第四章 三角恒等变换 阶段质量评价-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（北师大版）

[阶段质量评价]　　　第四章　三角恒等变换 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知sin α=,则cos(π-2α)= (　　) A.- B.- C. D. 解析:选B　cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=2×-1=-.故选B. 2.已知tan α=5,则= (　　) A.　　　　B.1　　　　C.　　　　D. 解析:选B　===1,故选B. 3.若sin α+cos α=,则sin= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　因为sin α+cos α=,所以sin=sin α+cos α=(sin α+cos α)=×=.故选A. 4.已知sin x=,x∈,则cos x= (　　) A. B.- C. D.± 解析:选C　∵x∈,∴cos x>0,则cos x===.故选C. 5.若tan θ=2,则7cos2θ-2sin 2θ= (　　) A.- B. C.-2 D.2 解析:选A　7cos2θ-2sin 2θ====-.故选A. 6.已知角α,β满足tan α=,sin β=2cos(α+β)sin α,则tan β= (　　) A. B. C.1 D.2 解析:选B　由sin β=2cos(α+β)sin α,得sin β=sin[(α+β)+α]-sin[(α+β)-α],进而sin β=sin(2α+β)-sin β⇒2sin β=sin(2α+β)=sin 2αcos β+cos 2αsin β,所以sin β(2-cos 2α)=sin 2αcos β⇒tan β====,故选B. 7.已知θ∈(0,2π),若函数f(x)=2sin xcos x-sin(2x+θ)在上无零点,则θ的值可能为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　令f(x)=0,则sin 2x=sin(2x+θ),故sin 2x=sin 2xcos θ+cos 2xsin θ,则tan 2x=tan 2xcos θ+sin θ,故tan 2x=在x∈无零点.因为tan 2x>0,所以≤0.因为1-cos θ>0,所以sin θ≤0.因为θ∈(0,2π),所以θ∈[π,2π).故选D. 8.在湖南省湘江上游的永州市祁阳县境内的沿溪碑林,是稀有的书法石刻宝库,保留至今的有505方摩崖石刻,最引人称颂的是公元771年摹刻的《大唐中兴颂》,因元结的“文绝”,颜真卿的“字绝”,摩崖石刻的“石绝”,誉称“摩崖三绝”.该碑高3米,宽3.2米,碑身离地有3.7米(如图所示),有一身高为180 cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为10 cm).设该游客离墙距离为x米,视角为θ,为使观赏视角θ最大,x应为 (　　) A. B.3 C.2 D. 解析:选A　设∠BCD=α,由题图可知tan α=,tan(α+θ)=,tan θ=tan[(α+θ)-α]===.由基本不等式知,当且仅当x=,即x=时,tan θ最大,从而角θ最大.故选A. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.计算下列各式,结果为的是 (　　) A.sin 15°+cos 15° B.cos215°-sin 15°cos 75° C. D. 解析:选AD　由三角函数叠加公式得sin 15°+cos 15°=2sin(15°+45°)=2sin 60°=,A正确; cos215°-sin 15°cos 75°=sin 75°cos 15°-sin 15°cos 75°=sin(75°-15°)=sin 60°=,B错误; =×=tan 60°=,C错误; ==tan(45°+15°)=tan 60°=,D正确.故选AD. 10.已知a=(cos 2α,sin α),b=(1,2sin α-1),α∈,若a·b=,则 (　　) A.sin α= B.cos 2α=- C.sin 2α=- D.tan= 解析:选ACD　 因为a·b=cos 2α+sin α(2sin α-1)=1-2sin2α+2sin2α-sin α=1-sin α=,所以sin α=,A正确.因为α∈,所以cos α=-.所以sin 2α=2××=-,B错误,C正确.因为tan α=-,所以tan==,D正确. 11.已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x,则 (　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的一个对称中心坐标为 C.f(x)的图象可由函数g(x)=2sin 2x的图象向左平移个单位长度得到 D.f(x)在区间上单调递减 解析:选ABD　f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,由周期公式可得T==π,A正确;因为f=2sin=0,所以为对称中心,B正确;g(x)=2sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y=2sin的图象,C错误;当x∈时,2x+∈,根据正弦函数y1=sin x的图象与性质可知,f(x)在上单调递减,D正确.故选ABD. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)已知tan=,则tan α=__________.  解析:∵tan==, ∴tan α=-. 答案:- 13.(5分)黄金分割比是指将整体一分为二,较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值,该比值为m=≈0.618,这是公认的最能引起美感的比例.黄金分割比的值还可以近似地表示为2sin 18°,则的近似值等于__________.  解析:由题可得m=2sin 18°, ∴= = = ==1. 答案:1 14.(5分)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=__________. 解析:法一:由题意得tan(α+β) = ==-2, 因为α∈, β∈,k,m∈Z, 则α+β∈((2m+2k)π+π,(2m+2k)π+2π),k,m∈Z, 又因为tan(α+β)=-2<0, 则α+β∈,k,m∈Z,则sin(α+β)<0, 则=-2,联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,解得sin(α+β)=-. 法二:因为α为第一象限角,β为第三象限角,则cos α>0,cos β<0, cos α==, cos β==, 则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =cos αcos β·(tan α+tan β) =4cos αcos β = = ==-. 答案:- 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x. (1)求f的值;(6分) (2)若f=,α∈,求cos α的值.(7分) 解:(1)因为f(x)=2cos2x+2sin xcos x =1+cos 2x+sin 2x=1+2sin, 所以f=1+2sin =1+2sin=1+1=2. (2)由f=,α∈, 得sin=,cos=. 所以cos α=cos =coscos+sinsin=. 16.(15分)已知角A为锐角,sin Acos Atan A=. (1)求角A的大小;(8分) (2)求sin(π+A)cos的值.(7分) 解:(1)由sin Acos Atan A=,可得sin2A=. 因为角A为锐角,所以sin A=, 可得A=. (2)由A=可得sin(π+A)cos =-sin Acos =-sin2=-=-. 17.(15分)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-3,9). (1)求tan的值;(7分) (2)求sin 2α+3cos 2α的值.(8分) 解:(1)依题意,tan α==-3. 则tan 2α===. 故tan===-. (2)依题意,sin 2α+3cos 2α = = ==-3. 18.(17分)已知0<x<<y<π,sin(x+y)=. (1)判断tan x+tan y的正负,并说明理由;(8分) (2)若tan=,求cos 2x和cos y的值.(9分) 解:(1)tan x+tan y<0.理由如下: ∵sin(x+y)=sin xcos y+cos xsin y, ∴tan x+tan y=+ == =. ∵0<x<<y<π, ∴cos x>0,cos y<0. ∴tan x+tan y=<0. (2)由tan=,得tan x==. ∵0<x<,∴cos x=,sin x=. ∴cos 2x=2cos2x-1=2×-1=-. ∵0<x<<y<π,∴<x+y<. 则由sin(x+y)=,得cos(x+y)=-. 则cos y=cos[(x+y)-x]=cos(x+y)cos x+sin(x+y)sin x=-×+×=-. 故cos 2x=-,cos y=-. 19.(17分)(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A.(7分) (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.(10分) 解:(1)法一:常规方法(辅助角公式) 由sin A+cos A=2, 可得sin A+cos A=1, 即sin=1, 由于A∈(0,π)⇒A+∈, 故A+=,解得A=. 法二:常规方法(同角三角函数的基本关系) 由sin A+cos A=2,又sin2A+cos2A=1,消去sin A得到4cos2A-4cos A+3=0⇔(2cos A-)2=0,解得cos A=, 又A∈(0,π),故A=. (2)由题设条件和正弦定理得, bsin C=csin 2B⇔sin Bsin C=2sin Csin Bcos B, 又B,C∈(0,π),则sin Bsin C≠0, 进而cos B=,得到B=, 于是C=π-A-B=, sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B) =sin Acos B+sin Bcos A=, 由正弦定理==, 即==, 解得b=2,c=+, 故△ABC的周长为2++3. 学科网（北京）股份有限公司 $