1.6 第2课时 y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（北师大版）

1.6 第2课时 y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 [课时跟踪检测] 1.(2024·北京高考)设函数f(x)=sin ωx(ω>0).已知f(x1)=-1,f(x2)=1,且|x1-x2|的最小值为,则ω= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　因为f(x)=sin ωx∈[-1,1],且f(x1)=-1,f(x2)=1,|x1-x2|min=,所以f(x)的最小正周期T=2×=π,所以ω==2. 2.下列区间中,函数f(x)=7sin单调递增的区间是 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　当函数f(x)=7sin单调递增时,-+2kπ<x-<+2kπ,k∈Z,解得-+2kπ<x<+2kπ,k∈Z.令k=0,得-<x<.因为⊆,所以是函数f(x)=7sin单调递增的区间.故选A. 3.函数f(x)=sin在区间上的最小值是 (　　) A.-1 B.- C. D.0 解析:选B　∵x∈,∴2x-∈. ∴sin∈.∴f(x)min=-. 4.(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法正确的有 (　　) A.f(x)与g(x)有相同零点 B.f(x)与g(x)有相同最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析:选BC　令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即为f(x)零点, 令g(x)=sin=0,解得x=+,k∈Z,即为g(x)零点,显然f(x),g(x)零点不同,故A错误; 显然f(x)max=g(x)max=1,故B正确; f(x),g(x)的最小正周期均为=π,故C正确; 根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+⇔x=+(k∈Z),g(x)的对称轴满足2x-=kπ+⇔x=+(k∈Z),显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,故D错误.故选BC. 5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且f(x)的图象关于点对称,则f= (　　) A. B.- C. D.- 解析:选A　由题意得,函数f(x)的最小正周期为×2=π,所以=π,得ω=2.所以f(x)=sin(2x+φ). 因为f(x)的图象关于点对称, 所以sin=0. 所以2×+φ=kπ,k∈Z,故φ=kπ-,k∈Z. 又|φ|≤,所以φ=-.所以f(x)=sin. 所以f=sin=sin=. 6.(2024·天津高考)已知函数f(x)=sin 3(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)在的最小值为 (　　) A.- B.- C.0 D. 解析:选A　由f(x)的最小正周期为π,可得π=,所以ω=,所以f(x)=sin(2x+π)=-sin 2x.当x∈时,2x∈,当2x=时,y=sin 2x取得最大值.所以f(x)min=-,故选A. 7.已知函数f(x)=sin(ω>0,x∈R).若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为 (　　) A. B.2 C. D. 解析:选D　因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤·,即ω2≤,即ω2=,所以ω=. 8.(5分)若f(x)=cos是奇函数,则φ=__________.  解析:由题意,可知+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z.又|φ|<,故当k=0时,φ=. 答案: 9.(5分)函数f(x)=sin(ω≠0),则f(x)的奇偶性是__________,若f(x)的周期为π,则ω=__________. 解析:∵f(x)=sin=-cos ωx, ∴f(-x)=-cos(-ωx)=-cos ωx=f(x). ∴f(x)为偶函数.又T=π,∴=π,即ω=±2. 答案:偶函数　±2 10.(5分)已知函数y=f(x)的表达式f(x)=Asin(2x+φ)-,y=f(x)的图象在y轴上的截距为1,且关于直线x=对称,若存在x∈,使m2-3m≥f(x)成立,则实数m的取值范围为____________________　.  解析:由y=f(x)的图象在y轴上的截距为1,得f(x)=Asin φ-=1⇒Asin φ=. 由y=f(x)的图象关于直线x=对称, 得2×+φ=kπ+,k∈Z. 又0<φ<,∴φ=.∴Asin=⇒A=. ∴f(x)=sin-. 当x∈时,2x+∈, 故当2x+=,即x=时, f(x)min=-2, 故存在x∈,使m2-3m≥f(x)成立等价于m2-3m≥-2,解得m≤1或m≥2. 答案:(-∞,1]∪[2,+∞) 11.(5分)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为__________. 解析:由“五点(画图)法”知,解得ω=π,φ=,所以f(x)=cos. 令2kπ≤πx+≤2kπ+π,k∈Z, 解得2k-≤x≤2k+,k∈Z.故f(x)的单调递减区间为,k∈Z. 答案:,k∈Z 12.(10分)已知函数f(x)=2sin,x∈R. (1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标;(5分) (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.(5分) 解:(1)由2x-=kπ+(k∈Z), 得x=+(k∈Z). 所以函数f(x)的对称轴方程为x=+,k∈Z. 由2x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z). 所以函数f(x)的对称中心为,k∈Z. (2)因为0≤x≤,所以-≤2x-≤. 所以当2x-=-, 即x=0时,f(x)取得最小值-1; 当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值2. 13.(10分)(2025·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π),f(0)=. (1)求φ;(2分) (2)设函数g(x)=f(x)+f,求g(x)的值域和单调区间.(8分) 解:(1)f(0)=cos φ=,由0≤φ<π,故φ=. (2)由(1)可知f(x)=cos, ∴g(x)=f(x)+f=cos+cos 2x=cos, 故g(x)的值域为[-,], 令2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即g(x)的单调递减区间为,k∈Z, 令2kπ+π≤2x+≤2π+2kπ,k∈Z,解得π+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,即g(x)的单调递增区间为,k∈Z. 14.(10分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式;(4分) (2)求方程f(x)-lg x=0的解的个数.(6分) 解:(1)由题图知A=2, 由函数图象过点(0,1),得f(0)=1,即sin φ=. 又|φ|<,所以φ=. 易知点是“五点(画图)法”中的第五点, 所以ω+=2π,解得ω=2. 因此所求函数的解析式为f(x)=2sin. (2)在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图所示. 因为f(x)的最大值为2,令lg x=2,得x=100.令+kπ<100(k∈Z),得k≤30(k∈Z). 而+31π>100,且+30π+<100, 所以在区间(0,100]内有31个形如(k∈Z,0≤k≤30)的区间. 在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点,故这两个函数的图象在上有2×31=62(个)交点. 另外,两函数的图象在上还有一个交点,所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数解. 学科网（北京）股份有限公司 $