小升初奥数培优讲义专题15 流水行船与扶梯问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学·通用版

专题15 流水行船与扶梯问题 知识梳理 1. 流水行船问题 在行程问题中，如果参考系（如水面）本身在运动，那么物体的实际速度会受到参考系速度的影响。 (1)核心公式： ①　顺水速度 = 船速（静水速度） + 水速 ②　逆水速度 = 船速（静水速度） - 水速 (2)推导公式（和差问题）： ①　船速 = (顺水速度 + 逆水速度) ÷ 2 ②　水速 = (顺水速度 - 逆水速度) ÷ 2 (3)重要性质： ①　相遇问题：两船在河流中相向而行（一顺水、一逆水），它们的速度和等于两船在静水中速度之和，与水速无关。 公式： ②　追及问题：两船同向而行，速度差只与两船在静水中的速度差有关。 ③　漂浮物：漂浮物的速度等于水速。 2. 自动扶梯问题 扶梯问题与流水行船在数学模型上完全一致，但物理情境不同。人走的路程取决于扶梯的级数。 (1)核心类比： ①　顺水行船 顺行扶梯（人顺着扶梯走） ②　逆水行船 逆行扶梯（人逆着扶梯走） (2)变量定义： ①　设 为人在静止扶梯上走的速度（级/秒）。 ②　设 为扶梯运行的速度（级/秒）。 (3)公式： ①　顺行扶梯（同向）： ②　逆行扶梯（反向）： ③　扶梯可见级数：无论人走不走，扶梯露在外面的级数 是固定的。 顺行时： （扶梯自己跑的级数）+ 人走的级数。 通常用方程组求解： 3. 两类问题对比 项目 流水行船 自动扶梯 核心变量 船速、水速、路程 人速、梯速、可见级数 同向公式 顺水速 = 船速 + 水速 级数 = (人速 + 梯速) 时间 反向公式 逆水速 = 船速 - 水速 级数 = (人速 - 梯速) 时间 关键区别 路程是连续的距离 结果通常是整数“级数” 例题讲解 【典型例题1】流水行船基础 一只船顺水行320千米需要8小时，水流速度是每小时15千米。求这只船逆水行这段路程需要几小时？ 【分析】 1. 求顺水速度：路程 时间 = (千米/时)。 2. 求船速：顺水速度 - 水速 = (千米/时)。 3. 求逆水速度：船速 - 水速 = (千米/时)。 4. 求逆水时间：路程 逆水速度。 【详解】 【答案】 需要 32 小时。 【跟踪训练1】 一艘轮船从甲港开往乙港，顺水而行每小时行28千米，返回甲港时逆水航行，用了6小时。已知水速是每小时4千米，求甲乙两港的距离。 【分析】 1. 已知顺水速度和水速，可求船速。 2. 利用船速和水速求逆水速度。 3. 利用逆水速度 逆水时间 = 距离。 【详解】 【答案】 甲乙两港相距 120 千米。 【典型例题2】扶梯问题（求可见级数） 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，男孩每分钟走80级，用2分钟到达楼上；女孩每分钟走60级，用3分钟到达楼上。求扶梯的可见级数。 【分析】 这是一个典型的扶梯相遇问题（人梯同向）。扶梯的总级数等于人走的级数加上扶梯在这段时间内移动的级数。 设扶梯速度为 级/分。 男孩：总级数 女孩：总级数 因为总级数 不变，列方程求解 ，再求 。 【详解】 代入男孩公式： (级) 【答案】 扶梯的可见级数是 200 级。 【跟踪训练2】 两个孩子逆着自动扶梯的方向行走。男孩20秒走29级，女孩20秒走21级。男孩用了5分钟到达另一端，女孩用了6分钟到达另一端。问该自动扶梯共有多少级？ 【分析】 1. 先算出人速（级/秒）：男孩 ，女孩 。 2. 时间单位换算：5分=300秒，6分=360秒。 3. 逆着走：总级数 (人速 - 梯速) 时间。 4. 列方程： 【详解】 设梯速为 级/秒。 代入： (级) 【答案】 自动扶梯共有 150 级。 【典型例题3】流水行船相遇与追及 甲、乙两船在静水中的速度分别是24千米/时和32千米/时。两船从相距336千米的A、B两港同时出发相向而行，水流速度是4千米/时。问几小时后两船相遇？ 【分析】 两船相向而行，一船顺水，一船逆水。根据流水行船相遇问题的性质，它们的速度和等于两船在静水中的速度之和，与水速无关。 直接用总路程 (船速甲 + 船速乙) 即可。 【详解】 【答案】 6 小时后两船相遇。 【跟踪训练3】 商场的自动扶梯匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上走2梯级，女孩每秒向上走3梯级。结果男孩用100秒到达楼上，女孩用80秒到达楼上。该扶梯共有多少级？ 【分析】 同向而行，总级数 = (人速 + 梯速) 时间。 设梯速为 级/秒。 男孩方程： 女孩方程： 联立求解。 【详解】 代入： (级) 【答案】 该扶梯共有 400 级。 提升练习 1. 一只船在静水中的速度是每小时 18 千米，水流速度是每小时 2 千米。这只船顺水航行 4 小时，能走多远？ 【详解】 1. 顺水速度 = 船速 + 水速 = 18 + 2 = 20 (千米/时)。 2. 路程 = 顺水速度 × 时间 = 20 × 4 = 80 (千米)。 【答案】 能走 80 千米。 2. 一艘轮船从 A 港顺水开往 B 港，每小时行 30 千米，6 小时到达。已知水速是每小时 5 千米，求这艘船从 B 港逆水返回 A 港需要几小时？ 【详解】 1. 求路程：30 × 6 = 180 (千米)。 2. 求船速：顺水速度 - 水速 = 30 - 5 = 25 (千米/时)。 3. 求逆水速度：船速 - 水速 = 25 - 5 = 20 (千米/时)。 4. 求逆水时间：路程 ÷ 逆水速度 = 180 ÷ 20 = 9 (小时)。 【答案】 需要 9 小时。 3. 一艘船逆水航行 120 千米用了 10 小时，水流速度是每小时 3 千米。求这只船在静水中的速度是多少？ 【详解】 1. 求逆水速度：路程 ÷ 时间 = 120 ÷ 10 = 12 (千米/时)。 2. 求船速：逆水速度 + 水速 = 12 + 3 = 15 (千米/时)。 【答案】 船在静水中的速度是 15 千米/时。 4. 甲、乙两港相距 240 千米。一艘轮船从甲港开往乙港顺水而行用了 8 小时，已知船在静水中的速度是 25 千米/时。这艘轮船从乙港返回甲港逆水航行需要几小时？ 【详解】 1. 求顺水速度：240 ÷ 8 = 30 (千米/时)。 2. 求水速：顺水速度 - 船速 = 30 - 25 = 5 (千米/时)。 3. 求逆水速度：船速 - 水速 = 25 - 5 = 20 (千米/时)。 4. 求逆水时间：240 ÷ 20 = 12 (小时)。 【答案】 需要 12 小时。 5. 甲船在静水中的速度是每小时 20 千米，乙船是每小时 30 千米。两船同时从相距 250 千米的两个码头相向而行（一顺水一逆水），水流速度是每小时 5 千米。问几小时后两船相遇？ 【详解】 1. 根据流水行船相遇性质，速度和 = 甲船速 + 乙船速（水速抵消）。 2. 速度和 = 20 + 30 = 50 (千米/时)。 3. 相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和 = 250 ÷ 50 = 5 (小时)。 【答案】 5 小时后两船相遇。 6. 甲、乙两船在静水中的速度分别为 22 千米/时和 18 千米/时。两船从同一港口同时出发，同向而行（均为顺水），水流速度是 4 千米/时。几小时后两船相距 40 千米？ 【详解】 1. 根据流水行船追及性质，速度差 = 甲船速 - 乙船速（水速抵消）。 2. 速度差 = 22 - 18 = 4 (千米/时)。 3. 追及时间 = 路程差 ÷ 速度差 = 40 ÷ 4 = 10 (小时)。 【答案】 10 小时后两船相距 40 千米。 7. 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶。男孩每分钟走 100 级，用 1.5 分钟到达楼上；女孩每分钟走 80 级，用 2 分钟到达楼上。求扶梯的可见级数。 【详解】 1. 设扶梯速度为 级/分。 2. 男孩路程方程： 3. 女孩路程方程： 4. 列方程： 5. 解方程： 6. 代入求 ： (级) 【答案】 扶梯的可见级数是 180 级。 8. 两个孩子顺着自动扶梯的方向行走。男孩每秒走 3 级，用 50 秒到达楼上；女孩每秒走 2 级，用 60 秒到达楼上。求该自动扶梯共有多少级？ 【详解】 1. 设梯速为 级/秒。 2. 男孩方程： 3. 女孩方程： 4. 列方程： 5. 解方程： 6. 代入求 ： (级) 【答案】 该自动扶梯共有 300 级。 9. 两个孩子逆着自动扶梯的方向行走。男孩每秒走 2 级，用 100 秒到达楼下；女孩每秒走 1.5 级，用 120 秒到达楼下。求自动扶梯的可见级数。 【详解】 1. 逆向行走，总级数 = (人速 - 梯速) × 时间。 2. 设梯速为 级/秒。 3. 男孩方程： 4. 女孩方程： 5. 列方程： 6. 解方程： 7. 代入求 ： (级) 【答案】 自动扶梯的可见级数是 100 级。 10. 商场的自动扶梯匀速由下往上行驶，男孩每秒向上走 1 级，用 150 秒到达楼上；女孩每秒向上走 2 级，用 100 秒到达楼上。求扶梯共有多少级？ 【详解】 1. 设梯速为 级/秒。 2. 男孩： 3. 女孩： 4. 列方程： 5. 解方程： 6. 代入求 ： (级) 【答案】 扶梯共有 300 级。 11. 两个孩子逆着自动扶梯的方向行走。男孩 10 秒走 15 级，女孩 10 秒走 10 级。男孩用了 4 分钟到达另一端，女孩用了 6 分钟到达另一端。问该自动扶梯共有多少级？ 【详解】 1. 先算人速：男孩 级/秒；女孩 级/秒。 2. 时间换算：男孩 秒；女孩 秒。 3. 设梯速为 级/秒。 4. 男孩方程： 5. 女孩方程： 6. 列方程： 7. 解方程： (说明扶梯没动，即静止扶梯) 8. 代入求 ： (级) 【答案】 该自动扶梯共有 360 级。 12. 一个男孩和一个女孩同时在自动扶梯上行走。男孩每秒走 2 级，用 100 秒到达楼上；女孩每秒走 3 级，用 80 秒到达楼上。求扶梯的可见级数。 【详解】 1. 设梯速为 级/秒。 2. 男孩方程： 3. 女孩方程： 4. 列方程： 5. 解方程： 6. 代入求 ： (级) 【答案】 扶梯的可见级数是 400 级。 13. 一艘轮船往返于相距 240 千米的 A、B 两港之间。去时（顺水）每小时行 30 千米，返回时（逆水）每小时行 20 千米。求这艘轮船往返的平均速度。 【详解】 1. 去时时间： (小时)。 2. 返回时间： (小时)。 3. 总路程： (千米)。 4. 总时间： (小时)。 5. 平均速度 = 总路程 ÷ 总时间 = (千米/时)。 【答案】 往返的平均速度是 24 千米/时。 14. 自动扶梯由下往上行驶。男孩每秒走 1 级，女孩每秒走 2 级。男孩用了 120 秒到达楼上，女孩用了 90 秒到达楼上。求扶梯的可见级数和扶梯的速度。 【详解】 1. 设梯速为 级/秒。 2. 男孩方程： 3. 女孩方程： 4. 列方程： 5. 解方程： 6. 代入求 ： (级) 【答案】 扶梯的可见级数是 360 级，扶梯速度是 2 级/秒。 15. 甲、乙两船在静水中的速度分别为 30 千米/时和 20 千米/时。两船从相距 300 千米的两港同时出发相向而行（一顺水一逆水）。已知水速是 5 千米/时。问几小时后两船相遇？ 【详解】 1. 根据相遇性质，速度和 = 甲船速 + 乙船速 = 30 + 20 = 50 (千米/时)。 2. 相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和 = 300 ÷ 50 = 6 (小时)。 【答案】 6 小时后两船相遇。 16. 两个孩子逆着自动扶梯的方向行走。男孩每分钟走 60 级，女孩每分钟走 40 级。男孩用了 2 分钟到达楼下，女孩用了 3 分钟到达楼下。求自动扶梯的可见级数。 【详解】 1. 设梯速为 级/分。 2. 男孩方程： 3. 女孩方程： 4. 列方程： 5. 解方程： (扶梯静止) 6. 代入求 ： (级) 【答案】 自动扶梯的可见级数是 120 级。 17. 一艘轮船从甲港开往乙港顺水航行，每小时行 28 千米，水速是每小时 4 千米。这艘船从乙港返回甲港时逆水航行，每小时行 20 千米。求甲乙两港的距离（已知去时比回时少用 2 小时）。 【详解】 1. 设去时（顺水）时间为 小时，则回时（逆水）时间为 小时。 2. 路程相等： 3. 解方程： 4. 求距离： (千米)。 【答案】 甲乙两港的距离是 140 千米。 18. 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶。男孩每秒走 4 级，用 50 秒到达楼上；女孩每秒走 3 级，用 60 秒到达楼上。求扶梯的可见级数和扶梯的速度。 【详解】 1. 设梯速为 级/秒。 2. 男孩方程： 3. 女孩方程： 4. 列方程： 5. 解方程： 6. 代入求 ： (级) 【答案】 扶梯的可见级数是 300 级，扶梯速度是 2 级/秒。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 流水行船与扶梯问题 知识梳理 1. 流水行船问题 在行程问题中，如果参考系（如水面）本身在运动，那么物体的实际速度会受到参考系速度的影响。 (1)核心公式： ①　顺水速度 = 船速（静水速度） + 水速 ②　逆水速度 = 船速（静水速度） - 水速 (2)推导公式（和差问题）： ①　船速 = (顺水速度 + 逆水速度) ÷ 2 ②　水速 = (顺水速度 - 逆水速度) ÷ 2 (3)重要性质： ①　相遇问题：两船在河流中相向而行（一顺水、一逆水），它们的速度和等于两船在静水中速度之和，与水速无关。 公式： ②　追及问题：两船同向而行，速度差只与两船在静水中的速度差有关。 ③　漂浮物：漂浮物的速度等于水速。 2. 自动扶梯问题 扶梯问题与流水行船在数学模型上完全一致，但物理情境不同。人走的路程取决于扶梯的级数。 (1)核心类比： ①　顺水行船 顺行扶梯（人顺着扶梯走） ②　逆水行船 逆行扶梯（人逆着扶梯走） (2)变量定义： ①　设 为人在静止扶梯上走的速度（级/秒）。 ②　设 为扶梯运行的速度（级/秒）。 (3)公式： ①　顺行扶梯（同向）： ②　逆行扶梯（反向）： ③　扶梯可见级数：无论人走不走，扶梯露在外面的级数 是固定的。 顺行时： （扶梯自己跑的级数）+ 人走的级数。 通常用方程组求解： 3. 两类问题对比 项目 流水行船 自动扶梯 核心变量 船速、水速、路程 人速、梯速、可见级数 同向公式 顺水速 = 船速 + 水速 级数 = (人速 + 梯速) 时间 反向公式 逆水速 = 船速 - 水速 级数 = (人速 - 梯速) 时间 关键区别 路程是连续的距离 结果通常是整数“级数” 例题讲解 【典型例题1】流水行船基础 一只船顺水行320千米需要8小时，水流速度是每小时15千米。求这只船逆水行这段路程需要几小时？ 【跟踪训练1】 一艘轮船从甲港开往乙港，顺水而行每小时行28千米，返回甲港时逆水航行，用了6小时。已知水速是每小时4千米，求甲乙两港的距离。 【典型例题2】扶梯问题（求可见级数） 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，男孩每分钟走80级，用2分钟到达楼上；女孩每分钟走60级，用3分钟到达楼上。求扶梯的可见级数。 【跟踪训练2】 两个孩子逆着自动扶梯的方向行走。男孩20秒走29级，女孩20秒走21级。男孩用了5分钟到达另一端，女孩用了6分钟到达另一端。问该自动扶梯共有多少级？ 【典型例题3】流水行船相遇与追及 甲、乙两船在静水中的速度分别是24千米/时和32千米/时。两船从相距336千米的A、B两港同时出发相向而行，水流速度是4千米/时。问几小时后两船相遇？ 【跟踪训练3】 商场的自动扶梯匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上走2梯级，女孩每秒向上走3梯级。结果男孩用100秒到达楼上，女孩用80秒到达楼上。该扶梯共有多少级？ 提升练习 1. 一只船在静水中的速度是每小时 18 千米，水流速度是每小时 2 千米。这只船顺水航行 4 小时，能走多远？ 2. 一艘轮船从 A 港顺水开往 B 港，每小时行 30 千米，6 小时到达。已知水速是每小时 5 千米，求这艘船从 B 港逆水返回 A 港需要几小时？ 3. 一艘船逆水航行 120 千米用了 10 小时，水流速度是每小时 3 千米。求这只船在静水中的速度是多少？ 4. 甲、乙两港相距 240 千米。一艘轮船从甲港开往乙港顺水而行用了 8 小时，已知船在静水中的速度是 25 千米/时。这艘轮船从乙港返回甲港逆水航行需要几小时？ 5. 甲船在静水中的速度是每小时 20 千米，乙船是每小时 30 千米。两船同时从相距 250 千米的两个码头相向而行（一顺水一逆水），水流速度是每小时 5 千米。问几小时后两船相遇？ 6. 甲、乙两船在静水中的速度分别为 22 千米/时和 18 千米/时。两船从同一港口同时出发，同向而行（均为顺水），水流速度是 4 千米/时。几小时后两船相距 40 千米？ 7. 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶。男孩每分钟走 100 级，用 1.5 分钟到达楼上；女孩每分钟走 80 级，用 2 分钟到达楼上。求扶梯的可见级数。 8. 两个孩子顺着自动扶梯的方向行走。男孩每秒走 3 级，用 50 秒到达楼上；女孩每秒走 2 级，用 60 秒到达楼上。求该自动扶梯共有多少级？ 9. 两个孩子逆着自动扶梯的方向行走。男孩每秒走 2 级，用 100 秒到达楼下；女孩每秒走 1.5 级，用 120 秒到达楼下。求自动扶梯的可见级数。 10. 商场的自动扶梯匀速由下往上行驶，男孩每秒向上走 1 级，用 150 秒到达楼上；女孩每秒向上走 2 级，用 100 秒到达楼上。求扶梯共有多少级？ 11. 两个孩子逆着自动扶梯的方向行走。男孩 10 秒走 15 级，女孩 10 秒走 10 级。男孩用了 4 分钟到达另一端，女孩用了 6 分钟到达另一端。问该自动扶梯共有多少级？ 12. 一个男孩和一个女孩同时在自动扶梯上行走。男孩每秒走 2 级，用 100 秒到达楼上；女孩每秒走 3 级，用 80 秒到达楼上。求扶梯的可见级数。 13. 一艘轮船往返于相距 240 千米的 A、B 两港之间。去时（顺水）每小时行 30 千米，返回时（逆水）每小时行 20 千米。求这艘轮船往返的平均速度。 14. 自动扶梯由下往上行驶。男孩每秒走 1 级，女孩每秒走 2 级。男孩用了 120 秒到达楼上，女孩用了 90 秒到达楼上。求扶梯的可见级数和扶梯的速度。 15. 甲、乙两船在静水中的速度分别为 30 千米/时和 20 千米/时。两船从相距 300 千米的两港同时出发相向而行（一顺水一逆水）。已知水速是 5 千米/时。问几小时后两船相遇？ 16. 两个孩子逆着自动扶梯的方向行走。男孩每分钟走 60 级，女孩每分钟走 40 级。男孩用了 2 分钟到达楼下，女孩用了 3 分钟到达楼下。求自动扶梯的可见级数。 17. 一艘轮船从甲港开往乙港顺水航行，每小时行 28 千米，水速是每小时 4 千米。这艘船从乙港返回甲港时逆水航行，每小时行 20 千米。求甲乙两港的距离（已知去时比回时少用 2 小时）。 18. 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶。男孩每秒走 4 级，用 50 秒到达楼上；女孩每秒走 3 级，用 60 秒到达楼上。求扶梯的可见级数和扶梯的速度。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $