2.5.1 第2课时 平面向量数量积及其运算性质的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（北师大版）

2.5.1 第2课时 平面向量数量积及其运算性质的应用 [课时跟踪检测] 1.已知a和b为非零向量,且|2a+b|=|2a-b|,a与b夹角的大小为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　因为|2a+b|=|2a-b|,则|2a+b|2=|2a-b|2,即4a2+4a·b+b2=4a2-4a·b+b2,所以a·b=0,又因为a和b为非零向量,则a与b的夹角为. 2.已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,a⊥(b-a),则|2a+b|= (　　) A.4 B.2 C.3 D.12 解析:选B　∵a⊥(b-a),∴a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=0, ∴a·b=1,|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=12,∴|a+b|=2. 3.已知菱形ABCD的边长为2,·=2,则||= (　　) A. B.2 C.1 D.2 解析:选B　根据题意可得=+,=-, ∵·=2,即·(+)=+·=2,∴·=-2, ||2==-2·+=12,即||=2,故选B. 4.早在公元前十一世纪,数学家商高就提出“勾三股四弦五”.《周髀算经》中曾有记载,大意为:“当直角三角形的两条直角边分别为3(勾)和4(股)时,斜边(弦)则为5”,勾股定理也称为商高定理.现有△ABC的三边满足“勾三股四弦五”,其中勾AC的长为3,点A在弦BC上的射影为点D,则(-)·= (　　) A. B. C.- D.- 解析:选B　由题意可得,AD==,AD⊥BC,所以cos∠CAD===,(-)·=·=cos∠CAD=3××=. 5.(2024·北京高考)设a,b是向量,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B　由(a+b)·(a-b)=0,得a2-b2=0,即|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|,当a=(1,1),b=(-1,1)时,|a|=|b|,但a≠b且a≠-b,故充分性不成立;当a=-b或a=b时,(a+b)·(a-b)=0,故必要性成立.所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件. 6.[多选]在△ABC中,下列结论错误的是 (　　) A.-= B.·<||·|| C.若(+)·(-)=0,则△ABC是等腰三角形 D.若·>0,则△ABC是锐角三角形 解析:选AD　由向量减法法则可得-=,故A错误;·=||·||·cos<,><||·||,故B正确;设BC的中点为D,(+)·(-)=2·=0,则⊥,因为BD=CD,所以由三线合一得AB=AC,所以△ABC是等腰三角形,故C正确;由·>0,可以得到∠BAC是锐角,不能得到△ABC是锐角三角形,故D错误.故选AD. 7.在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E是CD上一点,则·的最小值为 (　　) A.13 B.15 C.17 D.19 解析:选B　设=λ(0≤λ≤1),则=λ,=(1-λ)·,=+=λ+,=+=(λ-1)+,则·=(λ+)·=λ(λ-1)+(2λ-1)·+=4λ2-4λ+16=4+15,所以当λ=,即E是CD的中点时,·的最小值为15.故选B. 8.[多选]八卦是中国文化的基本哲学概念,图1是八卦模型图,其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH,其中|OA|=1,则下列结论正确的是 (　　) A.与的夹角为 B.+= C.|-|=|| D.在上的投影向量为-e(其中e为与同向的单位向量) 解析:选CD　因为多边形ABCDEFGH为正八边形,所以∠AOH==.所以与的夹角为,A错误.若+=成立,则=-=,显然不成立,B错误.因为∠AOC=2×=,所以|-|=||=||.又||=||=||,所以|-|=||,C正确.因为∠AOD=3×=,所以在上的投影向量为||·cos∠AOD·e=1×cos×e=-e,D正确. 9.[多选]若平面向量a,b,c两两的夹角相等,且|a|=1,|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|= (　　) A. B.2 C. D.5 解析:选BD　|a+b+c|==,因为平面向量a,b,c两两的夹角相等,所以夹角有两种情况,即a,b,c两两的夹角为0°或120°.当夹角为0°时,a·b=|a||b|cos 0°=1,a·c=|a||c|cos 0°=3,b·c=|b||c|cos 0°=3,|a+b+c|==5.当夹角为120°时,a·b=|a||b|cos 120°=-,a·c=|a||c|cos 120°=1×3×=-,b·c=|b||c|cos 120°=1×3×=-,|a+b+c|==2.所以|a+b+c|=2或5,故选BD. 10.(5分)已知|a|=2,|b|=3,且a⊥b,则(a+b)·(2a-b)=__________.  答案:-1 11.(5分)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为,且a+b+c=0,则|c|=__________.  解析:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,所以c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2=22+2×2×3cos+32=4-6+9=7,所以|c|=. 答案: 12.(5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=,则a与b夹角的大小为__________.  解析:|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+4=5-2a·b=7,∴a·b=-1, 设a,b夹角的大小为θ,θ∈[0,π], cos θ==-,∴θ=. 答案: 13.(10分)如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,BC=4,A是线段EF的中点,EF=2.若与夹角的大小为60°,求·. 解:·=(+)·(+)=·+·+·+·.∵∠BAC=90°, ∴·=0. 又A是线段EF的中点,∴=-,∴·=·-·-=·-1=4×1×cos 60°-1=1. 14.(10分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a,b的夹角为60°. (1)若(2a+3b)⊥(a-kb),求实数k的值;(4分) (2)求a+b与a-b的夹角的余弦值.(6分) 解:(1)因为(2a+3b)⊥(a-kb), 所以(2a+3b)·(a-kb)=2a2+(3-2k)a·b-3kb2=2|a|2+(3-2k)a·b-3k|b|2=0, 即2+(3-2k)×1×2×cos 60°-3k×4=0,解得k=. (2)因为|a+b|== ==, |a-b|= ===, 所以cos<a+b,a-b>= ===-, 故a+b与a-b的夹角的余弦值为-. 15.(10分)如图,在△OAB中,P为线段AB上的一个动点(不含端点),且满足=λ. (1)若λ=,用向量,表示;(4分) (2)若||=6,||=2,且∠AOB=120°,求·的取值范围.(6分) 解:(1)因为=λ,所以=. 所以=+=+(-) =+. 当λ=时,=+. (2)由(1)可知=+, 所以·=·(-) =-+·+||2. 因为||=6,||=2,∠AOB=120°, 所以·=-+×6×2×+=10-. 因为λ>0,所以-52<-<0. 所以-42<·<10, 即·的取值范围为(-42,10). 学科网（北京）股份有限公司 $