第2章 5.1 向量的数量积-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

则4元=2A,由40=xA店+yA亡，得Ad=xA店+2yAd.又x+2y=1,因此 B,O,D三点共线，由O为△ABC的外接圆的圆心，得OD⊥AC,即 BDLAC,所以cs∠BAC=AD-1 AB 3 8.(3,1)解析：B相对于的位移为b-a=(2,4)-(-1,3)=(3,1) 9.4解析：如图，建立平面直角坐标系， 则A(0,0),B(3,0),C(3,35),可知AB⊥BC,设E(15cos0, 15im.0e[0,行]可得可(-15casa.-15no).成=(3- 15cos0,-15sin0),E元=(3-15cos0,33-15sin8).因为E=1E2+ (3)屁.则(3-15aso)+(3t）(3-15cs6=-15as8解 得os9=了，所以在R△ABD中，AD=AB 3 0s=5,则D= /AD2-AB2=4. 10.解：(1)因为A币=0币-0=(x-1)0+(1-x)0=(x-1)(0-0)= (-1)成，面P为线段B的中点，所以市-)应则-1=-了，解 得分 (2浦哥意得所0器i,成，0成a0器减. 所以0P+0币24=O+0成， 事实上，对任意正整数m,m,且m+n=2025,有0P.2025-m可+ 2025 成.m-350i20a, 2025 2025 所以0P+0P=0i+0店，所以1O1+0P+0P+…+0224+0品1= 101310+01,若AB中点为点P,则10i+01=1013×210P1= 10132 压轴挑战 解：(1)x1,x2)=(x1+2x2,x1-*2)=A(x1,x2）, 所以+2x,=1'即1-)1=-22 x1-x2=Ax2, (x1=(1+入)x2, 两式相除得(1-入)(1+入)=-2，解得入=±√/3. 当A=5时x=5 ∫x1+2x2=31, 此时方程有无数多个解，所以x=m(1+√3,1)，m∈R,m≠0. 当入=-√3时，同理得x=m(1-√3,1)，meR,m≠0. (2)fx1,2)=(a11+a22,b11+b2x2)=A(x1,x2), 所以1a=A故a-)ta=0, (b11+b2x2=Ax2,(b1x1+(b2-A)x2=0, 可得x(a1-入，b1)+x2(a2,b2-入)=0.又因为x1,x32都不为0， 所以向量(a1-入，b1)与(a2,b2-入)平行， 所以存在实数入满足a2b1=(a1-入)(b2-A), 所以A2-(a1+b2)A+a1b2-a2b1=0. 因为要使f有唯一的特征值，所以4=(a1+b2)2-4(a,b2-a2b,)=(a1- 参考答案 b2)2+4a2b1=0, 所以a1,a2,b1,b2应满足的条件为(a1-b2)2+4a2b1=0. §5从力的做功到向量的数量积 5.1向量的数量积 白题 基础过关 1kA解折：因为向量a,6的夹角为，且a1=5,1b1=2,则。 b-lalIbleo(.xx 2.C解析：由题图可知，a,b夹角为锐角，则a·b>0,故A错误：a,d夹 角为钝角，则a·d<0,故B错误；b,c夹角为锐角，则b·c>0,故C正 确：b,d夹角为锐角，则b·d>0,故D错误故选C 3.-4解析：由题得|BC1=2互，AB·BC=2×2√2×cos135°=-4 4.D解析：a在b上投影数量为ama,o=1Xs号 5.A解析：根据题意2b2=a·b,则a在b方向上的投影向量为 a·bb= 2b2 ,1b1201b12b=2b. 6.4解析：因为a与e之间的夹角是120°，而a在e方向上的投影向量 为-2e,所以1 alcos120e=-2e,所以-7l1a1=-2.所以1a=4 7.C解折：因为1a1=1,1b1=2,(a,b)=2,所以a·b=1x2× 3 =-1,所以a·(a+b)=a2+a·b=1-1=0. 4 8.C解析：因为(a+2b)·(a-b)=a2-2b2+a·b=1-2+a·b=-5,所 9.BC解析：对于A,令a⊥b,b,c不垂直，此时0=(a·b)·c≠a· (b·c),故A错误； 对于B,(3a+4b)·(3a-4b)=9a2-16b2=91a2-161b2,故B正确； 对于C,因为[(b·c)a-(a·c)b]·c=(b·c)(a·c)-(a·c)· (b·c)=0,所以[(b·c)a-(a·c)b]⊥c,故C正确； 对于D,让b,c互为相反向量，且a⊥b,则有a·b=a·c=0,但是此 时b=c不成立，故D错误 10.12解析：依题意，A正=A店+B配=A+A心，A=2A店，三角形ABC 是等边三角形.A正.Ai=(A店+A心)·2A成=2A+2A元.A= 8+2x2x2x=2 四方法总结 用向量解决平面几何问题的一般步骤： (1)选取不共线的两个平面向量作为基： (2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题： (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解； (4)再将向量问题的解转化为平面儿何问题的解 黑题 应用提优 1.C解析：当“(a,b)为锐角”时，a·b=|a·1b1cos〈a,b)>0.所以 “a·b>0”是“(a,b)为锐角”的必要条件： 当ab=a11b1csa,o>0时，0≤a,6)<号，所以ab>0是 “(a,b〉为锐角”的不充分条件， 所以“a·b>0"是“(a,b)为锐角”的必要不充分条件 2B解折：由a在6上的投影向量为宁0，得60=之6，则 1b12 1b12 1 ),而b是单位向量，因此a·b=),文a是单位向量，所以a·(a中 13 b)=a2+a·b=1+2=2 3.D解析：如图，在△OAB中，记向量OA为题设中的向量a,向量OB为 黑白题025 题设中的向量b,因为a-b与b的夹角为7+a,a-b与b的夹角可以 看作∠0BA的补角，所以∠0AB=7,故可知1b1csa=a1.又因 为a·b=1al1b1cosa,所以a·b=1a12=4. B a-b 4.C解析：如图，由正八边形的特征易知A1A4⊥A2A,所以AA4=2+ 22,A1A7c0s∠A,A1A4=2,由AA·AA7=1A1A1· 1A1A710s∠A2A1A4=(2+2W2)·W2=4+22. 5.D解析：(D店+D元-2Di)·(Ai-A心)=0→(Di-Di+D元-D)· (AB-AC)=0,即(A店+A元)·(A店-A元)=0，A-A心=0,1AB12- 1AC12=0,所以AB=AC,△ABC为等腰三角形 6.A解析：若平面向量m,n,p均是非零向量， ①充分性：当(m·n)p=m(n·p)时， 若m·n=0,则n·p=0,有m⊥n且n⊥p,所以向量m与p共线； 若m·n≠0.则有p三（m:m,有m与p共线，充分性成立 ②必要性：当向量m与p共线时，设向量m方向上的单位向量为e, (m,n〉=0，若向量m与p方向相同，有m=1m|e,p=|p1e,〈p, n)=0,则(m·n)·p=|m|In|Ip|ecos0,m(n·p)=|mlIn|· Iplecos0,满足(m·n)·p=m(n·p); 若向量m与p方向相反，有m=Imle,p=-|ple,〈p,n)=π-0，则 (m·n)p=-Iml Inl lp lecos9,m(n·p)=Im|I n l lpl ecos(π- )=-Imnplecos6,满足(m·n)p=m(n·p),必要性成立. 所以“(m·n)p=m(n·p)”是“向量m与p共线”的充要条件.故选A. 7.C解析：设正方形OA,BC,A1A2B2B1的边长为a,则m=OA1· 0P2=|OA1I·IOP21·cos∠A1OP2=IOA1I·IOA21=a·2a= 2a2,n=0A2·0P=10A21·10p1·cos A20P1=10A21· 10A11=2a·a=2a2,所以m=m.故选C. 8.C解析：在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点P是边BC上的动 点.如图，取BC的中点O,连接AO,由题意可知，A0⊥BC,则AO= √J52-32=4.AB+A乙=2A0,所以AP·(AB+AC)=2A下.A0= 21AP·1Ad1cos∠PA0=21Ad12=32. B P 0 ，解桥：a+b+c=0,(a+b+c)=0,化简得a2+b2+c b+2a·c+2b·c=0.,1a1=1b1=1c1=1,.a2+b2+c2+2a·b+ 2a·c+2b·c=1+1+1+2a·b+2a·c+2b·c=0,解得a·b+b· 3 c+c…a=2 10.子解析：因为a1b,且e1c2=年，1el=e2l=l,所以a·b- (2e,+e2)(Ae-e2)=0,即2Ale112-2e1·e2+ae1·e2-le212=0,所 必修第二册·BS 以2-2小子10，解得4号 1.5解析：如图，点P在边BC上，设成-=入B心(0≤入≤)，则B成= 4 AB成=A(A心-A应)，A币=A+B=入A花+(1-入)A店 因为点M为边AB的中点，所以市-店+B驴=】+（花-应）= 衣（脑 所以成.市=[A花+（分A)应][A衣+1-A)1: A2衣+（分A)小1-A=42+16-24+8=2(a-)广+ 子≥子，当组仅当A=子时取等号，所以.的最小值为号 12解：()由角平分线定理得0化子所u励兮成，所以： 店+励=+成=+}（心-=子破+花 (2)设证=A花因为励-+市：-A花+子+花-子+ (3a)尼 所以动.市：[号+（兮A)成]·（子店+） 萨号.花号（兮应花}（行胶g 告（兮）小8÷ 因为励.而号所以8兰=弓解得A=号放E为C的 中点 13.解：()正=店+成=应+武=店+（心-）=子店+ 号花，=-花=兮诚-花.市（号访+号花）小 (兮应-)号亦应.衣花弓4g2x4对 元5-2号×42x号5成号成2成， mOA=0(mER),:.OE+EC+2(E+EB)+m OA=0,..30E+EC+ 2E2+m0i=0,302+m0i=0,m0i=-302,.0,A,E三点共 线-m10i2=30成.0=-310成1·101≥-3· (:）-(传）广-号且收当=1- 2 ，即0为4E中点时取等号，而O.0心+20.成=0.(0记+ 2 20=-n0成，六0.0成+20成.0最小值为号 压轴挑战 3解析：因为D·D=0,所以点D在以AB为直径的圆上，记AB,AC 的中点分别为0，E,D.D元=(D成+E)·(D成+E元)=(D成+E)· 黑白题026 (D成-E)=D应-E.因为△ABC是边长为2的正三角形，所以EA=1, 所以Di.D元=D-1,易知，当D,O,E三点共线时DE取得最大值，此 时OE=OD=1,所以DA·DC的最大值为DE2-1=22-1=3. 5.2向量数量积的坐标表示+ 5.3利用数量积计算长度与角度 白题基础过关 1.C解析：A(2,1),B(0,4),C(5,6)..AB=(-2,3),AC=(3,5) .AB·AC=-2×3+3×5=9. 2.A解析：因为a=(1,2),b=(x,3),且a·b=4,所以a·b=1×x+2× 3=x+6=4,所以x=-2. 3.03解析：以a,b交点为坐标原点，建立直角坐标系，如图所示， 则a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),.a+b=(4,0),∴.(a+b)·c=4× 0+0×1=0,a·b=2×2+1×(-1)=3. 4.B解析：A元=A+B成=(L,1)+(-2,1)=(-1,2),1A元1= √(-1)2+22=5. 5.AC解析：因为a=1,b1=2a,b的夹角为写，所以a·b=1x2× 2=l,1a-b1=√a2-2a·b+b2=V1-2x1+4=5. 对于A,l3al=√31al=√3，A正确： 对于B,1b-2a=√b2-4a·b+4a2=4-4+4=2,B不正确； 对于C.}(b+2a)-6+4ab+4=4+4r=s。 C正确： 对于D,13b-al=√9b2-6a·b+a2=√/36-6+1=√31，D不正确. 6.A解析：向量b在a上的投影向量为a·ba ab=-2x+1x (-2)=-3-2=-5,1a=-2)2+1=5,则8b -2. (2,-1). (3) 解析：由已知a=(3,-4),则1a1=√32+(-4)2=5 则a方向上的单位向量为；=(？，号)） 8.A解析：s(a,b)=ab -2 Γ1alIb1√22xV-1)2+1平2 9.C解析：因为a1b,所以A+2(+1)=0.即A=-2 3 10.<子且k-解折：若应，衣的夹角为纯角，则店.心<0，且 西花不平行.即-2430.且号+台求得<号且女子 11.解：(1)设直线1的法向量n=(x,y).由题知直线1的一个方向向量 为AB=(-4,3).由直线l的法向量n与直线1垂直，得AB·n=0,所 以-4x+3y=0,取x=3,y=4,则直线1的一个法向量n=(3,4)(满 足-4x+3y=0即可). 参考答案 (2)因为向量P在法向量n上的投影向量m=1P1cos(P,n)” 所以1m1= P·n又因为可=(2,3)，n=(3,4),所以1m1= Inl 6+12=18,即点P到直线1的距离为 55 5 黑题 应用提优 1.BC解析：因为向量a=(1,-2),b=(-1,m), ,所以A 1 对于A,若a与b垂直可得a·b=-1-2m=0,解得m=- 不正确： 对于B,若a/6,可得号解得m=2.即6=(-1,2，则ab=1x (-1)-2×2=-5,所以B正确： 对于C,若m=2,可得b=(-1,2),则a-b=(2,-4),所以|a-b1= √22+(-4)2=25，所以C正确： 对于D,若m=-2,可得b=(-1,-2),则s(a,b)=a:b=-1+4 1al1b1w5×√5 5,此时(a,b)≠60°，所以D错误 2.B解析：a·(a+b)=a2+a·b=5-3=2,1a+b1= Va+2a·b+bF=V5-6+5=2,cs(a,a+b)=8（a+b） |al·|a+b1 2=5 故选B 5×25 3.B解析：由题意知，a·b=|a1·1b1·cos(a·b)=-1al·Ib1, 则cos(a·b)=-l,即(a·b)=T,所以a∥b,所以1×(m-1)-2m=0, 解得m=-1. 4.C解析：以A为原点，以AB,AD所在的直线分别为x轴和y轴建立 平面直角坐标系，如图所示， 因为正方形ABCD的边长为4，且点E,O,N分别是线段AB.AC,OC 的中点，可得E(2,0),D(0,4),B(4,0),N(3,3),则E=(-2,4) B=(-1,3),所以E.B=(-2)x(-1)+4×3=14. 5.C解析：根据题意，0= (分号)成=(0-1).则m(4 B)=cos(0,0i)= 0i.0 10应11x2,所以4，B两点的余弦距 2√3 离为1m4=1(）2 6.C解析：设m=(x1y1）,n=(x232),由m·a=2→x1=2;由n·a= -3→2=-3，所以m-n=(5,为-2)，所以1m-n1= √52+(y12)7≥5（当y1=2时取“=”）. 7.A解析：设c=(x,y).又a=(-3,4),b=(1,0), a·c -3x+4y -3x+4y 所以eos〈a,c)lallel3t4e51 elcas6.c= Bi8后因为(a,e)=(.e,所以ma,e=m(,e,即 b·c 后所以-号对FAda0-345010=2 4),满足x=】,故A正确：对于B,c=5a+b=5(-3,4)+(1,0)三 (-14,20),不满足=)，故B不正确：对于C,c=3a+46=3(-3, 黑白题027§5从力的做功到向量的数量积 5.1向量的数量积 白题 基础过关 限时：40min 题组1向量的数量积的定义 6.*(2025·江苏连云港高一月考)已知e为 1.(2025·广东佛山高一月考)已知向量a, 一单位向量，a与e之间的夹角是120°，而a b的夹知为，且1a1=5.1b1-2.则ah 在e方向上的投影向量为-2e,则 lal= 题组3数量积的运算性质与应用 A.-√3 B.√3 7.*(2025·福建厦门高一期中)已知向量a, C.-3 D.3 2.*(2024·辽宁辽阳高一月考)如图，网格 b满足1a1=1,1b1=2a,6=,则a·(a+ 纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于 b)= 向量a,b,c,d的判断正确的是 ( A.-2 B.-1C.0 D.2 8.(2025·四川乐山高一月考)已知单位向 量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-5,则ab= 4 () A.a·b<0 B.a·d>0 A.、 B.1 3 C.b·c>0 D.b·d=0 1 C.5 1 3.*(2025·福建泉州高一月考)在等腰直角 D.4 三角形ABC中，IAB1=1AC1=2,则AB· 9.*(多选)(2025·江苏南通高一月考)设 BC= a,b,c是非零向量，且相互不共线，则下列命 题组2投影向量和投影数量 题正确的有 () 4.(2025·江西南昌高一期中)向量a与b A.(a·b)·c=a·(b·c) 的夹角为，a=1,b1=3,a在b上投影数 B.(3a+4b)·(3a-4b)=91a12-161b12 C.[(b·c)a-(a·c)b]⊥c 量为 ( D.若a·b=a·c,则b=c A.2 C.1 0.2 10.*（2025·河北沧州高一月考)如图所示， 两个边长为2的等边三角形ABC,BDE有 5.*·(2025·江西赣州高一期末)若非零向量 条边在同一条直线上，则A正·AD= a,b满足2b2=a·b,则a在b方向上的投影 向量为 A.2b B.-2b C.2b D.-*b 第二章黑白题043 黑题 应用提优 限时：45mim 1.*(2025·河北邢台高一月考)设4，b是非6.*(2024·浙江杭州高一期中)若平面向 零向量，则“a·b>0”是“〈a,b)为锐角”的 量m,n,p均是非零向量，则“(m·n)p= ( m(n·p)”是“向量m与p共线”的() A.充要条件 A.充要条件 B.充分不必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.*(2025·江苏无锡高一期中)已知平面向 7.*(2024·湖南长沙高一期末)如图，正方 量a,b是两个单位向量，a在b上的投影向量 形OA,B,C,A,AB2B,是同样大小的正方形， 为b,则a(a+b)F O,A1,A2三点共线.若点P,P2分别是边 A,B1,A,B,上的动点（不包含端点）.记m= A.1 B. 2 0A.0P,n=0A,·0P,则 () C.√2 D.3 3.*(2025·江西九江高一期中)已知两个非 零向量a,b的夹角为a(0<a<7),非零向量 a-b与b的夹角为+a,若a1=2,则a~b A.m>n B.m<n C.m=n A.1 B.√2 C.2 D.4 D.m,n的大小关系不能确定 4.**(2025·江苏南京师大附中高一期中)已 8.*(2025·河北承德高一期中)如图，在等 知正八边形A1A2A3A4AA6A,A3的边长为2，则 腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点P是边BC A1A·A1A)= ( 上的动点，则AP·(AB+AC) () A.2 B.22 C.4+22 D.4+√2 5.*(2025·湖南长沙高一期中)设A,B,C,D 是平面上四个不同的点，其中任意三点不共 线，若(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,则 A.为定值16 △ABC是 B.不为定值，有最大值16 A.等边三角形 C.为定值32 B.直角三角形 D.不为定值，有最小值32 C.等腰直角三角形 9.*已知a+b+c=0,且|al=1b1=|cl=1,则 D.等腰三角形 a·b+b·c+c·a= 必修第二册·BS黑白题044 10.*(2025·浙江杭州高一期中)已知e1,e2为13.(2025·江苏南通高一月考)如图，在 平面中的单位向量，满足e1·e=4, 1 若 △ABC中，AB=2,AC=4,∠BAC=120°， BD=2 DA,CE=2 EB. a=2e1+e2,b=入e1-e2,且a⊥b,则实数 (1)求AE.CD的值； 入三 11.**(2025·江西景德镇一中高一期中)在 (2)若O是△ABC内一点，且满足OC+ △ABC中，∠A=90°，AB=4,AC=2,点M为 20B+m0i=0(meR),求0A·0元+ 边AB的中点，点P在边BC上，则MP·AP的 2OA·OB的最小值， 最小值为 12.#(2025·山东泰安高一期中)△ABC的 内角为AB,CA=2,AB=1,4G=2,角A的 平分线为AD,D在BC上 (1)用AB,AC表示AD: (2)若E为4C边上一点，且历.而-弓，试 确定E点的位置，并说明理由. 压轴挑战 林(2025·广东惠州高一月考)已 知△ABC是边长为2的正三角形， 点D在平面ABC内且DA·DB=0,则DA·DC 的最大值为 第二章黑白题045