5.2.1 复数的加法与减法-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学复数的加法与减法，系统梳理复数代数形式的加、减运算法则（含法则、相反数、运算律），进而延伸至几何意义（向量加法与减法）及模的综合应用，构建从代数运算到几何直观再到综合问题的递进学习支架。 该资料以“逐点清”为核心设计，通过“多维理解”深化概念认知，“微点练明”强化运算能力，结合复平面向量培养数学眼光，通过推理与符号运算发展数学思维。如几何意义中用向量解释复数运算，典例分析提升综合应用能力，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺。

§2　复数的四则运算 2.1　复数的加法与减法 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 　[课时目标] 1.结合实数的加、减运算法则,熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则. 2.理解复数加法、减法运算的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题. 逐点清(一)　复数代数形式的加、减运算 [多维理解] 1.复数的加法运算法则 对任意两个复数a+bi和c+di(a,b,c,d∈R) 文字语言 两个复数的和仍是一个复数,两个复数的和的实部是它们的实部的和,两个复数的和的虚部是它们的虚部的和 符号语言 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 2.复数的相反数 给定复数z2,若存在复数z,使得z2+z=0,则称z是z2的相反数,记作z=-z2. 3.复数的减法运算法则 对任意的复数z1=a+bi和非零复数z2=c+di(a,b,c,d∈R) 文字语言 两个复数的差仍是一个复数,两个复数的差的实部是它们的实部的差,两个复数的差的虚部是它们的虚部的差 符号语言 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i 4.复数的加法运算律 对任意z1,z2,z3∈C,有 (1)z1+z2=z2+z1; (2)(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). [微点练明] 1.已知复数z1=1+3i,z2=3+i(i为虚数单位).复平面内,z1-z2对应的点在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选B　∵z1=1+3i,z2=3+i,∴z1-z2=-2+2i.故z1-z2在复平面内对应的点(-2,2)在第二象限. 2.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为 (　　) A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4 C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4 解析:选A　由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数, 故解得a=-3,b=-4. 3.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,则|z1+z2|=___________.  解析:因为z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i] =[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i =(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i, 所以解得 所以z1=3-2i,z2=-2+i,则z1+z2=1-i. 所以|z1+z2|=. 答案: 4.计算:(1)(1+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2i); (2)(i2+i)+|i|+(1+i); (3)(8-2i)-(-7+5i)+(3+7i). 解:(1)原式=(-1+3i)+(-2-i)+(1-2i) =(-3+2i)+(1-2i)=-2. (2)原式=(-1+i)++(1+i) =-1+i+1+1+i=1+2i. (3)原式=[8-(-7)+3]+(-2-5+7)i=15+3. 逐点清(二)　复数代数形式加、减运算的几何意义 [多维理解] 1.复数加、减法的几何意义 z1,z2,z3∈C,设,分别与复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)相对应,且,不共线 加法 减法 几何 意义 复数的和z1+z2与向量+=的坐标对应 复数的差z1-z2与向量-=的坐标对应 2.常见结论 在复平面内,O为坐标原点,z1,z2对应的点分别为A,B(O,A,B不共线),z1+z2对应的点为C,则四边形OACB为平行四边形;若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形. [微点练明] 1.如图,在复平面上,一个正方形的三个顶点A,B,O对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,那么这个正方形的第四个顶点C对应的复数为 (　　) A.3+i B.3-i C.1-3i D.-1+3i 解析:选D　因为=+,所以对应的复数为1+2i-2+i=-1+3i.所以点C对应的复数为-1+3i. 2.如图,设向量,,所对应的复数为z1,z2,z3,那么 (　　) A.z1-z2-z3=0 B.z1+z2+z3=0 C.z2-z1-z3=0 D.z1+z2-z3=0 解析:选D　由题图可知,+=0,所以+-=0.所以z1+z2-z3=0. 3.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求: (1)所表示的复数,所表示的复数; (2)对角线所表示的复数; (3)对角线所表示的复数及的长度. 解:(1)∵=-,∴所表示的复数为-3-2i.∵=,∴所表示的复数为-3-2i. (2)∵=-,∴所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)∵=+,∴所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,||==. 逐点清(三)　复数的模的综合问题 [典例]　(1)△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的 (　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 (2)设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为 (　　) A.0 B.1 C. D. 解析:(1)由复数模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A,B,C距离相等,所以P为△ABC的外心.故选A. (2)∵由|z+1|-|z-i|=0,得|z+1|=|z-i|,∴复数z表示以A(-1,0),B(0,1)为端点的线段的垂直平分线OM.设复数-i对应点C(0,-1),|z+i|表示点Z到点C(0,-1)的距离.当CM⊥OM时,|z+i|取到最小值|CM|.又|CM|=|OC|sin 45°=,∴|z+i|的最小值为. 答案:(1)A　(2)C 　　|思|维|建|模| 设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别为Z1(a,b),Z2(c,d),则|Z1Z2|=,又复数z1-z2=(a-c)+(b-d)i,则|z1-z2|=.故|Z1Z2|=|z1-z2|,即|z1-z2|表示复数z1,z2在复平面内对应的点之间的距离. 　　[针对训练] 　设z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|. 解:法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 由题设知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2.又∵(a+c)2+(b+d)2=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2,∴2ac+2bd=0.∵|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-(2ac+2bd)=2,∴|z1-z2|=. 法二:作出z1,z2对应的向量,,使+=.∵|z1|=|z2|=1,又,不共线(若,共线,则|z1+z2|=2或0与题设矛盾),∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形.又|z1+z2|=,∴∠Z1OZ2=90°,即四边形OZ1ZZ2为正方形,故|z1-z2|=. 学科网（北京）股份有限公司 $