6.3 第2课时 空间中两条直线的位置关系-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“空间中两条直线的位置关系”核心知识点，先以基本事实4（空间平行线传递性）为基础，延伸至空间直线的平行、相交、异面三种位置关系，再通过等角定理解决角的关系问题，最终落脚于异面直线夹角的定义、范围及计算，构建从平面到空间、从基础到应用的学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学，设“微点助解”剖析关键概念（如异面直线夹角转化为平面角），通过题型分类（位置关系判定、定理应用、夹角计算）配例题与思维建模，培养学生空间观念（数学眼光）和逻辑推理（数学思维），例如例3通过作中位线平移直线求夹角。课中助教师引导学生转化空间问题，课后基础训练与针对练习助学生查漏补缺，强化知识掌握。

第2课时　空间中两条直线的位置关系 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解基本事实4及空间中的等角定理,并会应用它们解决一些简单问题. 2.掌握异面直线的夹角的概念及异面垂直,能求出一些较特殊的异面直线的夹角. 1.基本事实4 名称 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本 事实4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ⇒ a∥c 判断空间两条直线平行的依据 这一基本事实表述的性质通常称为空间平行线的传递性. 2.空间两条直线的位置关系 3.定理 文字 语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 图形 语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 4.异面直线的夹角 定义 前提 两条异面直线a,b 作法 过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b 结论 我们把a'与b'所成的不大于90°的角称为异面直线a,b的夹角 范围 记异面直线a与b的夹角为θ,则θ的取值范围是0°<θ≤90° 特殊 情况 当θ=90°时,a与b互相垂直,记作a⊥b 5.空间四边形 四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形. |微|点|助|解| (1)研究异面直线的夹角,就是通过平移把异面直线转化为相交直线.这是研究空间图形的一种基本思路,即把空间图形问题转化为平面图形问题. (2)异面直线夹角的大小不可以为0°,原因是若两直线的夹角为0°,则这两直线重合或平行,不可能异面.异面直线夹角的大小可以为90°,两条直线垂直,既包括相交垂直,也包括异面垂直. (3)两异面直线的夹角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线的夹角,也可能等于其补角. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线. (　　) (2)两条直线垂直,则一定相交. (　　) (3)两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行. (　　) (4)两条直线若不是异面直线,则必相交或平行. (　　) (5)两条直线无公共点,则这两条直线平行. (　　) (6)过平面外一点与平面内一点的连线,与平面内的任意一条直线均构成异面直线. (　　) (7)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×　(7)× 2.已知直线a∥直线b,直线b∥直线c,直线c∥直线d,则a与d的位置关系是 (　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 答案:A 3.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR= (　　) A.30° B.30°或150° C.150° D.30°或120° 答案:B 4.在正方体ABCD⁃EFGH中, (1)AH与FG的夹角是___________; (2)AE与GH的夹角是___________. 答案:(1)45°　(2)90° 题型(一)　空间中直线与直线的位置关系的判定 [例1]　空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是 (　　) A.平行 B.异面 C.相交或平行 D.平行或异面或相交均有可能 解析:根据条件作出示意图,容易得到以下三种情况均有可能,如图可知AB,CD有相交、平行、异面三种情况,故选D. 答案:D 　　|思|维|建|模| (1)判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断,而两条直线平行也可以用基本事实4判断. (2)判定两条直线是异面直线有定义法和排除法,由于使用定义判断不方便,故常用排除法,即说明这两条直线不平行、不相交,则它们异面. 　　[针对训练] 1.如图,正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系: (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是___________　　;  (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是___________; (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是___________; (4)直线AB与直线B1C的位置关系是__________. 解析:根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中,且没有交点,则两直线“平行”,所以(1)应该填“平行”.点A1,B,B1在一个平面A1BB1内,而C不在平面A1BB1内,则直线A1B与直线B1C“异面”.同理,直线AB与直线B1C“异面”.所以(2)(4)都应该填“异面”.直线D1D与直线D1C相交于D1点,所以(3)应该填“相交”. 答案:(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面 题型(二)　基本事实4及等角定理的应用 [例2]　如图,已知在棱长为a的正方体A1B1C1D1⁃ABCD中,M,N分别是棱CD,AD的中点.求证:四边形MNA1C1是梯形. 证明:如图,连接AC,在△ACD中, ∵M,N分别是CD,AD的中点, ∴MN是△ACD的中位线. ∴MN∥AC,MN=AC. 由正方体的性质得 AC∥A1C1,AC=A1C1, ∴MN∥A1C1, 且MN=A1C1. ∴MN≠A1C1. 易知NA1与MC1不平行, ∴四边形MNA1C1是梯形. 　　[变式拓展] 　若本例条件不变,试证明∠DNM=∠D1A1C1. 证明:由例题可知MN∥A1C1. 又ND∥A1D1, ∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补. 又∠DNM与∠D1A1C1均为锐角, ∴∠DNM=∠D1A1C1. |思|维|建|模| (1)空间两条直线平行的证明 一是定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点; 二是利用平面图形的有关平行的性质,如三角形中位线、梯形、平行四边形等关于平行的性质; 三是利用基本事实4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行. (2)求证角相等 一是用等角定理;二是用三角形全等或相似. 　　[针对训练] 2.如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点. 求证:∠NMP=∠BA1D. 证明:如图,连接CB1,CD1, ∵CD綉A1B1, ∴四边形A1B1CD是平行四边形. ∴A1D∥B1C. ∵M,N分别是CC1,B1C1的中点,∴MN∥B1C.∴MN∥A1D. ∵BC綉A1D1,∴四边形A1BCD1是平行四边形. ∴A1B∥CD1. ∵M,P分别是CC1,C1D1的中点,∴MP∥CD1. ∴MP∥A1B. ∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反.∴∠NMP=∠BA1D. 题型(三)　异面直线夹角的计算 [例3]　如图,P是平面ABC外一点,PA=4,BC=2,D,E分别为PC和AB的中点,且DE=3.求异面直线PA和BC夹角的大小. 解:如图, 取AC中点F,连接 DF,EF,在△PAC中, ∵D是PC中点,F是AC中点, ∴DF∥PA. 同理可得EF∥BC. ∴∠DFE为异面直线PA与BC 的夹角(或其补角). 在△DEF中,DE=3, 又DF=PA=2,EF=BC=, ∴DE2=DF2+EF2. ∴∠DFE=90°,即异面直线PA与BC的夹角为90°. 　　|思|维|建|模| 求异面直线夹角的一般步骤 (1)找角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线夹角的相关角; (2)证明:证明找出的角就是异面直线的夹角; (3)求角:求角度,一般常利用解三角形得出; (4)定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线的夹角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线的夹角. 　　[针对训练] 3.如图,三棱柱ABC⁃A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是 (　　) A.CC1与B1E是异面直线 B.C1C与AE共面 C.AE与B1C1是异面直线 D.AE与B1C1的夹角为60° 解析:选C　由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;因为AE与B1C1的夹角就是AE与BC的夹角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误. 4.如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,已知AB=BC=2,AA1=5,E为B1C1的中点,则异面直线BD与CE夹角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　取C1D1的中点F,连接EF,CF,B1D1,易知EF∥B1D1∥BD,所以∠CEF为异面直线BD与CE的夹角或其补角.因为EF=B1D1=,CE=CF===,所以由余弦定理得cos∠CEF====.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $