1.6 第1课时 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换核心知识点，从基本正弦函数y=sinx出发，系统梳理参数A（振幅）、ω（周期）、φ（初相）对图象的影响，构建平移、伸缩变换及两种变换路径的知识支架。 资料采用梯度进阶式教学，通过“微点助解”明晰参数变换规律，“思维建模”总结解题策略，结合“五点法”作图与实例分析，培养学生几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）和模型意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后通过基础训练和针对练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

§6　函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象 第1课时　y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义. 2.能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响. 1.ω对y=sin ωx的图象的影响 (1)一般地,对于ω>0,函数y=sin ωx的最小正周期T=. (2)函数y=sin ωx的图象是将函数y=sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)得到的. (3)频率:通常称周期的倒数=为频率. 2.φ对y=sin(ωx+φ)的图象的影响 (1)函数y=sin(ωx+φ)与函数y=sin ωx有相同的周期,由ωx+φ=0,得x=-,即函数y=sin ωx图象上的点(0,0)平移到点. (2)函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作将函数y=sin ωx图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度得到的. (3)φ决定了x=0时的函数值,通常称φ为初相,ωx+φ为相位. 3.A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象是将y=sin(ωx+φ)的图象上的每个点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)得到的. (2)A决定了函数y=Asin(ωx+φ)的值域以及函数的最大值和最小值,通常称A为振幅. |微|点|助|解| 函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)中,参数A,ω,φ,b的变化引起图象的变换:A的变化引起图象中振幅的变换,即纵向伸缩变换;ω的变化引起周期的变换,即横向伸缩变换;φ的变化引起左右平移变换;b的变化引起上下平移变换.图象平移遵循的规律为“左加右减,上加下减”. 4.三角函数图象变换的方法 从y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的常用方法有两种: 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)把函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,能得到函数y=sin的图象. (　　) (2)把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,可得到函数y=sin 2x的图象. (　　) (3)把函数y=2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得到y=6sin的图象. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√ 2.函数y=sin在区间上的简图是 (　　) 答案:A 3.函数y=2sin的最小正周期、振幅依次是 (　　) A.4π,-2 B.4π,2 C.π,2 D.π,-2 答案:B 题型(一)　三角函数图象的变换 考向1　平移变换 [例1]　(1)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为 (　　) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin (2)要得到y=cos的图象,只要将y=sin 2x的图象 (　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析:(1)函数y=2sin的周期为T==π,向右平移个周期,即向右平移个单位长度后,得到图象对应的函数为y=2sin=2sin,故选D. (2)y=sin 2x=cos=cos=cos=cos. 若设f(x)=sin 2x=cos,则f=cos,∴向左平移个单位长度. 答案:(1)D　(2)A 　　|思|维|建|模| 　　三角函数图象平移变换问题的分类及策略 (1)确定函数y=sin x的图象经过变换后图象对应的解析式,关键是明确左右平移的方向,按“左加右减”的原则进行. (2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时,首先要将解析式化为同名三角函数形式,然后再确定平移方向和平移距离. 考向2　伸缩变换 [例2]　(1)为了得到函数y=sin的图象,需将函数y=sin的图象 (　　) A.纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变 B.横坐标变为原来的3倍,纵坐标不变 C.横坐标变为原来的,纵坐标不变 D.纵坐标变为原来的,横坐标不变 (2)函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的2倍,得到图象的解析式为y=cos ωx,则ω的值为 (　　) A.2 B. C.4 D. 解析:(1)只需将函数y=sin的图象横坐标变为原来的,纵坐标不变,便得到函数y=sin的图象,故选C. (2)由题意可知得到图象的解析式为y=cosx,所以ω=. 答案:(1)C　(2)B 　　|思|维|建|模| 　　三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点: (1)两种变换中平移的单位长度不同,分别是|φ|和,但平移方向是一致的. (2)虽然两种平移单位长度不同,但平移时平移的对象已有变化,所以得到的结果是一致的. 　　[针对训练] 1.写出由y=sin x的图象变换到y=3sin的图象的不同方法步骤. 解:法一:先平移再伸缩,过程如下: ①把y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin的图象; ②把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象; ③将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象. 法二:先伸缩再平移,过程如下: ①把y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sinx的图象; ②把y=sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象; ③把y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象. 题型(二)　“五点(画图)法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象 [例3] 用“五点(画图)法”作函数y=3sin的简图,并指出这个函数的振幅、最小正周期、频率和初相. 解:(1)列表: x x- 0 π 2π y 0 3 0 -3 0 (2)描点:在直角坐标系中描出点,,,,. (3)连线:将所得五点用光滑的曲线顺次连起来,如图所示. (4)这样就得到了函数y=3sin在一个周期内的图象,再将这部分图象向左、向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度,得函数y=3sin的图象. 此函数振幅为3,最小正周期为4π,频率为,初相为-. 　　|思|维|建|模| 　　用“五点(画图)法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤. 第一步:列表. ωx+φ 0 π 2π x - - - - - y 0 A 0 -A 0 第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点. 第三步:用光滑曲线顺次连接这些点,形成图象. 　　[针对训练] 2.用“五点(画图)法”作出函数y=2sin的图象,并指出函数的单调区间. 解:(1)列表: x - 2x+ 0 π 2π y 0 2 0 -2 0 (2)描点: (3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,所得图象如图所示,为该函数在一个周期内的图象,然后将图象左右平移(每次π个单位长度)即可得到该函数在定义域R内的图象. 由图象知在一个周期内,函数在上单调递减,又因为函数的最小正周期为π,所以函数的单调递减区间为(k∈Z).同理,单调递增区间为(k∈Z). 题型(三)　由函数的图象确定函数的解析式 [例4]　如图所示的是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象,由图中条件,写出该函数的解析式. 解:法一:(最值点法)由题图可得A=2,ω=,将最高点坐标代入y=2sin, 得2sin=2. 所以+φ=2kπ+,k∈Z,即φ=2kπ+(k∈Z). 又因为|φ|<π,所以φ=. 所以此函数的解析式为y=2sin. 法二:(起始点法)由题图可得ω=,x0=-,φ=-ωx0=-×=. 又因为A=2, 所以此函数的解析式为y=2sin. 　　[变式拓展] 将“例4”中的图象变为如图所示,试求函数的解析式. 解:法一:根据题意,A=3,T=-=π, ∴ω==2.将点M代入y=3sin(2x+φ)中,得3=3sin, ∴sin=1.∴+φ=,即φ=, 从而所求函数解析式为y=3sin. 法二:由题图知A=3,又图象过M,N,根据“五点(画图)法”的原理(M,N可视为“五点(画图)法”中的第二点和第四点),有解得 从而所求函数解析式是y=3sin. 　　|思|维|建|模| 　　由y=Asin(ωx+φ)的图象求其解析式的常用方法 方法一:最值法 (1)A:一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定|A|,|A|=. (2)ω:因为T=,所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线及其与x轴的交点来确定T,注意相邻的最高点与最低点之间的水平距离为,相邻的两个最高点(最低点)之间的水平距离为T. (3)φ:以“五点(画图)法”中的最高点作为突破口,即当ωx+φ=+2kπ,k∈Z时,y有最大值,或者由“五点(画图)法”中的第一个点作为突破口,从图象的升降情况找准第一点的位置. 方法二:“五点”对应法 依据“五点(画图)法”的原理,点的序号与式子的关系如下:“第一点”(即图象第一次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)横坐标满足ωx+φ=;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)横坐标满足ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)横坐标满足ωx+φ=;“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx+φ=2π. 　　[针对训练] 3.如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,则函数f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式为 (　　) A.f(x)=sin B.f(x)=sin C.f(x)=2sin D.f(x)=sin 　解析:选A　由题图可知,=-=, ∴T=π,ω=2.∵2×+φ=2kπ,k∈Z,又|φ|<,∴φ=-.而f(0)=Asin=-1,A>0,∴A=.∴f(x)=sin.故选A. 4.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ) 的部分图象如图所示,则f(x)的函数解析式为____________________.  解析:由题图可知函数的最值A=3,函数的最小正周期T=4×=4π,则ω==,当x=时,ωx+φ=×+φ=2kπ+π,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z.又|φ|<,令k=0,得φ=.所以函数的解析式为f(x)=3cos. 答案:f(x)=3cos 学科网（北京）股份有限公司 $