4.2.3 三角函数的叠加及其应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学三角函数的叠加及其应用，以两角和与差的正弦、余弦公式为基础，推导三角函数叠加公式，进而实现将a sin α+b cos α化简为A sin(ωx+φ)形式，并应用于研究三角函数的图象与性质，构建从公式推导到性质探究的完整学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学设计，通过基础落实训练、三类典型题型（化简、求值、性质研究）及思维建模环节，培养学生的数学思维（如例2结合三角恒等变换推理求值）与数学语言表达（如用A sin(ωx+φ)模型描述函数性质）。课中助力教师分层教学，课后通过针对训练帮助学生巩固知识，有效查漏补缺。

2.3　三角函数的叠加及其应用 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　　[课时目标] 1.在两角和与差的正弦、余弦公式的基础上,推导出三角函数叠加公式. 2.能由三角函数的叠加公式化简为Asin(ωx+φ)形式. 3.利用三角函数的叠加公式研究三角函数的图象与性质问题. 1.三角函数的叠加公式 asin α+bcos α=sin(α+φ),其中sin φ=,cos φ=,tan φ=(a,b不同时为0,φ与点(a,b)同象限). 2.常见的叠加公式结论 sin x±cos x=sin; cos x±sin x=cos; sin x±cos x=2sin; cos x±sin x=2cos; sin x±cos x=2sin; cos x±sin x=2cos. 基础落实训练 1.2sin θ+2cos θ= (　　) A.sin B.2sin C.2sin D.sin 答案:C 2.函数f(x)=sin x-cos x的最小正周期为 (　　) A.π B.2π C. D.4π 解析:选B　因为f(x)=sin x-cos x=2=2sin,所以f(x)的最小正周期为2π. 3.sin 15°+sin 75°的值是__________.  解析:sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=sin(15°+45°)=sin 60°=. 答案: 题型(一)　由三角函数的叠加公式化简为Asin(ωx+φ)形式 [例1]　将下列各式化成Asin(ωx+φ)的形式: (1)sin+cos; (2)3sin x+4cos x; (3)-sin x-cos x. 解:(1)原式 = = =cos=cos =sin=sin. (2)3sin x+4cos x=5 =5sin(x+φ),其中锐角φ由确定. (3)-sin x-cos x=- =-sin. 　　|思|维|建|模| 三角函数的叠加公式的作用 三角函数的叠加公式将asin α+bcos α化为一个角α+φ(或α-φ),一个函数名称sin(α+φ)(或cos(α-φ)),因此也称为“化一”公式,其作用是研究函数y=asin α+bcos α=sin(α+φ)(或cos(α-φ))的性质,如周期性、单调性、最值等. 　　[针对训练] 1.化简cos x+sin x= (　　) A.2cos B.2cos C.2cos D.2cos 解析:选B　原式=2 =2=2cos. 2.(2024·上海高考)下列函数中,最小正周期是2π的是 (　　) A.y=sin x+cos x B.y=sin xcos x C.y=sin2x+cos2x D.y=sin2x-cos2x 解析:选A　y=sin x+cos x=sin,其最小正周期为2π,A正确; y=sin xcos x=sin 2x,其最小正周期为π,B错误; y=sin2x+cos2x=1,不存在最小正周期,C错误; y=sin2x-cos2x=-cos 2x,其最小正周期为π,D错误.故选A. 题型(二)　由三角函数的叠加公式化简求值 [例2]　(1)若sin x-cos x=2,x∈[0,2π),则x=__________.  (2)求值:(tan 10°-)sin 40°. 解析:(1)∵sin x-cos x=2 =2=2sin=2, ∴sin=1. 又∵x∈,∴x-∈. ∴x-=,即x=. 答案: (2)(tan 10°-)sin 40°=sin 40° =·sin 40° =·sin 40°= = ==-1. 　　|思|维|建|模|　应用叠加公式找角的三个注意点 (1)同一个角:在找角的过程中,一定要找“同一个角”的正、余弦,因为合角的理论基础是两角和与差的正、余弦公式,所以构造的正、余弦要同角. (2)灵活找角:找角可以灵活,不必拘于结论的形式,找角的要求很低,只需同一个角的正、余弦即可,所以可以从不同的角度构造角,从而利用不同的公式进行合角. (3)特殊角:看到特殊值,1,,时,一定要考虑引入特殊角,如果提完系数发现括号里不是特殊角的正、余弦,那么可用抽象的φ来代替,再在旁边标注φ的一个三角函数值. 　　[针对训练] 3.计算下列各式: (1); (2). 解:(1)原式= ==cos 15°=cos(60°-45°) =cos 60°cos 45°+sin 60°sin 45° =×+×=. (2)原式= = ===2. 题型(三)　利用三角函数的叠加公式研究三角函数的性质 [例3]　(1)[多选]已知函数f(x)=sin x+cos x+,则f(x)在下列区间上单调递增的是 (　　) A. B. C. D. (2)已知函数f(x)=cos 2x-sin 2x+2,则 (　　) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4 解析:(1)f(x)=sin x+cos x+ =sin+. 令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z, 可得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z. 当k=0时,函数f(x)在上单调递增, 又⊆,⊆,所以C、D满足题意; 当k=1时,函数f(x)在上单调递增,又⊆,所以A满足题意.故选ACD. (2)因为f(x)=cos 2x-sin 2x+2=2cos+2, 所以f(x)的最小正周期为T==π.当2x+=2kπ,k∈Z,即x=-+kπ,k∈Z时,f(x)有最大值为4. 答案:(1)ACD　(2)B 　　|思|维|建|模| 涉及三角函数性质的问题中常利用三角函数的叠加公式把函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用y=sin x的性质求解. 　　[针对训练] 4.函数y=sin(x+θ)+cos(x-θ)的图象关于y轴对称,θ∈[0,π],则θ= (　　) A. B. C. D. 解析:选D　依题意函数y=sin(x+θ)+cos(x-θ)的图象关于y轴对称,则sin+cos=sin+cos,得cos θ+sin θ=0,即2sin=0.由θ+=kπ,k∈Z,得θ=kπ-,k∈Z.因为θ∈[0,π],所以θ=.当θ=时,y=sin+cos=-sin x+cos x-cos x+sin x=-cos x,满足题意.故选D. 5.当a>0时,若asin x+bcos x有最小值-,acos x+b有最大值1,则a,b可以取的值为 (　　) A.a=2,b=-1 B.a=2,b=1 C.a=1,b=-2 D.a=1,b=2 解析:选A　由已知可得asin x+bcos x =sin,其中tan φ=,a>0,故当sin(x+φ)=-1时,有最小值-=-, 即a2+b2=5　①. 又acos x+b有最大值1,故当cos x=1时,有最大值a+b=1　②. 由①②可得b2-b-2=0,解得b=2或b=-1. 当b=2时,a=-1;当b=-1时,a=2.又a>0,故b=-1,a=2. 学科网（北京）股份有限公司 $