C　∵2a=3b=m，∴a=log2m，b=log3m， ∵a，ab，b成等差数列，∴2ab=a+b， ∵ab≠0， ∴+=2， ∴=logm2，=logm3， ∴logm2+logm3=logm6=2（m>0）， 解得m=.故选C. （2）在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 解：∵-1，a，b，c，7成等差数列，∴b是-1与7的等差中项， ∴b==3. 又a是-1与3的等差中项， ∴a==1. 又c是3与7的等差中项， ∴c==5. ∴该数列为-1，1，3，5，7. 　　|思|维|建|模| 等差中项的计算 （1）条件：若A是a与b的等差中项. （2）计算公式：A=. 　　[针对训练] 2.已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则2m-n和2n-m的等差中项为 （　　） A.8 B.6 C.4.5 D.3 解析：选D　∵m+2n=8，2m+n=10， ∴3m+3n=18， ∴m+n=6， ∴2m-n和2n-m的等差中项为==3. 3.已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列. 证明：∵，，成等差数列，∴=+， 即2ac=b（a+c）. ∵+=====， ∴，，成等差数列. 题型（三）　等差数列的性质及应用 [例3]　（1）已知数列{an}是等差数列，若a1-a9+a17=7，则a3+a15等于 （　　） A.7 B.14 C.21 D.7（n-1） 解析：选B　因为a1-a9+a17=（a1+a17）-a9=2a9-a9=a9=7，所以a3+a15=2a9=2×7=14. （2）已知{an}为等差数列，a15=8，a60=20，求a75. 解：法一：利用an=am+（n-m）d 设数列 {an}的公差为d， 则a60=a15+（60-15）d=8+45d=20， 所以d===， 所以a75=a60+（75-60）d=20+15×=24. 法二：利用隔项成等差数列 因为{an}为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项，所以a60=a15+3d，解得d=4，所以a75=a60+d=24. 　　[变式拓展] 　在等差数列{an}中，a3+a7+2a15=40，求a10. 解：法一　设数列{an}的公差为d. 则a3+a7+2a15=a1+2d+a1+6d+2（a1+14d） =4a1+36d=4（a1+9d）=4a10=40，∴a10=10. 法二　∵a3+a7+2a15=（a3+a15）+（a7+a15）=2a9+2a11=2（a9+a11）=4a10=40，∴a10=10. 　　|思|维|建|模| （1）灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m=1，an=am+（n-m）d即变为an=a1+（n-1）d，可以减少记忆负担. （2）等差数列运算的两种常用思路 ①基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程（组），确定a1，d，然后求其他量. ②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m+n=p+q=2r（m，n，p，q，r∈N+），则am+an=ap+aq=2ar. 　　[针对训练] 4.在等差数列{an}中，a3+a11=40，则a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10的值为 （　　） A.84　　　 B.72 C.60　　　 D.48 解析：选C　在等差数列{an}中，a3+a11=2a7=40，可得a7=20，所以a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10=（a4+a10）-（a5+a9）+（a6+a7+a8）=3a7=60.故选C. 5.[多选]已知递增的等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则下列各式一定成立的有 （　　） A.a1+a101>0 B.a2+a100=0 C.a3+a100≤0 D.a51=0 解析：选BD　设等差数列{an}的公差为d，易知d>0，∵等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51，∴a1+a2+a3+…+a101=（a1+a101）+（a2+a100）+…+（a50+a52）+a51=101a51=0，∴a51=0，a1+a101=a2+a100=2a51=0，故B、D正确，A错误；又∵a51=a1+50d=0，∴a1=-50d，∴a3+a100=（a1+2d）+（a1+99d）=2a1+101d=2×（-50d）+101d=d>0，故C错误. 题型（四）　等差数列的实际应用 [例4]　某公司购置了一台价值为230万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少20万元，设备使用n年后，其价值将低于购进价值的5%，设备将报废，则n的最小值为 （　　） A.10 B.11 C.12 D.13 解析：选B　设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则数列{an}满足an=an-1-20（n≥2）.可得数列{an}是公差为-20的等差数列.因为购进设备的价值为230万元，这样a1=230-20=210，于是an=a1+（n-1）（-20）=230-20n，根据题意得an<230×5%=11.5⇒n≥11. 　　|思|维|建|模| （1）解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列. （2）合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题. 　　[针对训练] 6.某镇政府计划从3月1日开始植树绿化环境，第一天植树2 000棵，以后每天植树的棵数比前一天多相同的数量.若该镇政府计划用13天（即到3月13日结束）植树33 800棵，则植树节（3月12日）这一天植树 （　　） A.3 000棵　 B.3 100棵 C.3 200棵　 D.3 300棵 解析：选B　由题意知，这13天中每天植树数量为等差数列{an}，则a1=2 000，设数列{an}的公差为d，则13×2 000+×13×12d=33 800，解得d=100，所以a12=2 000+11×100=3 100.故选B. 7.世界上最古老的数学著作《莱因德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为 （　　） A.磅 B.磅 C.磅 D.磅 解析：选D　设五个人从小到大所得面包为a1，a2，a3，a4，a5，其公差为d，则由题意可得（a4+a5）=a1+a2+a3，即（2a1+7d）=3a1+3d，整理可得d=4a1，又a1+a2+a3+a4+a5=60，即5a1+10d=60，即有a1+8a1=12，即a1=，即最小的1份为磅.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $