6.5.2 第1课时 平面与平面垂直-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

5.2　平面与平面垂直 第1课时　平面与平面垂直 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.从相关定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中平面与平面的垂直关系. 2.了解二面角的相关概念,平面与平面垂直的定义,会求简单的二面角问题. 3.归纳出平面与平面垂直的性质定理、判定定理,并会证明平面与平面的垂直关系. 1.半平面 一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为半平面. 2.二面角 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面 图形 表示法 二面角α⁃AB⁃β或二面角α⁃l⁃β或二面角P⁃AB⁃Q或二面角P⁃l⁃Q 3.二面角的平面角 定义 以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线的夹角称为二面角的平面角 图形 符号 ⇒∠AOB是二面角的平面角 4.直二面角 平面角是直角的二面角称为直二面角. 5.两个平面互相垂直 定义 两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直 画法 画两个互相垂直的平面时,通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图 记作 α⊥β |微|点|助|解| 　　构成二面角的平面角的三要素 　　“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个条件缺一不可.前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直. 6.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β 图形语言 作用 ①面面垂直⇒线面垂直;②作平面的垂线 |微|点|助|解| (1)平面与平面垂直的性质定理成立的条件有三个: ①两个平面垂直;②有一条直线在其中一个平面内;③这条直线垂直于两个平面的交线. (2)如果两个平面垂直,那么分别在这两个平面内的两条直线可能平行、相交(含垂直相交)或异面. 7.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 证面面 垂直 |微|点|助|解| (1)面面垂直的判定定理可简述为“线面垂直⇒面面垂直”.要证明平面与平面垂直,只需转化为证明直线与平面垂直,这充分说明了线面垂直与面面垂直的密切关系. (2)要判断两个平面的垂直关系,就需要固定其中一个平面,找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直. (3)观察空间图形时,不能以平面的观点去看待,平面上画的两直线成锐角或钝角,在空间中可能是垂直的. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个相交平面组成的图形叫作二面角. (　　) (2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b的夹角与这个二面角的平面角相等或互补. (　　) (3)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.即α⊥β,A∈α,A∈b,b⊥β⇒b⊂α. (　　) (4)如果平面α⊥平面β,那么平面α内的所有直线都垂直于平面β. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.已知直线l⊥平面α,则经过l且和α垂直的平面 (　　) A.有一个 B.有两个 C.有无数个 D.不存在 答案:C 3.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则 (　　) A.α∥γ B.α⊥γ C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能 答案:D 4.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,二面角A⁃BC⁃A1的平面角的大小等于_________. 答案:45° 题型(一)　二面角的求法 [例1]　在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,AA1=1,则二面角D1⁃BC⁃D的平面角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析:在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,AA1=1,∴CD1=. ∵BC⊥平面DCC1D1,CD1⊂平面DCC1D1,∴BC⊥CD1. 又平面D1BC∩平面BCD=BC,BC⊥CD, ∴∠D1CD为二面角D1⁃BC⁃D的平面角, cos∠D1CD===.∴二面角D1⁃BC⁃D的平面角的余弦值为.故选D. 答案:D 　　|思|维|建|模| 1.求二面角大小的步骤 (1)找出这个二面角的平面角; (2)证明这个角是二面角的平面角; (3)作出这个角所在的三角形,解这个三角形,求出角的大小. 2.确定二面角的平面角的方法 (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线. (2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线的夹角,即为二面角的平面角. 　　[针对训练] 1.如图,AB是圆的直径,PA⊥BC,C是圆上一点(不同于A,B),且PA=AC,则二面角P⁃BC⁃A的平面角为 (　　) A.∠PAC B.∠CPA C.∠PCA D.∠CAB 解析:选C　∵C是圆上一点(不同于A,B),AB是圆的直径,∴AC⊥BC.又PA⊥BC,AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC.而PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC.又平面ABC∩平面PBC=BC,PC∩AC=C,∴由二面角的定义,得∠PCA为二面角P⁃BC⁃A的平面角. 2.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别为AB,AA1的中点,则平面CEB1与平面D1FB1所成二面角的平面角的正弦值为_________. 解析:设棱长为1,延长CE,D1F,DA交于一点G,如图所示,所以B1C=,B1G=,CG=, 则B1C2+B1G2=CG2,故B1G⊥B1C. 同理B1D1⊥B1G,则∠CB1D1即为所求二面角的平面角,而D1C=B1D1=B1C=, 所以∠CB1D1=60°,其正弦值为. 答案: 题型(二)　平面与平面垂直的性质定理及其应用 [例2]　如图所示,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足. (1)求证:PA⊥平面ABC; (2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形. 证明:(1)如图,在平面ABC内取一点D,作DF⊥AC于F. ∵平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC, ∴DF⊥平面PAC. ∵PA⊂平面PAC, ∴DF⊥AP. 作DG⊥AB于G,同理可证DG⊥AP. ∵DG,DF都在平面ABC内,且DG∩DF=D, ∴PA⊥平面ABC. (2)如图,连接BE并延长,交PC于H. ∵E是△PBC的垂心, ∴PC⊥BH. 又已知AE⊥平面PBC,PC⊂平面PBC, ∴PC⊥AE. ∵BH∩AE=E,∴PC⊥平面ABE. ∵AB⊂平面ABE,∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB. ∵PC∩PA=P, ∴AB⊥平面PAC. ∵AC⊂平面PAC, ∴AB⊥AC,即△ABC是直角三角形. 　　|思|维|建|模| 面面垂直的性质定理的应用思路 　　在空间图形中,如已知条件中有面面垂直,一般需要作辅助线,考虑应用面面垂直的性质定理得到线面垂直,继而可得线线垂直.在运用面面垂直的性质定理时,找准两平面的交线是关键. [提醒]　在证明垂直问题时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等. 　　[针对训练] 3.已知长方体ABCD⁃A1B1C1D1,在平面AA1B1B上任取一点M,作ME⊥AB于点E,则 (　　) A.ME⊥平面ABCD B.ME⊂平面ABCD C.ME∥平面ABCD D.以上都有可能 解析:选A　∵ME⊂平面AA1B1B,平面AA1B1B∩平面ABCD=AB,且平面AA1B1B⊥平面ABCD,ME⊥AB,∴ME⊥平面ABCD. 4.如图,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,∠ACB=∠AA1C=90°,平面AA1C1C⊥平面ABC. (1)求证:AA1⊥A1B; (2)若AA1=2,BC=3,∠A1AC=60°,求点C到平面A1ABB1的距离. 解:(1)证明:因为平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC,BC⊥AC, 所以BC⊥平面AA1C1C. 又AA1⊂平面AA1C1C, 所以BC⊥AA1. 因为∠AA1C=90°,所以AA1⊥A1C. 又BC∩A1C=C, 所以AA1⊥平面A1BC. 又A1B⊂平面A1BC,所以AA1⊥A1B. (2)由(1)可知A1A⊥平面A1BC,A1A⊂平面A1ABB1, 所以平面A1BC⊥平面A1ABB1,且交线为A1B. 所以点C到平面A1ABB1的距离等于△CA1B的边A1B上的高,设其为h. 在Rt△AA1C中,A1A=2,∠A1AC=60°, 则A1C=2. 由(1)得BC⊥A1C, 所以在Rt△A1CB中,BC=3,A1B=, h===. 故点C到平面A1ABB1的距离为. 题型(三)　平面与平面垂直的判定定理及其应用 [例3]　如图,斜三棱柱ABC⁃A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB=90°,点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点,且BC=CA=AA1. (1)求证:平面ACC1A1⊥平面B1C1CB; (2)求证:BC1⊥AB1. 证明:(1)如图,设BC的中点为M,连接B1M. 因为点B1在底面ABC上的射影恰好是点M, 所以B1M⊥平面ABC. 又因为AC⊂平面ABC,所以B1M⊥AC. 又由BC⊥AC,B1M∩BC=M,且B1M,BC⊂平面B1C1CB,所以AC⊥平面B1C1CB. 因为AC⊂平面ACC1A1, 所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB. (2)连接B1C,因为AC⊥平面B1C1CB,且BC1⊂平面B1C1CB, 所以AC⊥BC1. 在斜三棱柱ABC⁃A1B1C1中,因为BC=CC1, 所以四边形B1C1CB为菱形. 所以B1C⊥BC1. 又因为B1C∩AC=C, 且B1C,AC⊂平面ACB1, 所以BC1⊥平面ACB1. 因为AB1⊂平面ACB1,所以BC1⊥AB1. 　　|思|维|建|模| 证明面面垂直常用的方法 (1)定义法:说明两个半平面所成的二面角是直二面角,其判定的步骤: ①找出两相交平面的平面角;②证明这个平面角是直角;③根据定义,这两个相交平面互相垂直. (2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”,其基本步骤: (3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面. 　　[针对训练] 5.如图,在圆锥PO中,AB是☉O的直径,C是上的点,D为AC的中点.证明:平面POD⊥平面PAC. 证明:如图,连接OC,因为OA=OC, D是AC的中点,所以AC⊥OD. 又PO⊥底面AOC,AC⊂底面AOC,所以AC⊥PO.因为OD,PO是平面POD内的两条相交直线,所以AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC,所以平面POD⊥平面PAC. 学科网（北京）股份有限公司 $