1.8 三角函数的简单应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦三角函数模型的简单应用这一核心知识点，衔接三角函数图象与性质（如参数A、ω、φ的确定），通过例题解析、思维建模及针对训练，搭建从知识理解到实际问题解决的学习支架。 资料以气温变化、摩天轮运动等生活实例为载体，采用习题讲评式教学，引导学生用数学眼光观察周期现象，通过参数分析与模型构建发展数学思维，以三角函数表达式精准描述问题提升数学语言能力。课中助力教师系统授课，课后训练帮助学生巩固知识，查漏补缺。

§8　三角函数的简单应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 2.能够利用三角函数模型的图象和性质解决简单的实际问题. 题型(一)　已知三角函数图象解决应用问题 [例1]　某市某日气温y(℃)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,下面是该天不同时间的气温预报数据: t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/℃ 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7 根据上述数据描出的曲线如图所示,经拟合,该曲线可近似地看成函数y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象. (1)根据以上数据,试求函数y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π)的表达式; (2)大数据统计显示,某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润,但对室外温度的要求是气温不能低于23 ℃,根据(1)中所得模型,一个24小时营业的商家想获得最大利润,应在什么时间段(用区间表示)将该种商品放在室外销售?(忽略商品搬运时间及其他非主要因素) 解:(1)由函数图象,可得解得b=20,A=6. 又由=15-3=12,解得T=24,所以ω==. 因为t=3时,可得y=14,即6sin+20=14,解得sin=-1, 即+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z. 又因为|φ|<π,所以φ=-. 所以y=6sin+20,t∈[0,24]. (2)令y≥23,即6sin+20≥23,可得sin≥, 则+2kπ≤t-≤+2kπ,k∈Z,解得11+24k≤t≤19+24k,k∈Z. 又因为t∈[0,24],所以当k=0 时,可得11≤t≤19. 所以一个24小时营业的商家想获得最大利润,应在t∈[11,19]时间段将该种商品放在室外销售. 　　|思|维|建|模| 已知三角函数图象解决应用问题,首先由图象确定三角函数的解析式,其关键是确定参数A,ω,φ,同时在解题中注意各个参数的取值范围. 　　[针对训练] 1.某用电器电流I(mA)随时间t(s)变化的关系式为I(t)=Asin(ωt+φ),如图是其部分图象. (1)求I(t)=Asin(ωt+φ)的解析式; (2)若该用电器核心部件有效工作的电流|I|必须大于150 mA,则在1个周期内,该用电器核心部件的有效工作时间是多少?(电流的正负表示电流的正反方向) 解:(1)∵周期T=2×=, ∴ω==150π. 又A=300,∴I(t)=300sin(150πt+φ). 将点代入上式,得sin=0. 又|φ|<,∴φ-=0,即φ=. ∴I(t)=300sin. (2)当t∈时,此时150πt+∈. 令|I(t)|=>150, 则sin>或sin<-, 即<150πt+<或<150πt+<, 解得0<t<或<t<. 由-0=,-=, 得在1个周期内,该用电器核心部件的有效工作时间是+= s. 题型(二)　已知三角函数解析式解决应用问题 [例2]　已知某地某天从6时到22时的温度变化曲线近似地满足函数y=10sin+20. (1)求该地这一天该时间段内温度的最大温差; (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以存活,则在这段时间内,该细菌最多能存活多长时间? 解:(1)由x∈[6,22],有x-∈. 当x-=-或x-=,即x=6或x=22时,y有最小值10,此时得到最低温度10 ℃; 当x-=,即x=14时,y有最大值30,此时得到最高温度30 ℃. 故该地这一天该时间段内温度的最大温差为30-10=20 ℃. (2)由15≤10sin+20≤25, 得-≤sin≤. 由x-∈,有-≤x-≤或≤x-≤, 解得≤x≤或≤x≤, -=,-=, 故该细菌能存活的最长时间为小时. 　　|思|维|建|模| (1)已知函数模型y=Asin(ωx+φ)+b,观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数,从而确定函数解析式,其中,利用最大(小)值求A,b,利用周期求ω,利用特殊点求φ. (2)解决此类问题的关键是将图形语言转化为符号语言,其中,读图、识图、用图是数形结合的有效途径. 　　[针对训练] 2.心脏跳动时,血压在增加或减少,血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压,血压计上的读数就是收缩压、舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足P(t)=115+25sin(160πt),其中P(t)为血压(mmHg),t为时间(min). (1)求此人每分钟心跳的次数; (2)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值进行比较. 解:(1)函数P(t)=115+25sin(160πt)的最小正周期T==,根据题意可知,在一个周期内,心脏跳动一次,所以此人每分钟心跳的次数为=80. (2)由题意得,P(t)max=115+25=140,P(t)min=115-25=90,所以此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg,与标准值120/80 mmHg相比较,此人血压偏高. 题型(三)　三角函数模型的建立及应用 [例3]　如图所示,天津之眼,全称天津永乐桥摩天轮,是世界上唯一一个桥上瞰景摩天轮,是天津的地标之一.永乐桥分上下两层,上层桥面预留了一个长方形开口,供摩天轮轮盘穿过,摩天轮的直径为110米,外挂装48个透明座舱,在电力的驱动下逆时针匀速旋转,转一圈大约需要30分钟.现将某一个透明座舱视为摩天轮上的一个点P,当点P到达最高点时,距离下层桥面的高度为113米,点P在最低点处开始计时. (1)试确定在时刻t(单位:分钟)时点P距离下层桥面的高度H(单位:米); (2)若转动一周内某一个摩天轮透明座舱在上下两层桥面之间的运动时间大约为5分钟,问上层桥面距离下层桥面的高度约为多少米?(结果保留两位小数) 解:(1)如图所示,建立平面直角坐标系.由题意可知OP在t分钟内所转过的角为×t=t,因为点P在最低点处开始计时,所以以Ox为始边,OP为终边的角为t-,所以点P的纵坐标为55sin,则H=55sin+=58-55cost(t≥0),在t分钟时点P距离下层桥面的高度为米. (2)根据对称性,上层桥面距离下层桥面的高度为点P在t=分钟时距离下层桥面的高度.由(1)可知,当t=时, H=58-55cos t=58-55cos=58-≈10.37(米).所以上层桥面距离下层桥面的高度约为10.37米. 　　|思|维|建|模|　 建立三角函数模型解决实际问题的步骤 　　[针对训练] 3.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示,则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为____________________. t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0 解析:设y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0), 则从表中数据可以得到A=4,ω===, 又由4sin φ=-4.0,得sin φ=-1,取φ=-, 则y=4sin,即y=-4cost. 答案:y=-4cost 4.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象称为潮汐.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头,卸货后,在落潮时返回海洋.下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报,我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深y与时间x之间的关系,该函数的表达式为________________.已知一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙(船底与海底的距离),则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为__________小时(保留整数).  时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 0:00 5.0 9:18 2.5 18:36 5.0 3:06 7.5 12:24 5.0 21:42 2.5 6:12 5.0 15:30 7.5 24:00 4.0 解析:观察表中数据可知,水深与时间近似为正弦型函数. 设该函数表达式为y=f(x)=Asin(ωx+φ)+b, 由表中数据可知,一个周期为12小时24分,即744分钟,∴ω==,A===2.5,b=f(x)max-A=7.5-2.5=5. ∵f(186)=2.5sin+5=7.5,∴φ=0. 则该函数的表达式为y=f(x)=2.5sin+5. 由题可知,水深为4+2.25=6.25米以上时安全, 令f(x)≥6.25,解得62≤x≤310, 即安全时间为310-62=248分钟,约4小时. 答案:y=2.5sin+5　4 学科网（北京）股份有限公司 $