4.2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学两角和与差的正弦、正切公式及其应用，以两角和与差的余弦公式为基础推导公式，通过结构特征分析、逆用变形及角的拆分构建学习支架，系统覆盖公式推导、性质理解与求值化简等应用。 该资料采用梯度进阶式教学，通过“微点助解”深化公式本质理解，“思维建模”提炼解题策略，培养数学思维中的推理能力与数学语言表达。题型分类清晰，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用意识。

2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　　[课时目标] 1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式. 2.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决求值、化简等问题. 1.两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 两角和 的正弦 Sα+β sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β 两角差 的正弦 Sα-β sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β |微|点|助|解| 1.两角和与差的正弦公式的结构特征 (1)公式中的角α,β都是任意角. (2)一般情况下,两角和与差的正弦不能按分配律展开,即sin(α±β)≠sin α±sin β. 2.注意公式的逆向运用和变形运用 (1)公式的逆用:如sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin[(α+β)-β]=sin α. (2)公式的变形运用:变形运用涉及两个方面,一个是公式本身的变形运用,如sin(α-β)+cos αsin β=sin αcos β;一个是角的变形运用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现. 2.两角和与差的正切公式 名称 简记 符号 公式 使用条件 两角和 的正切 Tα+β tan(α+β)= α,β,α+β≠kπ+(k∈Z)且tan αtan β≠1 两角差 的正切 Tα-β tan(α-β)= α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)且tan αtan β≠-1 |微|点|助|解| 　　公式Tα±β的结构特征和符号规律 (1)使用条件:在两角和与差的正切公式中,角α,β,α+β,α-β均不等于kπ+(k∈Z),这是由正切函数的定义域决定的. (2)结构特征:公式Tα±β的右侧为分式形式,其中分子为tan α与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β的差或和. (3)符号规律:分子同,分母反. 3.常用结论 (1)变形公式 tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β); tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β); tan αtan β=1-. (2)公式的特例 tan=;tan=. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦公式中,角α,β是任意的. (　　) (2)sin(α+β)=sin α+sin β一定不成立. (　　) (3)sin 54°cos 24°-sin 36°cos 66°=. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√ 2.若tan α=3,tan β=,则tan(α-β)= (　　) A. B.- C.3 D.-3 解析:选A　原式===. 3.sin(30°+45°)=__________.  解析:sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45° =×+×=. 答案: 题型(一)　给角求值 [例1]　求下列各式的值: (1)cos 105°+sin 195°; (2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°; (3)sin-cos; (4); (5)tan 15°+tan 30°+tan 15°tan 30°. 解:(1)cos 105°+sin 195° =cos(90°+15°)+sin(180°+15°) =-sin 15°-sin 15°=-2sin 15° =-2sin(45°-30°) =-2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°) =-2=. (2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74° =sin 14°cos 16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°) =sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16° =sin(14°+16°)=sin 30°=. (3)法一:sin-cos =2 =2 =-2cos=-2cos =-2×=-. 法二:sin-cos=2 =2 =-2sin =-2sin=-2×=-. (4)原式==tan(60°+15°) =tan 75°=tan(30°+45°) ===2+. (5)∵tan 45°==1, ∴tan 15°+tan 30°=1-tan 15°tan 30°. ∴原式=(1-tan 15°tan 30°)+tan 15°tan 30°=1. 　　|思|维|建|模| 1.解决给角求值问题的策略 (1)注意分析式子的结构特点,合理选择正、余弦的和差角公式. (2)注意公式逆用过程中诱导公式的应用. (3)注意非特殊角与特殊角间的联系及将特殊值转化为特殊角三角函数. (4)注意对角的变形,即合理拆角或凑角. 2.公式的逆用和特殊角三角函数的逆用 当式子中出现,1,,这些特殊角的三角函数值时,往往就是“由值变角”的一种提示,可以根据问题的需要,将常数用三角函数式表示出来,以构成适合公式的形式,从而达到化简的目的. 　　[针对训练] 1.求下列各式的值: (1)sin 795°; (2); (3)tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°. 解:(1)sin 795°=sin(2×360°+75°)=sin 75° =sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30° =×+×=. (2)∵tan 15°=tan(45°-30°) ===2-, ∴== ==-. (3)tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50° =tan(10°+50°)(1-tan 10°tan 50°)+tan 10°tan 50° =-tan 10°tan 50°+tan 10°tan 50°=. 题型(二)　条件求值 [例2]　(1)(2024·全国甲卷)已知=,则tan= (　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- (2)已知α∈,β∈,且cos(α-β)=,sin β=-,求α. 解析:(1)根据题意有=,即1-tan α=,所以tan α=1-,所以tan===2-1,故选B. 答案:B (2)∵α∈,β∈, ∴α-β∈(0,π). ∵cos(α-β)=, ∴sin(α-β)=. ∵β∈,sin β=-, ∴cos β=. ∴sin α=sin[(α-β)+β] =sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β =×+×=. 又∵α∈, ∴α=. 　　|思|维|建|模|　条件求值、角问题的求解思路 (1)根据已知角与未知角之间的联系,运用拆角和凑角技巧、诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的三角函数公式进行变形,化未知为已知,从而达到求解的目的. (2)当角之间符合规律+=+(α+β),+=+(α-β)时,要配合使用诱导公式. (3)在给值求值、角的问题中要注意隐含条件,尤其是角的取值范围. (4)可以通过对条件等式的运算,得到cos αcos β,sin αsin β,sin αcos β,cos αsin β,tan α±tan β,tan αtan β 这些结构的值,把它们看作整体,直接代入公式求解. 　　[针对训练] 2.已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,则sin 2α=__________.  解析:∵<β<α<,∴0<α-β<. 又cos(α-β)=,∴sin(α-β)=. ∵sin(α+β)=-,π<α+β<, ∴cos(α+β)=-. ∴sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=-×-×=-. 答案:- 3.已知A,B都是锐角,且tan A=,sin B=,则A+B=__________.  解析:∵B为锐角,sin B=,∴cos B=. ∴tan B=.∴tan(A+B)===1.∵0<A+B<π,∴A+B=. 答案: 题型(三)　和(差)角公式的综合应用 [例3]　化简或求值: (1)sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°); (2). 解:(1)设α=θ+15°, 则原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)-cos α =+-cos α =0. (2)原式= = =- =-tan(α-β). 　　|思|维|建|模| 化简三角函数式的要求、方法 (1)标准和要求: ①能求出值的应求出值; ②使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少; ③使三角函数式的次数尽可能低; ④使分母中尽量不含三角函数式和根式. (2)常用方法: ①切化弦;②异名化同名;③异角化同角;④高次降低次. 　　[针对训练] 4.已知在锐角三角形ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=. (1)求证:tan A=2tan B; (2)求tan A的值. 解:(1)证明:sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,　① sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.　② ①+②得sin Acos B=, ①-②得cos Asin B=.∴=2. ∴=2,即tan A=2tan B. (2)∵A+B+C=π, ∴sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=. ∵△ABC是锐角三角形,∴cos C=. ∴tan C=.又tan(A+B)=-tan C=-, ∴==-,解得tan B=或tan B=(舍去).∴tan A=2+. 学科网（北京）股份有限公司 $