1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（北师大版）

1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 [课时跟踪检测] 1.若sin α=,cos α=-,则在角α终边上的点有 (　　) A.(-4,3) B.(3,-4) C.(4,-3) D.(-3,4) 解析:选A　由sin α,cos α的定义知,当x=-4,y=3,r=5时,满足题意,故选A. 2.已知角α的终边经过点P(-2,1),则sin α的值为 (　　) A. B. C.- D.- 解析:选A　因为角α的终边经过点P(-2,1), 所以sin α==. 3.如果角α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),则sin α等于 (　　) A. B.- C.- D.- 解析:选C　由题意得P(1,-),它与原点的距离r==2,∴sin α=-. 4.已知角α的终边经过点P(4,b),且sin α=-,则b的值为 (　　) A.3 B.-3 C.±3 D.5 解析:选B　根据三角函数的定义知sin α==-,且b<0,即25b2=9(16+b2),解得b=-3. 5.[多选]已知角α的终边上有一点P的坐标是(3a,4|a|),其中a≠0,则下列取值有可能的是 (　　) A.sin α=- B.cos α=- C.sin α+cos α= D.sin α-cos α= 解析:选BCD　当a>0时,P(3a,4a),则sin α===,cos α==,则sin α+cos α=,sin α-cos α=,故D正确; 当a<0时,P(3a,-4a),则sin α==,cos α==-,则sin α+cos α=,sin α-cos α=,故B、C正确.综上,A错误,B、C、D可能正确. 6.已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|=r,则点P的坐标为 (　　) A.P(sin α,cos α) B.P(cos α,sin α) C.P(rsin α,rcos α) D.P(rcos α,rsin α) 解析:选D　设P(x,y),则sin α=,∴y=rsin α.又cos α=,∴x=rcos α.∴P(rcos α,rsin α),故选D. 7.(5分)在单位圆中,cos__________0,sin__________0.(填“>”或“<”).  答案:<　< 8.(5分)若α=-,则sin α=　　　,cos α=　　　.  解析:因为角-的终边与单位圆交于P,所以sin α=-,cos α=. 答案:- 　 9.(5分)已知角α的终边上一点P与点A(-3,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点对称,则sin α+sin β=__________.  解析:由题意,知P(3,2),Q(3,-2),从而sin α==,sin β==-,所以sin α+sin β=0. 答案:0 10.(5分)设函数f(θ)=sin θ+cos θ,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π. 若点P的坐标为,则sin θ=　　 　,cos θ=__________ ,f(θ)=　　　 .   解析:由点P的坐标为和正(余)弦函数定义得,sin θ=,cos θ=,所以f(θ)=sin θ+cos θ=×+=2. 答案:　　2 11.(5分)已知函数y=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象经过定点P,且点P在角α的终边上,则sin αcos α=__________.  解析:因为函数y=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象经过定点P, 令x+1=0,则x=-1,y=2,所以P(-1,2). 于是sin α===, cos α==-, 所以sin αcos α=×=-. 答案:- 12.(5分)已知角α的终边经过点(3a,a+5),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围为__________.  解析:∵cos α≤0,sin α>0, ∴角α的终边落在第二象限或y轴的非负半轴上. ∴解得-5<a≤0, 即实数a的取值范围为(-5,0]. 答案:(-5,0] 13.(10分)利用定义求sin,cos的值. 解:如图,在平面直角坐标系中画出角的终边. 设角的终边与单位圆的交点为P,则有P. 故sin=-,cos=-. 14.(10分)已知角α终边上一点P与x轴的距离和y轴的距离之比为3∶4,求2sin α+cos α的值. 解:∵角α终边上一点P与x轴的距离和y轴的距离之比为3∶4.∴P(±4a,±3a)(a≠0). 当角α终边在第一象限时,cos α=,sin α=,2sin α+cos α=2; 当角α终边在第二象限时,cos α=-,sin α=,2sin α+cos α=; 当角α终边在第三象限时,cos α=-,sin α=-,2sin α+cos α=-2; 当角α终边在第四象限时,cos α=,sin α=-,2sin α+cos α=-. 15.(10分)已知角α的终边上有一点P,OP=25,且sin α=-,求点P的坐标. 解:设点P的坐标为(x,y),r=OP=25, ∵π<α<,∴x<0,y<0. ∵sin α=-,∴sin α===-, 解得y=-20.∵r=OP=25, ∴=25,即=25. 又x<0,解得x=-15.故点P的坐标为(-15,-20). 16.(10分)如图,动点P,Q从点A(4,0)出发,沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求P,Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长. 解:设P,Q第一次相遇时所用的时间是t秒, 则t·+t·=2π. ∴t=4(秒),即第一次相遇的时间为4秒. 设第一次相遇点为C,第一次相遇时P点已运动到终边在·4=的位置,则xC=-cos·4=-2, yC=-sin·4=-2. ∴C点的坐标为(-2,-2), P点走过的弧长为·4=, Q点走过的弧长为·4=. 学科网（北京）股份有限公司 $