1.6 第2课时 y=Asin(ωx+φ)的性质及应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学中y=A sin(ωx+φ)及y=A cos(ωx+φ)的性质及应用，系统梳理定义域、值域、最值、周期、奇偶性、单调性、对称性等核心知识点，通过性质表格归纳、题型分类及思维建模搭建学习支架。 以拓展融通的习题讲评式教学为特色，结合例题解析与思维建模培养数学思维，融入高考真题强化应用意识，课中助力教师高效授课，课后帮助学生通过针对训练查漏补缺，提升用数学语言表达规律的能力。

第2课时 y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.掌握函数y=Asin(ωx+φ)的周期、单调性及最值的求法. 2.理解函数y=Asin(ωx+φ)的对称性,会利用函数y=Asin(ωx+φ)的对称性解决一些简单问题. 1.正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的性质 定义域 R 值域 [-A+b,A+b] 最值 ymax=A+b,该最大值对应的自变量可由ωx+φ=2kπ+(k∈Z)解得; ymin=-A+b,该最小值对应的自变量可由ωx+φ=2kπ-(k∈Z)解得 周期性 最小正周期T= 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)且b=0时,函数为奇函数; 当φ=kπ+(k∈Z)时,函数为偶函数; 当φ≠(k∈Z)或φ=kπ(k∈Z)但b≠0时,函数为非奇非偶函数 单调性 单调递增区间可由2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)得到;单调递减区间可由2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)得到 对称性 其图象的对称轴可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)得到; 其图象的对称中心的纵坐标为b,横坐标可由ωx+φ=kπ(k∈Z)得到 2.类比研究函数y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)的性质的方法,我们将ωx+φ看成整体,可以研究函数y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的性质: 周期性 y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的最小正周期T=.还需注意:根据图象可得,y=A|f(ωx+φ)|(A,ω,φ为常数,且A≠0,ω≠0),f为sin,cos时,最小正周期都是 单调性 求y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调递增(减)区间,将ωx+φ代入y=cos x的单调递增(减)区间求出x的取值范围即可.其他情况需根据复合函数的单调性进行转化求解 对称性 y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴方程由ωx+φ=kπ(k∈Z)得到,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ+(k∈Z)得到 奇偶性 函数y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数,当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数 题型(一)　函数y=Asin(ωx+φ)的单调性 [例1]　(1)函数y=2sin+1的单调递增区间为__________. (2)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=__________. 解析:(1)y=2sin+1=-2sin+1,要求y=2sin+1的单调递增区间,即求函数y=sin的单调递减区间.由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.故所求函数y=2sin+1的单调递增区间为,k∈Z. (2)∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,∴当0≤ωx≤,即0≤x≤时,y=sin ωx单调递增;当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sin ωx单调递减.由f(x)=sin ωx(ω>0)在上单调递增,在上单调递减,知=,∴ω=. 答案:(1),k∈Z　(2) 　　|思|维|建|模| 求单调区间的基本方法——基本函数法 　　用“基本函数法”求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的步骤: 　　[针对训练] 1.若函数f(x)=sin(ω>0)在上具有单调性,则ω的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　因为0<x<,所以<ωx+<ω+,又f(x)在上具有单调性,所以ω+≤,结合ω>0, 解得0<ω≤1. 2.函数y=1+sin,x∈[-4π,4π]的单调递减区间为____________________. 解析:y=1+sin=-sin+1. 由2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z), 解得4kπ-≤x≤4kπ+(k∈Z). 又∵x∈[-4π,4π], ∴函数y=1+sin的单调递减区间为 ,,. 答案:,, 题型(二)　函数y=Asin(ωx+φ)的最值问题 [例2]　(1)求y=cos,x∈的值域; (2)已知f(x)=2sin-3(ω>0),最小正周期是π.求f(x)的最值,以及取得最值时相应x的集合. 解:(1)由x∈可得x+∈. 因为函数y=cos x在区间上单调递减, 所以函数y=cos的值域为. (2)由T==π,得ω=2. 所以f(x)=2sin-3, 则函数f(x)的最大值为2-3=-1, 此时2x+=2kπ+,k∈Z, 则x=kπ+,k∈Z, 即自变量x的取值集合是; 函数f(x)的最小值为-2-3=-5,此时2x+=2kπ-,k∈Z,则x=kπ-,k∈Z, 即自变量x的取值集合是. 　　|思|维|建|模| 求函数y=Asin(ωx+φ),x∈[m,n]的值域的步骤 (1)换元,令u=ωx+φ,并求u的取值范围; (2)作出y=sin u(注意u的取值范围)的图象; (3)结合图象求出值域. 　　[针对训练] 3.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是,则ω=__________.  解析:∵x∈,且0<ω<1,∴0≤ωx≤<. ∵f(x)max=2sin=,∴sin =,=,即ω=. 答案: 4.函数y=2sin的最大值和最小值分别为____________________　.  解析:∵-≤x≤,∴0≤2x+≤. ∴0≤sin≤1.∴当sin=1时,ymax=2;当sin=0时,ymin=0. 答案:2,0 题型(三)　函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性与周期性及对称性 [例3]　(1)已知函数f(x)=2sin满足f=2,则函数f是 (　　) A.奇函数,关于点(π,0)成中心对称 B.偶函数,关于点(π,0)成中心对称 C.奇函数,关于直线x=π成轴对称 D.偶函数,关于直线x=π成轴对称 (2)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f= (　　) A.- B.- C. D. 解析:(1)由f=2为最大值,得+φ-=+2kπ,k∈Z,即得 φ=2kπ+,k∈Z,即f(x)=2sin=2sin,则f=2sin=2cos x,所以函数y=f为偶函数,对称中心为,k∈Z,直线x=π 为其对称轴,故A、B、C均错误,D正确. (2)由题意得×=-,解得ω=2,易知x=是f(x)的最小值点,所以×2+φ=+2kπ(k∈Z),得φ=+2kπ(k∈Z). 不妨取k=0,于是f(x)=sin,f=sin=sin=,故选D. 答案:(1)D　(2)D 　　|思|维|建|模| 1.与周期相关的结论 由函数y=Af(ωx+φ)(Aω≠0)(f为sin,cos)的图象可知: (1)相邻两个最大值点之间的区间长度为周期T; (2)相邻的最大值点与最小值点之间的区间长度为; (3)相邻的最值点与零点之间的区间长度为; (4)函数的单调递减区间和单调递增区间的长度都为. 2.求函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴(中心)及周期,可令ωx+φ=kπ+(求对称轴)或ωx+φ=kπ(求对称中心),T=求解. 在选择题中也可以利用“函数y=Asin(ωx+φ),其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点”进行排除或选择. 　　[针对训练] 5.(2023·天津高考)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2,f(x)的一个周期为4,则f(x)的解析式可能为 (　　) A.f(x)=sin B.f(x)=cos C.f(x)=sin D.f(x)=cos 解析:选B　对于A,f(x)=sin,最小正周期为=4,因为f(2)=sin π=0,所以函数f(x)=sin的图象不关于直线x=2对称,故排除A;对于B,f(x)=cos,最小正周期为=4,因为f(2)=cos π=-1,所以函数f(x)=cos的图象关于直线x=2对称,故选项B符合题意;对于C、D,函数f(x)=sin和f(x)=cos的最小正周期均为=8,均不符合题意,故排除C、D.故选B. 6.已知ω>0,函数f(x)=cos的一条对称轴为x=,一个对称中心为,则ω有 (　　) A.最小值2 B.最大值2 C.最小值1 D.最大值1 解析:选A　由题意知-≥,故T=≤π,ω≥2. 7.若T为函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期,且T∈(3π,5π),∀x∈R,f-f(-x)=0.则ω=__________.  解析:因为f-f(-x)=0, 即f=f(-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=-对称,则ω×+=kπ,k∈Z, 解得ω=-k+,k∈Z.又因为T=∈(3π,5π),所以ω∈,则当k=0时,ω=符合题意. 答案: 学科网（北京）股份有限公司 $