6.1余弦定理与正弦定理 第三课时 用余弦定理、正弦定理解三角形-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

第三课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 能用余弦定理、正弦定理解决简单的几何问题 通过余弦定理 、正弦定理的应用,提升 逻辑推理,数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　我国南宋数学家秦九韶(约１２０２~１２６１)独 立地发现了求三角形面积的方法．他把三角形的 三边分别叫作大斜、中斜、小斜(如图),他在著作 «数书九章»卷五中记述:“以小斜幂并大斜幂减 中斜幂,余半之,自乘于以;以小斜幂乘大斜幂, 减上,余四约之．为实;一为从隅,开平方得积．” 用 今 天 的 符 号 来 表 示 即 是 S ＝ １４ a ２c２－ c ２＋a２－b２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ [ ]． 问题　你能用所学的知识证明这个结论吗? [知识梳理] [知识点一]　三角形的面积公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 (１)S＝１２a 􀅰ha(ha 为a边上的高); (２)S＝１２absinC＝ １ ２bcsinA＝ １ ２acsinB ; (３)S＝１２ 􀅰r􀅰(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． [知识点二]　几个重要结论 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋在△ABC中, (１)若sin２A＝sin２B,则A＝B或A＋B＝π２ ; (２)若cosA＝cosB,则　　　　; (３)若a２＞b２＋c２,则△ABC为　　　　　; (４)若a２＝b２＋c２,则△ABC为　　　　　; (５)若a２＜b２＋c２且b２＜a２＋c２且c２＜a２＋b２,则 △ABC为　　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 　解三角形问题需注意哪些? [预习自测] １．在△ABC中,若b＝２,A＝１２０°,其面积S＝３,则 △ABC外接圆的半径为 (　　) A．３　　　　　　　　B．２ C．２ ３ D．４ ２．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a, b,c．若c２＝(a－b)２＋６,C＝π３ ,则△ABC的 面积是 (　　) A．３ B．９ ３２ C．３ ３２ D．３ ３ ３．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知b＋c＝２a,sinCsinA＝ ４c ３b ,则cosB＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 有关线段长度或夹角计算 [例１]　如图所示,在梯形ABCD 中,AD∥BC, AB＝５,AC＝９,∠BCA＝３０°,∠ADB＝４５°, 求BD的长． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　选择适当的三角形,合理利用 正、余弦定理解题． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５９􀅰 第二章　平面向量及其应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解决与三角形长度有关的问题的策略 (１)若已知条件在同一个三角形中．则直接利 用正、余弦定理求解． (２)若已知条件及所求线段在多个三角形中, 要根据条件选择适当的三角形,再利用 正、余弦定理求解． 􀳀[变式训练] １．如图,已知梯形ABCD 中, AB∥CD,CD ＝２,AC＝ １９,∠BAD ＝６０°,DE ⊥ AB,求梯形的高． 与面积有关的问题 [例２]在△ABC 中,已知B＝３０°,AB＝２ ３, AC＝２,求△ABC的面积． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据所给条件,需先运用正弦定 理求出边BC,再代入S＝１２acsinB 计算． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．在已知三角形一角求其面积时常运用公 式S＝１２absinC＝ １ ２bcsinA＝ １ ２acsinB 求解． ２．在已知两边及一边的对角运用正弦定理 求另一边时应注意对解的个数的判定不 能漏解,若有两解一般面积也有两个不 同的值． ３．已知三边求面积时,可用余弦定理求出 一个角的余弦进而求出它的正弦值,再 代入面积公式,也可直接用海伦公式 S＝ p(p－a)(p－b)(p－c)p＝１２ (a＋b＋c)æ è ç ö ø ÷ 来计算． ４．若所求面积的图形不规则,可通过作辅 助线或其他途径构造三角形转化为三角 形的面积;而对于面积的最值问题常利 用函数的方法解决． 􀳀[变式训练] ２．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sinA＋ ３cosA＝０,a＝２ ７,b＝２． (１)求c; (２)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD 的面积． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６９􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 　三角形中的边角等式的证明 [例３]在△ABC中,角A,B,C的对应边分别为a, b,c,且sin(A－B)＝sinAcosB－sinBcosA． 求证:a ２－b２ c２ ＝sin (A－B) sinC ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)运用正、余弦定理把左边 转化为角的式子,再推到右边． (２)运用正、余弦定理把右边角的式子转化 为边的式子,再推到左边． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三角形中的有关证明问题基本方法同三角 恒等式的证明,但要注意灵活地运用正弦 定理或余弦定理使混合的边、角关系统一 为边的关系或角的关系,使之转化为三角 恒等式的证明,或转化为关于a,b,c的代 数恒等式的证明,并注意三角形中的有关 结论的运用． 􀳀[变式训练] ３．在△ABC中,求证: a２－b２ cosA＋cosB＋ b２－c２ cosB＋cosC＋ c２－a２ cosC＋cosA ＝０,其中sin２A＋cos２A＝１． 三角形中的综合问题 [例４]　已知△ABC的角A,B,C所对的边分别 是a,b,c,设 向 量 m＝(a,b),n＝(sinB, sinA),p＝(b－２,a－２)． (１)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形; (２)若m⊥p,边长c＝２,C＝π３ ,求△ABC的 面积． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据向量的平行与垂直,把向 量问题转化为三角形问题解决． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解三角形综合问题的方法 (１)三角形中的综合应用问题常常把正弦 定理、余弦定理、三角形面积公式等知 识联系在一起．要注意选择合适的方 法、知识进行求解． (２)解三角形常与向量、三角函数知识综合 考查,解答此类题目,首先要正确应用 所学知识“翻译”题目条件．然后要根据 题目条件和要求选择正弦或余弦定理 求解． 􀳀[变式训练] ４．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 AB →􀅰AC → ＝BA →􀅰BC → ＝１． (１)求证:A＝B; (２)求边长c的值; (３)若|AB → ＋AC → |＝ ６,求△ABC的面积． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７９􀅰 第二章　平面向量及其应用 １．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知 A＝π４ ,b＝４,且△ABC的面积为２,则a＝ (　　) A．２ ３　　B．１０　　C．２ ２　　D．６ ２．在△ABC中,若满足sin２A＝sin２B＋ ３sinB 􀅰sinC＋sin２C,则A等于 (　　) A．３０° B．６０° C．１２０° D．１５０° ３．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、 b、c,且C＝π３ ,a＋b＝λ,若△ABC面积的最大 值为９ ３,则λ的值为 (　　) A．８ B．１２ C．１６ D．２１ ４．若锐角△ABC的面积为１０ ３,且AB＝５,AC ＝８,则BC等于　　　　． ５．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝ －３５ ,其中cos(A＋B)＝cosAcosB－sinA sinB． (１)求sinA的值; (２)若a＝４ ２,b＝５,求c． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第四课时　余弦定理、正弦定理的应用举例 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活 中的实际问题 ２．巩固深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法 通过运用余弦定理、正弦定理建立数学模型, 解决简单的实际问题,提升数学建模素养．通 过利用余弦、正弦定理求解距离、高度、角度 问题,培养数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　中国海监船肩负着我 国海域的维权、执法使命．某 时某中国海监船位于中国南 海的A处,与我国海岛B相 距s海里．据观测得知有一外 国探油船位于我国海域C处进行非法资源勘探,这 艘中国海监船奉命以v海里/小时的速度前去驱 逐．假如能测得∠BAC＝α,BC＝m 海里,你能根 据上述数据计算出它赶到C处的时间吗? 要解 决这个问题,就需要用到解三角形的相关知识． 问题　解三角形的实际应用有哪些常见问题? [知识梳理] [知识点一]　测量中的常见角 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 名称 意义 图示 方位角 从正北方向顺时针 转到目标方向线的 最小　　　． 方向角 正北或正南方向线 与目标方向线所成 的　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８９􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 变式训练 ２．C　[∵ asinA＝ b sinB ,A＝６０°,a＝４ ３,b＝４ ２, ∴sinB＝b 􀅰sinA a ＝ ４ ２× ３２ ４ ３ ＝ ２２． ∵０°＜B＜１８０°, ∴B＝４５°或１３５°． 又∵４ ３＞４ ２,∴B＝４５°．] [例３]　[解]　由已知b＋aa ＝ sinB sinB－sinA＝ b b－a． ∴b２－a２＝ab, ① 又２sinAsinB＝２sin２C,由正弦定理得２ab＝２c２． ② 由①②,得b２＝a２＋c２． ∴该三角形是以B 为直角的直角三角形． 变式训练 ３．D　[∵在△ABC中,a２tanB＝b２tanA, ∴由正弦定理,得sin ２AsinB cosB ＝ sin２BsinA cosA ． 又sinA≠０,sinB≠０,∴sinAcosB＝ sinB cosA． ∴sinAcosA＝sinBcosB,即 １ ２sin２A＝ １ ２sin２B ,即sin２A＝sin２B, ∴A＝B 或２A＝π－２B,即A＝B 或A＋B＝π２ , ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．] [例４]　[解]　(１)证明:在 Rt△ABC中,∵AB＝AD, ∴∠ADB＝∠ABC＝β． ∵α＝π２－∠BAD＝ π ２－ (π－２β)＝２β－ π ２ , ∴sinα＝sin ２β－ π ２( ) ,即sinα＝－sin π ２－２β( )． ∴sinα＝－cos２β,∴sinα＋cos２β＝０． (２)在△ADC中,根据正弦定理得 AC sin∠ADC＝ DC sinα． 又AC＝ ３DC,∠ADC＝π－β, ∴ ３DCsin(π－β) ＝ DCsinα ,∴sinβ＝ ３sinα． 由(１)知sinα＝－cos２β,∴sinβ＝－ ３cos２β． ∴２ ３sin２β－sinβ－ ３＝０, 解得sinβ＝ ３ ２ 或－ ３３． ∵０＜β＜ π ２ ,∴sinβ＝ ３ ２ ,∴β＝ π ３． 变式训练 ４．D　[由３b＝２ ３asinB,得 bsinB＝ ２ ３a ３ , 根据正弦定理得 b sinB＝ a sinA , 所以 a sinA＝ ２ ３a ３ ,即sinA＝ ３２． 又角A 是锐角,所以A＝６０°． 又cosB＝cosC,且B,C都为三角形的内角, 所以B＝C． 故△ABC为等边三角形,故选 D．] 随堂步步夯实 １．B　[由 asinA＝ b sinB ,可得a∶b＝sinA∶sinB,故选B．] ２．A　[利用正弦定理化简sinC＝２sinA,得AB＝２BC,∵BC ＝ ５,∴AB＝２ ５．] ３．A　[由a＝２bsinA,得sinA＝２sinBsinA．因为sinA≠０, 所以２sinB＝１,即sinB＝１２． 又０°＜B＜１８０°,所以角B 等 于３０°或１５０°．故选 A．] ４．解析:因为A＝６０°,B＝３０°,所以C＝９０°,由正弦定理 bsinB＝ c sinC ,得b＝１２c． 又c＋b＝１２,所以c＝８,b＝４． 答案:８　４ ５．解:(１)因为AC＝２,∠A＝π３ ,sin∠CDA＝２ ２３ , 所以结合正弦定理可得,CD ３ ２ ＝ ２ ２ ２ ３ ,解得CD＝３ ６４ ． (２)在△ADC中, ADsin∠ACD＝ AC sin∠ADC ,① 在△BDC中, DBsin∠BCD＝ CB sin∠BDC ,② 又sin∠ADC＝sin∠BDC,AD＝２DB, sin∠ACD＝ ７sin∠BCD, 所以结合①②可得CB＝ ７． 第三课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 课前预习学案　情境引入 　提示:S＝１２acsinB＝ １ ２ac １－cos ２B ＝１２ac １－ a２＋c２－b２ ２ac( ) ２ ＝ １４ a ２c２－ c ２＋a２－b２ ２( ) ２ [ ] ． 知识梳理　知识点二 (２)A＝B　(３)钝角三角形　(４)直角三角形　(５)锐角三角形 [思考] 　提示:(１)解决三角形中的综合问题需注意 解三角形与三角函数结合的题目是最近几年高考的一个趋 势,解决此类问题常以三角形为载体,以正、余弦定理和三角 函数公式为工具来综合考查,因此掌握正、余弦定理、三角函 数的公式和性质是解题的关键． (２)解几何计算问题的注意点 ①几何计算问题一般涉及三角形或多边形的边长、角度、面 积等,解题时要充分挖掘几何图形的性质． ②分析图形中涉及的三角形或多边形,将所求问题归结到 尽可能少的三角形中． ③合理利用正、余弦定理,选用恰当的计算公式． 预习自测 １．B　２．C　３．－１４ 课堂互动学案 [例１]　[解]　在△ABC中,AB＝５,AC＝９,∠BCA＝３０°． 由正弦定理得 AB sin∠BCA＝ AC sin∠ABC , ∴sin∠ABC＝ACsin∠BCAAB ＝ ９sin３０° ５ ＝ ９ １０． ∵AD∥BC,∴∠BAD＝１８０°－∠ABC, 于是sin∠BAD＝sin(１８０°－∠ABC)＝sin∠ABC＝９１０． 同理,在△ABD 中,AB＝５,sin∠BAD＝ ９１０ ,∠ADB＝４５°, AB sin４５°＝ BD sin∠BAD , 即 ５ ２ ２ ＝BD９ １０ ,解得BD＝９ ２２ ． 变式训练 １．解:∵∠BAD＝６０°,∴∠ADC＝１２０°． 在△ACD 中,AC＝ １９,CD＝２,∠ADC＝１２０°, 由余弦定理,得 AC２＝AD２＋DC２－２AD􀅰DCcos∠ADC, 即( １９)２＝AD２＋２２－４ADcos１２０°, 整理得AD２＋２AD－１５＝０, ∴AD＝３或AD＝－５(舍去)． ∴DE＝ADsin６０°＝３ ３２ ,所以梯形的高为３ ３ ２ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０４２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 [例２]　[解]　由正弦定理,得sinC＝AB 􀅰sinB AC ＝ ３ ２ , 又AB􀅰sinB＜AC＜AB,故该三角形有两解: C＝６０°或１２０°． ∴当C＝６０°时,A＝９０°,S△ABC＝ １ ２AB 􀅰AC􀅰sinA＝２ ３; 当C＝１２０°时,A＝３０°,S△ABC＝ １ ２AB 􀅰AC􀅰sinA＝ ３． ∴△ABC的面积为２ ３或 ３． 变式训练 ２．解:(１)由已知得tanA＝－ ３,所以∠BAC＝２π３ , 在△ABC中,由余弦定理得, ２８＝４＋c２－４ccos２π３ ,即c２＋２c－２４＝０, 解得c＝－６(舍去),c＝４． (２)由 题 设 可 得 ∠CAD ＝ π２ ,所 以 ∠BAD ＝ ∠BAC－ ∠CAD＝π６ , 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为 １ ２AB 􀅰AD􀅰sinπ６ １ ２AC 􀅰AD ＝１, 又△ABC的面积为１２×４×２sin∠BAC＝２ ３ ,所以△ABD 的面积为 ３． [例３]　[证明]　由余弦定理得 a２＝b２＋c２－２bccosA,b２＝a２＋c２－２accosB, 得a２－b２＝b２－a２－２bccosA＋２accosB, 即a２－b２＝c(acosB－bcosA), 变形得a ２－b２ c２ ＝acosB－bcosAc ＝ a ccosB－ b ccosA , 由正弦定理 a sinA＝ b sinB＝ c sinC ,得a c ＝ sinA sinC , b c ＝ sinB sinC , ∴a ２－b２ c２ ＝sinAcosB－sinBcosAsinC ＝ sin(A－B) sinC ． ∴等式成立． 变式训练 ３．证明:∵ a ２－b２ cosA＋cosB＝ (２RsinA)２－(２RsinB)２ cosA＋cosB ＝４R ２[(１－cos２A)－(１－cos２B)] cosA＋cosB ＝４R ２(cos２B－cos２A) cosA＋cosB ＝４R２(cosB－cosA)． 同理: b ２－c２ cosB＋cosC＝４R ２(cosC－cosB); c２－a２ cosC＋cosA＝４R ２(cosA－cosC)． ∴左 边 ＝４R２ (cosB－cosA)＋４R２ (cosC－cosB)＋ ４R２(cosA－cosC)＝０． 左边＝右边,故原等式成立． [例４]　[解]　(１)证明:∵m∥n,∴asinA＝bsinB． ∴a􀅰a２R＝b 􀅰b ２R (２R 为△ABC外接圆直径), ∴a２＝b２,∴a＝b, ∴△ABC为等腰三角形． (２)由题意可知m􀅰p＝０,即a(b－２)＋b(a－２)＝０． ∴a＋b＝ab． 由余弦定理得４＝a２＋b２－ab＝(a＋b)２－３ab, ∴(ab)２－３ab－４＝０,∴ab＝４或－１(舍去), ∴S△ABC＝ １ ２absinC＝ １ ２×４×sin π ３＝ ３． 故△ABC的面积为 ３． 变式训练 ４．解:(１)证明:∵AB→􀅰AC→＝BA→􀅰BC→, ∴bccosA＝accosB,即bcosA＝acosB． 由余弦定理得b􀅰b ２＋c２－a２ ２bc ＝a 􀅰a ２＋c２－b２ ２ac , ∴a＝b,∴A＝B． (２)∵AB→􀅰AC→＝１,∴bccosA＝１． 由余弦定理得bc×b ２＋c２－a２ ２bc ＝１ , 即b２＋c２－a２＝２． ∵由(１)得a＝b,∴c２＝２,∴c＝ ２． (３)∵|AB→＋AC→|＝ ６, ∴|AB→|２＋|AC→|２＋２AB→􀅰AC→＝６, 即c２＋b２＋２＝６,∴c２＋b２＝４． ∵c２＝２,∴b２＝２,b＝ ２．∴△ABC为正三角形． ∴S△ABC＝ １ ２× ２× ２×sin６０°＝ ３ ２． 随堂步步夯实 １．B　[根据三角形的面积公式可得２＝１２bc 􀅰sinA,所以２＝ １ ２×４c×sin π ４ , 所以c＝ ２, 由余弦定理可得a２＝b２＋c２－２bccosA＝１６＋２－２×４× ２ × ２２＝１０ ,所以a＝ １０．] ２．D　[由正弦定理得a２＝b２＋c２＋ ３bc, 所以b２＋c２－a２＝－ ３bc, 所以b ２＋c２－a２ ２bc ＝－ ３ ２＝cosA , 因为０°＜A＜１８０°,所以A＝１５０°．故选 D．] ３．B　[由三角形的面积公式可得,S△ABC＝ １ ２absinC＝ ３ ４ab≤ ３ ４ 􀅰 a＋b ２( ) ２ ＝ ３１６λ ２,当且仅当a＝b时取“＝”,令 ３１６λ ２＝ ９ ３,解得λ＝１２,故选B．] ４．解析:S＝１２AB 􀅰AC􀅰sinA,∴sinA＝ ３２ , 在锐角三角形中A＝π３ ,由余弦定理 BC＝ AB２＋AC２－２AB􀅰AC􀅰cosA＝７． 答案:７ ５．解:(１)由cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝－３５ , 得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－３５ , 则cos(A－B＋B)＝－３５ , 即cosA＝－３５． 又０＜A＜π, 则sinA＝４５． (２)根据余弦定理,有 (４ ２)２＝５２＋c２－２×５c× －３５( ) , 解得c＝１或c＝－７(负值舍去)． 第四课时　余弦定理、正弦定理的应用举例 课前预习学案　情境引入 　提示:测量距离,测量高度,测量角度等． 知识梳理　知识点一 　正角　锐角 [思考] １．提示:(１)不是．方向角是从指定方向线到目标方向线的小于 ９０°的水平角,而方位角是从正北方向顺时针转到目标方向 线所成的角． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１４２􀅰 参考答案