2.2.1 向量的加法-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦向量加法核心知识点，从位移合成引入，系统梳理向量加法的定义、三角形法则与平行四边形法则的区别联系，以及交换律、结合律等运算律，为后续向量减法学习搭建梯度进阶的学习支架。 资料以梯度进阶式教学为特色，通过船航行、飞机飞行等实例培养学生用数学眼光观察现实世界，题型示例中的思维建模环节发展数学思维，向量表示实际问题提升数学语言表达能力。课中助力教师系统授课，课后学生可借助变式拓展和针对训练查漏补缺。

§2　从位移的合成到向量的加减法 2.1　向量的加法 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　[课时目标] 1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算规则. 2.理解平面向量加法的几何意义,会用向量的三角形法则和平行四边形 法则作两个向量的和向量. 3.掌握向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量的计算. 1.向量加法的定义 求两个向量和的运算,称为向量的加法. 2.向量加法的两种法则 已知两个不共线的向量a,b,在平面内任取一点A,作有向线段=a,=b,以有向线段和为邻边作▱ABCD,则有向线段表示的向量即为向量a与b的和,记作a+b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则 作有向线段=a,以有向线段的终点为起点,作有向线段=b,连接A,C得到有向线段,也可以表示向量a与b的和.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则 |微|点|助|解| 平行四边形法则与三角形法则的区别与联系 区别 (1)三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调“共起点”. (2)三角形法则适用于所有的非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和 联系 平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方法,通过向量平移能相互转化,解决具体问题时视情况而定 3.向量加法的运算律 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 交换律 a+b=b+a |微|点|助|解| (1)向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立. (2)因为向量的加法满足交换律和结合律,所以多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合进行.如(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d),a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e). 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量. (　　) (2)对于任意两个向量,都可利用平行四边形法则求出它们的和向量. (　　) (3)如果a,b是共线的非零向量,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)× 2.在△ABC中,必有++等于 (　　) A.0　　　 B.0 C.任一向量 D.与三角形形状有关 答案:B 3.在正方形ABCD中,||=1,则|+|=__________.  答案: 题型(一)　向量加法法则的应用 [例1]　(1)如图甲所示,求作向量a+b; (2)如图乙所示,试用三角形法则作向量a+b+c. 解:(1)首先作向量=a,然后作向量=b,则向量=a+b.如图所示. (2)如图所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,再作向量=b,则得向量=a+b,然后作向量=c,则向量=(a+b)+c=a+b+c. 　　[变式拓展] 本例(2)条件不变,试用平行四边形法则作a+b+c. 解:如图所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,=b,=c,以OA,OB为邻边作▱OADB,连接OD,则=+=a+b.再以OD,OC为邻边作▱ODEC,连接OE,则=+=a+b+c. 　　|思|维|建|模| 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”,即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量. (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合. (3)求作三个或三个以上的向量的和时,用三角形法则更简单. 　　[针对训练] 1.已知向量a,b,c,如图,求作a+b+c. 解:在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,如图,则由向量加法的三角形法则,得=a+b,=a+b+c. 题型(二)　向量加法及其运算律 [例2]　如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,化简下列各式: (1)+;(2)+;(3)++. 解:如题图,由已知得四边形DFCB为平行四边形,由向量加法的运算法则可知: (1)+=+=. (2)+=+=. (3)++=++=. 　　[变式拓展] 1.在本例条件下,求+. 解:因为BC∥DF,BD∥CF,所以四边形BCFD是平行四边形,所以+=. 2.在本例图形中求作向量++. 解:过A作AG∥DF交CF的延长线于点G,则+=,作=,连接DH,则=++,如图所示. 　　|思|维|建|模| 向量加法运算的注意点 (1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算. (2)要灵活运用向量加法的运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0. 　　[针对训练] 2.如图,在矩形ABCD中,O为AC与BD的交点,则++= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则,得++=+=. 3.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则++=__________.  解析:++=++=. 答案: 题型(三)　向量加法的实际应用 [例3]　在静水中船的速度为20 m/min,水流的速度为10 m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向. 解:作出图形,如图.船速v船与岸的方向成α角,由图可知v水+v船=v实际,结合已知条件,四边形ABCD为平行四边形, 在Rt△ACD中, ||=||=v水=10 m/min, ||=|v船|=20 m/min, ∴cos α===. ∴α=60°,从而船与水流方向成120°角. 故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向. 　　[变式拓展] 　若本例条件不变,则经过3小时,该船的实际航程是多少? 解:由题意可知||=||, 即v实际=v船=×20=10(m/min) =(km/h), 则经过3小时,该船的实际航程是3×=(km). 　　|思|维|建|模|　 应用向量解决平面几何问题的基本步骤 表示 用向量表示有关量,将所要解答的问题转化为向量问题 运算 应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将有关向量进行运算,解答向量问题 还原 根据向量的运算结果,结合向量共线、相等等概念回答原问题 　　[针对训练] 4.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地,然后向C地飞行,已知C地在A地东偏北30°的方向处,且A,C两地相距300 km,求飞机从B地到C地飞行的方向及B,C间的距离. 解:如图所示,=+,∠BAC=90°,||=||=300 km, 所以||=300 km. 又因为∠ABC=45°,且A地在B地的东偏南60°的方向处,可知C地在B地的东偏南15°的方向处. 故飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°,B,C两地间的距离为300 km. 学科网（北京）股份有限公司 $