4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

故α１＝－ １９π ６ ,α２＝ ２５π ６ ,α１ 的终边在第二象限,α２ 的终边在 第一象限． (２)β１＝ ３π ５＝ ３ ５×１８０°＝１０８° , β２＝－ π ３＝－ １ ３×１８０°＝－６０°． 设θ１＝１０８°＋k１􀅰３６０°(k１∈Z), θ２＝－６０°＋k２􀅰３６０°(k２∈Z), 令－７２０°≤θ１≤－１８０°,－７２０°≤θ２≤－１８０°, 即－７２０°≤１０８°＋k１􀅰３６０°≤－１８０°(k１∈Z), －７２０°≤－６０°＋k２􀅰３６０°≤－１８０°(k２∈Z), 得k１＝－２或k１＝－１,k２＝－１． 故在[－７２０°,－１８０°]内,与β１ 终 边 相 同 的 角 是 －６１２°和 －２５２°,与β２ 终边相同的角是－４２０°． [例３]　[解]　(１)因为扇形的圆心角所对的弦长为２,圆心角 为２π ３ ,所以半径r＝ １ sinπ３ ＝２ ３３ , 所以这个圆心角所对的弧长l＝２ ３３ × ２π ３＝ ４ ３π ９ ． (２)由(１)得扇形的面积S＝１２× ２ ３ ３ × ４ ３π ９ ＝ ４π ９． 变式训练 ３．(１)解析:因为１３５°＝１３５π１８０＝ ３π ４ ,所以扇形的半径为３π ３π ４ ＝４, 面积为１ ２×３π×４＝６π． 答案:４　６π (２)解:设扇形的圆心角为θ,半径为r,弧长为l,面积为S, 则l＋２r＝４０,所以l＝４０－２r, 所以S＝１２lr＝ １ ２× (４０－２r)r＝－(r－１０)２＋１００． 所以 当 半 径r＝１０cm 时,扇 形 的 面 积 最 大,最 大 值 为 １００cm２,这时θ＝lr ＝ ４０－２×１０ １０ ＝２rad． 随堂步步夯实 １．C　[∵－π＜－３rad＜－π２ ,∴－３rad是第三象限角．] ２．B　[－３００°＝－３００× π１８０＝－ ５π ３． ] ３．解析:∵２５π６ ＝ π ６＋４π ,∴２５π６ 与 π ６ 的终边相同, ∴２５π６ 是第一象限角． 答案:一 ４．解析:设扇形半径为r,则 １ ２αr ２＝１, αr＝２,{ 解得 α＝２, r＝１．{ ∴AB 的长为２rsinα２＝２sin１． 答案:２　２sin１ ５．解:(１)∵－８００°＝－３×３６０°＋２８０°,２８０°＝１４９π , ∴α＝－８００°＝１４π９ ＋ (－３)×２π． ∵α与１４π９ 的终边相同,∴α是第四象限角． (２)∵与α终边相同的角可写为２kπ＋１４π９ ,k∈Z的形式,而 γ与α的终边相同,∴γ＝２kπ＋１４π９ ,k∈Z． 又γ∈ －π２ ,π ２( ) ,∴－ π ２＜２kπ＋ １４π ９ ＜ π ２ ,k∈Z, 解得k＝－１,∴γ＝－２π＋１４π９ ＝－ ４π ９． §４．正弦函数和余弦函数的概念及其性质 ４．１　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课前预习学案　情境引入 　提示:v＝sinα,u＝cosα． 知识梳理　知识点一 １．sinα　cosα [思考] １．提示:α终边在x 轴非负半轴时,sinα＝０,cosα＝１; α终边在y 轴非负半轴时,sinα＝１,cosα＝０; α终边在x 轴非正半轴时,sinα＝０,cosα＝－１; α终边在y 轴非正半轴时,sinα＝－１,cosα＝０． ２．提示:不会．三角函数也是函数,是以角为自变量,以单位圆 上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数;三角函数值只与 角α的大小有关,即由角α的终边位置决定． ３．提示:因为sinα＞０,所以角α的终边除了在第一或第二象 限,还有可能在y轴的正半轴上． ４．提示:正弦值相等,但两角不一定相等,如sin６０°＝sin１２０°, 但６０°≠１２０°． 预习自测 １．B　２．B　３．１２ 课堂互动学案 [例１]　[解析]　B　[∵角α,β的终边与单位圆分别交于点 １２ １３ ,５ １３( ) 和 － ３ ５ ,４ ５( ) , 故由定义知sinα＝５１３ ,cosβ＝－ ３ ５ , ∴sinαcosβ＝ ５ １３× － ３ ５( )＝－ ３ １３． ] 变式训练 １．A　[∵点P 在单位圆上,则|OP|＝１． 即 (－３a)２＋(４a)２＝１,解得a＝±１５． ∵a＜０,∴a＝－１５． ∴P 点的坐标为 ３５ ,－４５( )． ∴sinα＝－４５ ,cosα＝３５． ∴sinα＋２cosα＝－４５＋２× ３ ５＝ ２ ５． ] [例２]　[解]　因为点 P 的坐标为(－３a,４a)(a≠０),原 点 为O, 所以r＝|OP|＝ (－３a)２＋(４a)２＝５|a|． ⅰ．当a＞０时,则r＝５a,角α在第二象限,sinα＝yr ＝ ４a ５a＝ ４ ５ ,cosα＝xr ＝ －３a ５a ＝－ ３ ５ ,所以２sinα＋cosα＝ ８５－ ３ ５ ＝１． ⅱ．当a＜０时,则r＝－５a,角α在第四象限, sinα＝ ４a－５a＝－ ４ ５ ,cosα＝－３a－５a＝ ３ ５ , 所以２sinα＋cosα＝－８５＋ ３ ５＝－１． 综上所述,２sinα＋cosα＝±１． 变式训练 ２．解析:由题意得x＝m,y＝ ３, ∴r＝|OP|＝ m２＋３, ∴cosα＝xr ＝ m m２＋３ ＝ １０４ ,很明显m＞０, 解得m＝ ５． 答案:５ [例３]　[解]　设直线y＝２x与单位圆x２＋y２＝１的交点分 别为A(x１,y１),B(x２,y２)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２１２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 由 x ２＋y２＝１, y＝２x,{ 得 x１＝ ５ ５ , y１＝ ２ ５ ５ , ì î í ï ï ïï x２＝－ ５ ５ , y２＝－ ２ ５ ５ ． ì î í ï ï ïï ①当角α的终边在第一象限时,cosα＝x１＝ ５ ５ , sinα＝y１＝ ２ ５ ５ ． ②当角α的终边在第三象限时, cosα＝x２＝－ ５ ５ ,sinα＝y２＝－ ２ ５ ５ ． 变式训练 ３．解析:因为y＝３x,sinα＜０,所以点P(m,n)位于y＝３x在第 三象限的图象上,且m＜０,n＜０,n＝３m． 所以OP＝ m２＋n２＝ １０|m|＝－ １０m＝ １０． 所以m＝－１,n＝－３,所以m－n＝２． 答案:２ 随堂步步夯实 １．A　[r＝ b２＋１６,cosα＝－br ＝ －b b２＋１６ ＝－３５． 所 以b ＝３．] ２．D　[依题意可知点(２sin３０°,－２cos３０°),即(１,－ ３),则r ＝ １２＋(－ ３)２＝２,因此sinα＝yr ＝－ ３ ２． ] ３．解析:因为sinθ＝ y ４２＋y２ ＝－２ ５５ , 所以y＜０,且y２＝６４,所以y＝－８． 答案:－８ ４．解析:因为点(３a－９,a＋２)在角α的终边上,sinα＞０,cosα ≤０,所以 a＋２＞０ , ３a－９≤０,{ ,解得－２＜a≤３． 答案:－２＜a≤３ ５．解:(１)因为α＝８３π＝２π＋ ２ ３π , 所以角α的终边与２３π 的终边相同． 以原点为角的顶点,以x 轴非负半轴为 角的始边,逆时针旋转 ８ ３π ,与单位圆交 于点P,则角α如图所示． (２)因为α＝８３π ,所以点P 在第二象限,由(１)知∠AOP＝ ２π ３ ,过点P 作PM⊥x轴于点M． 则在 Rt△OMP 中,∠OMP＝π２ ,∠MOP＝π３ ,OP＝１, 由直角三角形的边角关系,得|OM|＝１２ ,|MP|＝ ３２ , 所以点P 的坐标为 －１２ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷． (３)根据正弦函数的定义有sin８π３＝ ３ ２． ４．２　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课前预习学案　情境引入 　提示:当α在第一象限时,sinα＞０,cosα＞０;当α在第二象 限时,sinα＞０,cosα＜０;当α在第三象限时,sinα＜０,cosα ＜０;当α在第四象限时,sinα＜０,cosα＞０． 知识梳理　[思考] １．提示:不可以,y＝sinx的最大值是１． ２．提示:当α＝２kπ＋π２ ,k∈Z,正弦函数v＝sinα取得最大值１;当 α＝２kπ－π２ ,k∈Z时,正弦函数v＝sinα取得最小值－１． ３．提示:这两个角的终边不一定相同,如sinα＝sinβ＝ １ ２ ,则 有可能是α＝３０°,β＝１５０°． ４．提示:由三角函数定义可知,三角函数在各象限的符号由角 α终边上任意一点的坐标来确定． 预习自测 １．C　２．D　３．０ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由y＝４－cosx知定义域为 R． (２)由 题 意 知 ２sinx＋１≥０,即 sinx≥ － １２ 在 周 期 －π２ ,３π ２[ ] 内满足上述条件的角为x∈ － π ６ ,７π ６[ ] ,由此 可以得到函数的定义域为 ２kπ－π６ ,２kπ＋７π６[ ](k∈Z)． (３)由２＋cosx≠０知cosx≠－２, 又由cosx∈[－１,１],故定义域为 R． (４)由题意知sinx＞０．又y＝sinx在[０,２π]内,sinx＞０满 足０＜x＜π,所以定义域为(２kπ,２kπ＋π)(k∈Z)． 变式训练 １．解:(１)要 使 y＝ cosx 有 意 义,可 得 cosx≥０,解 得 x|－π２＋２kπ≤x≤ π ２＋２kπ ,k∈Z{ }． (２)要使y＝lg(２sinx－１)有意义, 可得２sinx－１＞０,即sinx＞１２ , 解得 x π６＋２kπ＜x＜ ５π ６＋２kπ ,k∈Z{ }． (３)要使y＝ １１＋sinx 有意义,可得sinx≠－１． 所以函数的定义域为:x|x≠－π２＋２kπ ,k∈Z{ }． [例２]　[解析]　在单位圆中,当x 由－π到 π６ 时,sinx 由０ 减小到－１,再 由 －１ 增 大 到 １２． 所 以 它 的 单 调 增 区 间 为 －π２ ,π ６[ ] ,单调减区间为 －π,－ π ２[ ]． [答案]　 －π２ ,π ６[ ] 　 －π,－ π ２[ ] 变式训练 ２．解:由余弦函数u＝cosx的单调性可知, y＝cosx－４在区间[２kπ－π,２kπ](k∈Z)上单调递增,在区 间[２kπ,２kπ＋π](k∈Z)上单调递减． [例３]　[解]　因为正弦函数v＝sinx 在区间 －π６ ,π ２[ ] 上 单调递增,在 区 间 π ２ ,２π ３[ ] 上 单 调 递 减,且 sin － π ６( ) ＝ －１２ ,sin２π３＝ ３ ２ ,所 以v＝sinx 在x＝－ π６ 时 取 最 小 值 －１２ ,在 x＝ π２ 时 取 最 大 值 １．故 y＝ －３sinx＋１ 在 －π６ ,２π ３[ ] 上的最大值是－３× － １ ２( )＋１＝ ５ ２ ,最小值是 －３×１＋１＝－２． 变式训练 ３．解:由余弦函数u＝cosx的基本性质可知函数y＝２cosx－ ４当x＝２kπ(k∈Z)时,取最大值为－２;当x＝２kπ＋π(k∈Z) 时,取最小值为－６,所以值域为[－６,－２]． [例４]　[解]　(１)∵１９１°是第三象限角, ∴sin１９１°＜０,cos１９１°＜０, ∴sin１９１°＋cos１９１°＜０． (２)∵π２＜２＜π ,π ２＜３＜π ,π＜４＜３π２ , ∴２是第二象限角,３是第二象限角,４是第三象限角． ∴sin２＞０,cos３＜０,sin４＜０． ∴sin２cos３sin４＞０． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１２􀅰 参考答案 １．已知α＝－３rad．则α是 (　　) A．第一象限角　　　　　B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ２．将－３００°化为弧度数为 (　　) A．－４３π B．－ ５ ３π C．－７６π D．－ ７π ４ ３．角２５π６ 是第　　　　象限角． ４．如图,扇形AOB 的面积是１, 它的弧长是２,则扇形的圆心 角α的弧度数为　　　　;弦 AB的长为　　　　． ５．已知α＝－８００°． (１)把α改写成β＋２kπ(k∈Z,０≤β＜２π)的形 式,并指出α是第几象限角; (２)求γ,使γ与α的终边相同,且γ∈ －π２ ,π ２ æ è ç ö ø ÷． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §４．正弦函数和余弦函数的概念及其性质 ４．１　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解单位圆与正弦函数、余弦函数的关系 ２．掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义 通过学习三角函数的定义培养学生直观 想象和数学抽象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　如图,如果一个锐角α的终边与单位圆的交点 是P(u,v),根据初中所学在直角三角形中正 弦、余弦、正切的定义,你能否用点P的坐标表 示sinα,cosα,tanα? 这一结论能否推广到α 是任意角时的情形呢? [知识梳理] [知识点一]　正弦函数、余弦函数的定义 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１．定 义:如 图,在 直 角 坐 标 系 中,给定单位圆,对于给定的 任意角α,使角α的顶点与原 点重合,始边与x轴正半轴 重合,终边与单位圆交于点 P(u,v),那么点P 的纵坐标v是角α的正弦 函数值,记作v＝　　　　;点P 的横坐标u 是角α的余弦函数值,记作u＝　　　　． ２．对正弦函数、余弦函数定义的理解 ①定义中,α是一个任意角,同时它也可以是 一个实数(弧度数)． ②角α的终边与单位圆O交于点P(u,v),实际 上给出了两个对应关系,即 实数α(弧度)对应于点P的纵坐标v 对应 →正弦, 实数α(弧度)对应于点P 的横坐标u 对应 → 余弦． ③三角函数 可 以 看成 以 实 数 为 自 变量,以单位圆上 的点 的 坐 标 为 函 数值的函数．角与 实数是一对一的．角和实数与三角函数值之间 是多对一的,如图所示． ④sinα是一个整体,不是sin与α的乘积,单 独的“sin”“cos”是没有意义的． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 [知识点二]　正弦函数与余弦函数的定义拓展 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．任意角的正弦函数、余弦函数的定义,实际上, 我们可以把定义进一步拓展,通过角的终边上 任意一点的坐标来定义正弦函数、余弦函数． 设α是一个任意角,α的终边上任意一点P 的 坐 标 是 (x,y),它 与 原 点 的 距 离 是 r (r＝ x２＋y２＞０),如图 那么,比值y r 叫作α的正弦,记作sinα,即sinα ＝yr ;比值x r 叫作α的余弦,记作cosα,即cosα ＝xr． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．终边在坐标轴的角α的三角函数值 分别是什么? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋２．对于确定的角α,请问三角函数的结果会随点 P在α终边上的位置的改变而改变吗? ３．若sinα＞０,则角α的终边在第几象限? ４．若sinα＝sinβ,则α和β是什么关系? [预习自测] １．已知角α的终边与单位圆交于点 －４５ ,３ ５ æ è ç ö ø ÷, 则cosα＝ (　　) A．３５　　B．－ ４ ５　　C．－ ３ ５　　D．－ ３ ４ ２．若α＝２π３ ,则α的终边与单位圆的交点P 的坐 标是 (　　) A．１ ２ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷ B．－１２ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷ C．－ ３２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ D．１ ２ ,－ ３２ æ è ç ö ø ÷ ３．sin５１０°＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　已知角α终边上一点的坐标求三角函数值 [例１]在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴 为角的始边,如果角α,β的终边分别与单位圆 交于点 １２ １３ ,５ １３ æ è ç ö ø ÷和 －３５ ,４ ５ æ è ç ö ø ÷,那么sinαcosβ＝ (　　) A．－３６６５　　　　　　　B．－ ３ １３ C．４１３ D． ４８ ６５ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　依三角函数的定义求解． [尝试解答]　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 已知角α终边上任意一点的坐标求三角 函数值 在α的终边上任选一点P(x,y),设P到 原点的距离为r(r＞０),则sinα＝yr , cosα＝xr． 当已知α的终边上一点求α的 三角函数值时,用该方法更方便． 􀳀[变式训练] １．设a＜０,角α 的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 为 P(－３a,４a),那么sinα＋２cosα的值等于 (　　) A．２５　　B．－ ２ ５　　C． １ ５　　D．－ １ ５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１􀅰 第一章　三角函数 　　　利用正弦、余弦函数定义求参数的值 [例２]已知角α的终边过点P(－３a,４a)(a≠０),求 ２sinα＋cosα的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据点P 的坐标,求出点P 到原点O 的距离|OP|,再根据定义求出 sinα,cosα的值,计算时要注意讨论a的 正负． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用正弦函数、余弦函数的定义,求一个 角的正弦函数、余弦函数,需要确定三个 量:角的终边上任意一个异于原点的点P 的横坐标x、纵坐标y和点P 到原点的距 离r．特别注意,当点的坐标含有参数时, 应分类讨论． 􀳀[变式训练] ２．已知角α的终边上一点P(m,３),且cosα＝ １０ ４ ,则m＝　　　　． 　　　正弦函数、余弦函数定义的综合应用 [例３]已知角α的终边在直线y＝２x 上,求 sinα,cosα的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　注意讨论角的终边所在象限． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 已知角α的终边在直线(或射线)上的问题 时,常用的解题方法有以下两种: 解法一:根据定义,寻求角的终边与单位圆 的交点P的坐标,然后利用定义得出该角 的正弦、余弦、正切值． 解法二:第一步,取点:在角α的终边上任 取一点P(x,y),(P与原点不重合), 第二步,计算r:r＝|OP|＝ x２＋y２, 第三步,求值:由sinα＝yr ,cosα＝xr 求值． 􀳀[变式训练] ３．若角α的终边与直线y＝３x重合且sinα＜０,又 P(m,n)是α终边上一点,且OP＝ １０,则m－ n＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．角α的终边经过点P(－b,４)且cosα＝－３５ ,则b 的值为 (　　) A．３　　　　　　　　B．－３ C．±３ D．５ ２．如果α的终边过点(２sin３０°,－２cos３０°),那么 sinα＝ (　　) A．１２ B．－ １ ２ C．３２ D．－ ３ ２ ３．已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正 半轴,若P(４,y)是角θ终边上一点,且sinθ＝ －２ ５５ ,则y＝　　　　． ４．已知角α的终边经过点(３a－９,a＋２)且sinα＞０, cosα≤０,则实数a的取值范围是　　　　． ５．在平面直角坐标系的单位圆中,已知α＝８３π． (１)画出角α; (２)求出角α的终边与单位圆的交点坐标; (３)求出角α的正弦函数值． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２１􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册