1.3 弧度制 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（北师大版）

1.3 弧度制 [课时跟踪检测] 1.下列各命题是真命题的为 (　　) A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度等于半径的弧 C.1弧度是1°的弧与1°的角之和 D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角 解析:选D　根据弧度制和角度制的规定可知A、B、C均错误,D正确. 2.已知角α=15°,则α的弧度数为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　因为1°=,所以15°=15×=, 所以α的弧度数为.故选D. 3.若α=-+kπ,k∈Z,则α终边所在象限为 (　　) A.第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限 解析:选B　∵-经过第三象限,则反向延长其终边射线经过第一象限, ∴α=-+kπ,k∈Z经过第一、三象限.故选B. 4.将-1 485°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是 (　　) A.-8π B.π-8π C.-10π D.π-10π 解析:选D　因为-1 485°=-5×360°+315°,360°=2π rad,315°=π rad,所以-1 485°可化成π-10π.故选D. 5.已知半径为1的扇形面积为,则扇形的圆心角为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由S=αr2,得=×α×12,解得α=. 6.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长,则这段圆弧所对的圆心角为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　如图,设圆的半径为R,则正方形边长为R,∴弧长l=R,∴圆心角α===. 7.[多选]下列命题正确的是 (　　) A.1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B.5弧度的角是第四象限角 C.α是第一象限角,则-α也是第一象限角 D.-1弧度角是锐角 解析:选BC　A选项,1弧度的角就是弧长为半径的弧所对的圆心角,A选项错误.B选项,因为<5<2π,所以5弧度是第四象限角.B选项正确.C选项,因为α是第一象限角,即2kπ<α<2kπ+,k∈Z,所以-2kπ-<-α<-2kπ,k∈Z,-2kπ<-α<-2kπ+,k∈Z.所以-α也是第一象限角.C选项正确.D选项,因为-1弧度角是负角,所以不是锐角.D选项错误. 8.《九章算术》是我国算术名著,其中有这样的一个问题:“今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何?”意思是说:“现有扇形田,弧长30步,直径16步,问面积是多少?”在此问题中,扇形的圆心角的弧度数是 (　　) A. B. C. D.120 解析:选A　因为直径16步,故半径为R=8步,S==120(平方步).设扇形的圆心角为α,则S=αR2,即120=α×64⇒α=. 9.[多选]下列表述正确的是 (　　) A.与终边相同的角的集合是 B.π=180° C.在半径为6的圆中,弧度的圆心角所对的弧长为2π D.第二象限角都是钝角 解析:选ABC　对于A,与终边相同的角的集合是,A正确; 对于B,π(rad)=180°,B正确; 对于C,在半径为6的圆中,弧度的圆心角所对的弧长为×6=2π,C正确; 对于D,第二象限角的取值范围为(k∈Z),不一定为钝角,D错误.故选ABC. 10.[多选]小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后,对家里的扇形瓷器盘(图1)产生了浓厚的兴趣,并临摹出该瓷器盘的大致形状,如图2所示,在扇形OAB中,∠AOB=,OB=OA=2,则 (　　) A.∠AOB=30° B.弧长= C.扇形OAB的周长为+4 D.扇形OAB的面积为 解析:选BC　∠AOB==60°,所以A错;弧长=αr=×2=,所以B对;扇形OAB的周长为+4,所以C对;面积为S=lr=××2=,所以D错. 11.(5分)-π的角化为角度制的结果为__________.  解析:-π=-°=-300°. 答案:-300° 12.(5分)已知集合A={x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z},集合B={x|-4≤x≤4},则A∩B=__________.  解析:如图所示, ∴A∩B=[-4,-π]∪[0,π]. 答案:[-4,-π]∪[0,π] 13.(5分)“数摺聚清风,一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句,折扇出人怀袖,扇面书画,扇骨雕琢,是文人雅士的宠物,所以又有“怀袖雅物”的别号,如图,这是折扇的示意图,已知D为OA的中点,OA=4,∠AOB=,则此扇面(扇环ABCD)部分的面积是__________. 解析:由题意可得整个折扇扇形的半径r=4,圆心角α=, 故扇面面积S=αr2-α·=αr2=××42=4π. 答案:4π 14.(10分)已知α=1 690°. (1)把α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式;(4分) (2)求θ,使θ与α终边相同,且θ∈(-4π,4π).(6分) 解:(1)1 690°=1 440°+250° =4×360°+250°=4×2π+π. (2)∵θ与α终边相同,∴θ=2kπ+π(k∈Z). 又θ∈(-4π,4π),∴-4π<2kπ+π<4π, 解得-<k<(k∈Z).∴k=-2,-1,0,1. ∴θ的值是-π,-π,π,π. 15.(10分)(1)已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm2,求扇形圆心角的弧度数.(5分) (2)已知一扇形的周长为4,当它的半径与圆心角取何值时,扇形的面积最大?最大值是多少?(5分) 解:(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l cm,半径为R cm,依题意有 ①代入②得R2-5R+4=0,解得R=1或R=4. 当R=1时,l=8,此时,θ=8 rad>2π rad舍去. 当R=4时,l=2,此时,θ==(rad). 综上可知,扇形圆心角的弧度数为 rad. (2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l,半径为r,面积为S, 则l+2r=4,所以l=4-2r, 所以S=lr=×(4-2r)×r=-r2+2r=-(r-1)2+1, 所以当r=1时,S最大,且Smax=1, 此时θ===2(rad). 学科网（北京）股份有限公司 $