1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦任意角的正弦函数、余弦函数定义，通过单位圆中终边交点坐标及终边上点的坐标（r=√(x²+y²)）构建定义，衔接初中锐角三角函数，形成从直观到抽象的学习支架。 采用梯度进阶式教学，以“微点助解”明晰定义本质，通过单位圆法、终边上点求值等题型分类及“思维建模”培养数学思维与几何直观，课中例题与训练助力理解，课后变式拓展巩固，有效辅助教学与查漏补缺。

　　　§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标]　 1.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义. 2.会利用任意角的正弦函数、余弦函数的定义求函数值. 1.利用单位圆定义任意角的正弦函数和余弦函数 如图,在直角坐标系中,给定任意角α,作单位圆,角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值,把点P的横坐标u叫作角α的余弦值.对于α∈R,称v=sin α为任意角α的正弦函数,u=cos α为任意角α的余弦函数.  2.利用角的终边上的一点的坐标定义正弦函数、余弦函数 设角α终边上除原点外的一点Q(x,y),则sin α=,cos α=,其中r=. |微|点|助|解| (1)对任意一个给定的角α,它只有唯一的一条终边,从而终边与单位圆只有唯一的交点,所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的. (2)角的三角函数值与点在终边上的位置无关. (3)由三角函数的定义可知,任意给定角α,有sin2α+cos2α=1. 基础落实训练 1.若α的终边与x轴负半轴重合,则sin α=　　　,cos α=__________.  解析:当α的终边与x轴负半轴重合时,角α的终边与单位圆的交点坐标为(-1,0),故sin α=0,cos α=-1. 答案:0　-1 2.已知角α终边经过点P(5,0),则sin α=__________,cos α=__________.  解析:∵x=5,y=0,∴r=5. ∴sin α==0,cos α==1. 答案:0　1 题型(一)　单位圆法求三角函数值 [例1]　在单位圆中,α=. (1)画出角α; (2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标; (3)求出角α的正弦函数值、余弦函数值. 解:(1)因为α==2π+,所以角α的终边与角的终边相同.以原点为角的顶点, 以x轴非负半轴为角的始边,逆时针旋转,与单位圆交于点P,则角α如图所示. (2)由(1)知,点P在第二象限,且在角的终边上,所以点P的坐标为. (3)由(2)及正、余弦函数的定义可得sin=,cos =-. 　　|思|维|建|模| 单位圆法求三角函数的值,先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值. 　　[针对训练] 1.已知角α的终边经过点,则sin α=__________,cos α=__________.  解析:因为+=1,所以点在单位圆上,由三角函数的定义知sin α=-,cos α=-. 答案:-　- 2.利用定义求的正弦函数值、余弦函数值. 解:如图所示,的终边与单位圆的交点为P,过点P作PB⊥x轴于点B,在Rt△OBP中,|OP|=1,∠POB=,则|PB|=,|OB|=,则P.所以sin =,cos =-. 题型(二)　已知角终边上的一点求值 [例2]　(1)已知角θ的终边经过点P(1,-),则cos θ的值为 (　　) A.- B. C.- D. (2)若角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),则2sin α+cos α=__________.  解析:(1)因为角θ的终边经过点P(1,-),所以cos θ==. (2)r==5|a|. ①若a>0,则r=5a, 角α在第二象限,sin α===, cos α===-. 所以2sin α+cos α=-=1. ②若a<0,则r=-5a, 角α在第四象限,sin α==-, cos α==. 所以2sin α+cos α=-+=-1. 综上所述,2sin α+cos α=1或-1. 答案:(1)D　(2)1或-1 　　|思|维|建|模| 已知角的终边上一点求三角函数值的步骤 (1)取点:在角α的终边上任取一点P(x,y)(P与原点不重合); (2)计算r:r=|OP|=; (3)求值:由sin α=,cos α=求值 　　[针对训练] 3.[多选]角α的终边上一点的坐标为P(3,4),则下列结论正确的是 (　　) A.sin α= B.sin α= C.cos α= D.cos α= 解析:选BC　因为点P到坐标原点的距离r==5,所以sin α=,cos α=. 4.已知角θ的终边经过点P(,a),若sin θ=-,则a= (　　) A. B. C.- D.- 解析:选D　因为sin θ<0,所以a<0,sin θ==-,解得a=-或a=(舍去). 题型(三)　已知角终边所在直线求值 [例3]　已知角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上,求sin α,cos α的值. 解:设射线y=2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x,y), 则解得 即P, 所以sin α=y=,cos α=x=. 　　[变式拓展] 1.本例中条件“角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上”变为“角α的终边为射线y=-x(x≥0)”,求sin α,cos α的值. 解:由得x2+x2=1,即25x2=16,解得x=或x=-. 因为x≥0,所以x=,从而y=-. 所以角α的终边与单位圆的交点坐标为. 所以sin α=y=-,cos α=x=. 2.本例中条件“α的终边落在射线y=2x(x≥0)上”变为“α的终边落在直线y=2x上”,其他条件不变,其结论又如何呢? 解:法一:设角α的终边与单位圆交于点P(x,y), 联立解得或 即点P坐标为或, 当点P坐标为时,sin α=,cos α=, 当点P坐标为时,sin α=-,cos α=-. 法二:①若α的终边在第一象限时,设点P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点, 因为r=|OP|==a, 所以sin α===,cos α===. ②若α的终边在第三象限时,设点P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点,因为r=|OP|==-a(a<0),所以sin α===-,cos α===-. 　　|思|维|建|模| 在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原点的任意一点的坐标(a,b),则对应角的正、余弦函数值分别为sin α=,cos α= . 　　[针对训练] 5.已知角α的终边在直线y=x上,求sin α. 解:易知角α的终边在第一象限或第三象限, 当角α的终边在第一象限时,角α的终边与单位圆的交点P的坐标为,则sin α=; 当角α的终边在第三象限时,角α的终边与单位圆的交点P'的坐标为,则sin α=-. 综上可知,sin α=或sin α=-. 学科网（北京）股份有限公司 $